高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数学案

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授课提示：对应学生用书第61页
[教材提炼]
知识点 对数函数的概念
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？
知识梳理 (1)一般地，函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数(lgarithmic functin)，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数概念的注意点
①形式：对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：y＝2lg2x，y＝lg5 eq \f(x,5)都不是对数函数，可称其为对数型函数．
②定义域：由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．
③底数：对数函数对底数的限制：a＞0，且a≠1.
[自主检测]
1．下列函数中是对数函数的是( )
A．y＝lgeq \f(1,3)x B．y＝lg3(x＋1)
C．y＝lgx2 D．y＝lg3x＋2
答案：A
2．函数f(x)＝lg2(x－1)的定义域为( )
A．(－∞，1) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
答案：C
3．若对数函数y＝f(x)过点(4,1)，则f(x)＝________.
答案：lg4x
4．已知f(x)＝lg25x，则f(5)＝________.
答案：eq \f(1,2)
授课提示：对应学生用书第61页
探究一 对数函数的概念
[例1] 指出下列函数中哪些是对数函数？
(1)y＝lgax2(a＞0且a≠1)；
(2)y＝lg2x－1；
(3)y＝2lg7x；
(4)y＝lgxa(x＞0且x≠1)；
(5)y＝lg5x.
[解析] 只有(5)为对数函数．
(1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；
(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；
(3)中lg7x前的系数是2，而不是1，
∴不是对数函数；
(4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数.
判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝lgax(a＞0且a≠1)的形式，即满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.

判断下列给出的函数是否是对数函数：
(1)y＝lgaeq \r(x)(a＞0，a≠1)；
(2)y＝lg(x＋1)x；
(3)y＝lg(－2)2x；
(4)y＝lg2(x－3)；
(5)y＝3lg2x＋1.
解析：(1)中的真数是eq \r(x)，而不是x，故不是对数函数．
(2)中的底数是x＋1，而不是常数，故不是对数函数．
(3)中的底数是(－2)2＝4＞0，符合对数函数的定义，是对数函数．
(4)中的真数是(x－3)，而不是x，故不是对数函数．
(5)中lg2x的系数是3而不是1，后边的常数是1而不是0，故不是对数函数．
探究二 对数函数的定义域
[例2] [教材P130例1的拓展探究]
(1)①y＝lg2|x|的定义域为________．
②y＝lga(4－x)＋lg(x－2)的定义域为________．
③y＝lga(4－x)＋eq \f(1,x－3)的定义域为________．
④y＝lg(x＋1)(16－4x)的定义域为________．
⑤y＝eq \f(\r(6－5x－x2),lgx＋3)的定义域为________．
[解析] ①|x|>0，∴x≠0.
②由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x>0x－2>0))得2＜x＜4.
③由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x>0x－3≠0))得x＜4且x≠3.
④由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－4x>0x＋1>0x＋1≠1))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜4，x＞－1，x≠0.))
⑤要使函数有意义，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－5x－x2≥0，x＋3>0，lgx＋3≠0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6≤x≤1，x>－3，x＋3≠1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6≤x≤1，x>－3，x≠－2.))
∴－3故函数的定义域为(－3，－2)∪(－2,1]．
[答案] ①(－∞，0)∪(0，＋∞) ②(2,4) ③(－∞，3)∪(3,4) ④(－1,0)∪(0,4) ⑤(－3，－2)∪(－2,1]
(2)①若函数f(x)＝lg2(a－4x)的定义域为(－∞，1)，则a的范围为________．
②若函数f(x)＝lg2(4x－a)的定义域为R，则a的范围为________．
③若函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域为R，则a的范围为________．
[解析] ①f(x)＝lg2(a－4x)的定义域为(－∞，1)，
即a－4x＞0的解集为(－∞，1)，
即x＝1是a－4x＝0的根，
∴a＝4.
②由题意得4x－a＞0对∀x∈R都成立，
∴a＜4x恒成立，
∴a≤0.
③只要u＝x2＋ax＋1与x轴无交点，即u＞0恒成立，
∴Δ＝a2－4＜0，
∴－2＜a＜2.
[答案] ①{4} ②(－∞，0] ③(－2,2)
探究三 对数函数值的求解
[例3] (1)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋lg22－x，x<1，2x－1， x≥1，))则f(－2)＋f(lg212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
[解析] 由于f(－2)＝1＋lg24＝3，f(lg212)＝2lg212－1＝2lg26＝6，所以f(－2)＋f(lg212)＝9.
