高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案

  4．3.1　对数的概念

知识点　对数

1．对数的概念

(1)定义

如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.

(2)相关概念

①底数与真数

其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．

②常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lg_N；以无理数e＝2.718 28…为底数的对数称为自然对数，并且把logeN记为ln N.

　logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．

2．对数与指数间的关系

当a＞0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.前者叫指数式，后者叫对数式．

3．对数的性质

　指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：

[教材解难]

对数式与指数式的关系

　(1)对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算，常用符号“log”表示对数．

(2)对数的概念中出现了两个等式：指数式ax＝N和对数式x＝logaN，这两个等式是等价的，它们之间的关系如图所示．

根据这个关系可以将指数式化成对数式，也可将对数式化成指数式．

[基础自测]

1．把指数式ab＝N化为对数式是(　　)

A．logba＝N　B．logaN＝b

C．logNb＝a  D．logNa＝b

解析：根据对数定义知ab＝N⇔logaN＝b.

答案：B

2．把对数式loga49＝2写成指数式为(　　)

A．a49＝2  B．2a＝49

C．492＝a  D．a2＝49

解析：根据指数式与对数式的互化可知，把loga49＝2化为指数式为a2＝49.

答案：D

3．已知logx16＝2，则x等于(　　)

A．±4   B．4

C．256  D．2

解析：由logx16＝2可知x2＝16，所以x＝±4，

又x＞0且x≠1，所以x＝4.

答案：B

4．下列各式：

①lg(lg 10)＝0；

②lg(ln e)＝0；

③若10＝lg x，则x＝10；

④由log25x＝，得x＝±5.

其中，正确的是________．(把正确的序号都填上)

解析：因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，①正确；

因为ln e＝1，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，②正确；

若10＝lg x，则x＝1010，③错误；

由log25x＝，得x＝25＝5，④错误．

答案：①②

题型一　指数式与对数式互化[教材P122例1]

例1　把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

利用ab＝N ⇔logaN＝b(1)54＝625；　　　　　(2)2－6＝；

  (3)m＝5.73;  (4)log16＝－4；

  (5)lg 0.01＝－2;  (6)ln 10＝2.303.

【解析】　(1)log5625＝4；(2)log2＝－6；(3)log5.73＝m；

(4)－4＝16；(5)10－2＝0.01；(6)e2.303＝10.

教材反思

指数式与对数式互化的思路

(1)指数式化为对数式

将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．

(2)对数式化为指数式

将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

跟踪训练1　将下列指数式与对数式互化：

(1)25＝32;  (2)－2＝4；

(3)log381＝4;  (4)log4＝m.

解析：(1)log232＝5；(2)log4＝－2；

(3)34＝81；(4)m＝4.

底数不变，指数与对数，幂与真数相对应．

题型二　对数基本性质的应用

例2　求下列各式中的x的值．

利用性质logaa＝1，loga1＝0求值．(1)log2(log3x)＝0；

(2)log5(log2x)＝1；

(3)log(＋1)＝x.

【解析】　(1)因为log2(log3x)＝0，

所以log3x＝1，

所以x＝3.

(2)因为log5(log2x)＝1，

所以log2x＝5，

所以x＝25＝32.

(3)＝＝＋1，

所以log(＋1)＝log(＋1)(＋1)＝1，

所以x＝1.

方法归纳

利用对数性质求值的方法

(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．

(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．

跟踪训练2　求下列各式中的x的值．

(1)log8[log7(log2x)]＝0；

(2)log2[log3(log2x)]＝1.

解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0

得log7(log2x)＝1，

所以log2x＝7，

所以x＝27＝128.

(2)由log2[log3(log2x)]＝1得

log3(log2x)＝2，

所以log2x＝32，

所以x＝29＝512.

已知多重对数式的值求变量，先外到内，利用性质逐一求值．

题型三　对数恒等式alogaN＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)

的应用

例3　求下列各式的值：

(1)2＋3；

(2)22＋log2；

(3)101＋lg 2；

(4)e－1＋ln 3.

【解析】　(1)因为2＝3,3＝2，

所以原式＝3＋2＝5.

(2)原式＝22×2＝4×＝.

(3)原式＝10×10lg 2＝10×2＝20.

(4)原式＝e－1×eln 3＝×3＝.

化成alogaN＝N形式，再求值．

方法归纳

利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为a的形式．

跟踪训练3　计算：(1)9＝________；

(2)＝________.

解析：(1)9＝(9)＝3＝4.

(2)原式＝－1×＝3×(3－1)

＝3×(3)－1＝3×2－1＝.

答案：(1)4　(2)

不同底的先化成同底，再利用对数恒等式求值．

一、选择题

1．对于下列说法：

(1)零和负数没有对数；

(2)任何一个指数式都可以化成对数式；

(3)以10为底的对数叫做自然对数；

(4)以e为底的对数叫做常用对数．

其中错误说法的个数为(　　)

A．1　　B．2

C．3    D．4

解析：只有符合a＞0，且a≠1，N＞0，才有ax＝N⇔x＝logaN，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确．

答案：C

2．将－2＝9写成对数式，正确的是(　　)

A．log9＝－2　　B．log9＝－2

C．log (－2)＝9  D．log9(－2)＝

解析：根据对数的定义，得log9＝－2，故选B.

答案：B

3．若logab＝c则(　　)

A．a2b＝c  B．a2c＝b

C．bc＝2a  D．c2a＝b

解析：loga2b＝c⇔(a2)c＝b⇔a2c＝b.

答案：B

4．3－27－lg 0.01＋ln e3等于(　　)

A．14  B．0

C．1   D．6

解析：3－27－lg 0.01＋ln e3＝4－－lg＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.选B.

答案：B

二、填空题

5．求下列各式的值：

(1)log636＝________.

(2)ln e3＝________.

(3)log50.2＝________.

(4)lg 0.01＝________.

解析：(1)log636＝2.

(2)ln e3＝3.

(3)log50.2＝log55－1＝－1.

(4)lg 0.01＝lg 10－2＝－2.

答案：(1)2　(2)3　(3)－1　(4)－2

6．ln 1＋log (－1)＝________.

解析：ln 1＋log (－1)＝0＋1＝1.

答案：1

7．10lg 2－ln e＝________.

解析：ln e＝1，

所以原式＝10lg2－1＝10lg 2×10－1

＝2×＝.

答案：

三、解答题

8．将下列指数式与对数式互化：

(1)log216＝4;  (2)log27＝－3；

(3)logx＝6;  (4)43＝64；

(5)3－2＝；  (6)－2＝16.

解析：(1)24＝16;  (2)－3＝27；

(3)()6＝x;  (4)log464＝3；

(5)log3＝－2;  (6)log16＝－2.

9．求下列各式中x的值：

(1)log3(log2x)＝0；

(2)log2(lgx)＝1；

(3)5＝x.

解析：(1)∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝1.∴x＝21＝2.

(2)∵log2(lg x)＝1，∴lg x＝2.∴x＝102＝100.

(3)x＝5＝＝.

[尖子生题库]

10．计算下列各式：

(1)2ln e＋lg 1＋3；

(2)3＋2ln 1.

解析：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.

(2)原式＝3＋20

＝3÷31＋1

＝＋1＝.