[答案] C
(2)已知f(x)＝lg3eq \f(1－x,1＋x).
①求f(eq \f(1,2))，f(－eq \f(1,2))；
②求f(eq \f(1,2 019))＋f(－eq \f(1,2 019))；
③求f(a)＋f(－a)的值，a∈(－1,1)．
[解析] ①f(eq \f(1,2))＝lg3eq \f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝lg3eq \f(1,3)＝－1.
f(－eq \f(1,2))＝lg3eq \f(1＋\f(1,2),1－\f(1,2))＝lg33＝1.
②f(eq \f(1,2 019))＝lg3eq \f(1－\f(1,2 019),1＋\f(1,2 019))＝lg3eq \f(2 018,2 020)，
f(－eq \f(1,2 019))＝lg3eq \f(1＋\f(1,2 019),1－\f(1,2 019))＝lg3eq \f(2 020,2 018)，
∴f(eq \f(1,2 019))＋f(－eq \f(1,2 019))＝lg3eq \f(2 018,2 020)＋lg3eq \f(2 020,2 018)＝0.
③f(a)＋f(－a)＝lg3eq \f(1－a,1＋a)＋lg3eq \f(1＋a,1－a)＝lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－a,1＋a)·\f(1＋a,1－a)))＝0.
计算对数函数的函数值，主要依据对数的运算性质．
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3xx≤0，lg2xx>0，))那么feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))))的值为( )
A．27 B.eq \f(1,27)
C．－27 D．－eq \f(1,27)
解析：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＝lg2eq \f(1,8)＝lg22－3＝－3，feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))))＝f(－3)＝3－3＝eq \f(1,27).
答案：B
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1－2，x≤1，－lg2x＋1，x>1，))且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－eq \f(7,4) B．－eq \f(5,4)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,4)
解析：因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1－2，x≤1，－lg2x＋1，x＞1，))f(a)＝－3，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，－lg2a＋1＝－3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤1，2a－1－2＝－3，))解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2(－1－1)－2＝－eq \f(7,4).
答案：A
授课提示：对应学生用书第62页
一、对数函数在哪里——对数函数与其他函数的综合问题
对数函数与其他函数的综合，一种是以对数函数“lgax”为基本量成为f(lgax)型，二是以对数函数为外型，为“lgaf(x)”型，无论哪种形式，首先要分清，哪一部分相当于对数函数．
[典例] 已知f(x)＝x2－x＋k，且lg2f(a)＝2，f(lg2a)＝k，a>0且a≠1.
(1)求a，k的值；
(2)当x为何值时，y＝f(lg2x)有最小值？求出该最小值．
[解析] (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2fa＝2，flg2a＝k，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a＋k＝22，lg2a2－lg2a＋k＝k，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝4＋a－a2，lg2a＝0或lg2a＝1，))
因为a≠1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝2，a＝2.))
(2)y＝(lg2x)2－lg2x＋2＝(lg2x－eq \f(1,2))2＋eq \f(7,4)，
所以当lg2x＝eq \f(1,2)，即当x＝eq \r(2)时，f(lg2x)有最小值，最小值为eq \f(7,4).
二、忽视对数函数的定义域致错
[典例] 已知函数y＝f(x)，且lg(lg y)＝lg 3x＋lg(3－x)．
(1)求f(x)的表达式及定义域；
(2)求f(x)的值域．
[解析] (1)因为lg(lg y)＝lg 3x＋lg(3－x)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，3－x>0，lg y>0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(01.))因为lg(lg y)＝lg[3x·(3－x)]，所以lg y＝3x·(3－x)，所以y＝f(x)＝103x(3－x)＝10－3x2＋9x，其中0(2)因为－3x2＋9x＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(27,4)，0纠错心得 忽略所给式子的限制条件误认为x∈R，所求的函数的定义域必须使原式有意义，不能仅根据去掉对数符号后的解析式去确定函数的定义域．
研究函数的有关性质时，我们不仅要关注转化、变形后的函数解析式有意义，更要关注题目中提供的原始条件的有关式子有意义．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过实例，理解对数函数的概念．
数学抽象
数学运算
2.会求对数函数的定义域、函数值.