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人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第1课时随堂练习题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第1课时随堂练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A组·基础自测
一、选择题
1．函数f(x)＝的定义域为( D )
A．(1，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(1,2) D．(1,2]
[解析] 要使y＝有意义，则即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x－1≤1，))
解得12．函数y＝lg2x在[1,2]上的值域是( D )
A．R B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．[0,1]
[解析] ∵1≤x≤2，∴lg21≤lg2x≤lg22，即0≤y≤1，故选D.
3．已知a＝lg23，b＝lg2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是( A )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
[解析] a＝lg23>b＝lg2e>lg22＝1，c＝ln 2b>c.
4．已知函数f(x)＝ax＋lga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( B )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
[解析] 函数f(x)＝ax＋lga(x＋1)，令y1＝ax，y2＝lga(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝ax与y2＝lga(x＋1)同增或同减，所以[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋lga2＋1＋0＝a，解得a＝eq \f(1,2).故选B.
5．(多选题)函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论正确的是( ABC )
A．f(x2)＝2f(x)
B．f(2x)＝f(x)＋f(2)
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))＝f(x)－f(2)
D．f(2x)＝2f(x)
[解析] 因为函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，所以f(x)＝lgax(a>0且a≠1)．所以f(x2)＝lgax2＝2lgax＝2f(x)，f(2x)＝lga2x＝lga2＋lgax＝f(x)＋f(2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))＝lgaeq \f(1,2)x＝lgax－lga2＝f(x)－f(2)．所以选项A、B、C正确．
二、填空题
6．比较大小：(1)lg22_>_lg2eq \r(3)；
(2)lg8π_<_lgπ8.
[解析] (1)因为函数y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，且2>eq \r(3)，所以lg22>lg2eq \r(3).
(2)因为函数y＝lg8x为增函数，且π<8，所以lg8π同理1＝lgππ7．若函数y＝4＋lga(2x－1)(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则点A的坐标为_(1,4)_.
[解析] 令2x－1＝1，可得x＝1，当x＝1时，y＝4，所以函数图象恒过点(1,4)．
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2xx<1,lg2xx≥1))，则f(8)＝_3_，若直线y＝m与函数f(x)的图象只有1个交点，则实数m的取值范围是_{0}∪[2，＋∞)_.
[解析] 当x＝8时，f(8)＝lg28＝3；作出函数f(x)的图象，如图所示，
若直线y＝m与函数f(x)的图象只有1个交点，由图象可知，当m≥2或m＝0时满足条件．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝lg |x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的图象．
[解析] (1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)．
∴函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg x(x>0)的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg x(x>0)的图象合起来得函数f(x)的图象，如图所示．
10．求下列函数的反函数．
(1)y＝10x；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))x；(3)y＝；(4)y＝lg7x.
[解析] (1)指数函数y＝10x，它的底数是10，它的反函数是对数函数y＝lg x(x>0)．
(2)指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))x，它的底数是eq \f(4,5)，它的反函数是对数函数y＝(x>0)．
(3)对数函数y＝，它的底数是eq \f(1,3)，它的反函数是指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x.
(4)对数函数y＝lg7x，它的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x.
B组·能力提升
一、选择题
1．已知a>0，且a≠1，若函数y＝lga(3a－1)恒为正值，则a的取值范围是( D )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))
C．(1，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞)
[解析] 当a∈(0,1)时，由y＝lga(3a－1)恒为正值可得0＜3a－1＜1，解得eq \f(1,3)＜a＜eq \f(2,3)；
当a＞1时，由y＝lga(3a－1)恒为正值可得3a－1＞1，解得a＞eq \f(2,3)，又因为a＞1，所以a＞1.
综上，a的取值范围是eq \f(1,3)＜a＜eq \f(2,3)或a＞1.
2．已知函数y＝lg2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是( C )
A．0C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1
[解析] 令t＝x2－2kx＋k，由y＝lg2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.
3．(多选题)在同一坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝lgbx的图象如图，则下列关系不正确的是( ABC )
A．k<0,0B．k>0，b>1
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))g(1)>0(x>0)
D．x>1时，f(x)－g(x)>0
[解析] 由直线方程可知，k>0,01时，g(x)<0，f(x)>0，所以f(x)－g(x)>0，所以D正确．
二、填空题
4．函数f(x)＝lga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则a，b的取值范围分别为_(0,1)_，_[1，＋∞)_.
[解析] 依题意函数必须是减函数，且y＝lgax的图象至少向左平移1个单位长度，故05．设函数y＝ax的反函数为f(x)，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是_f(a＋1)>f(2)_.
[解析] 因为y＝ax的反函数为f(x)，所以f(x)＝lgax.当a>1时，a＋1>2，f(x)＝lgax是单调递增函数，则f(a＋1)>f(2)；当0f(2)．综上f(a＋1)>f(2)．
三、解答题
6．已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
[解析] (1)由题意知g(9)＝lga9＝2，解得a＝3，
∴g(x)＝lg3x.
∵函数y＝f(x)的图象与g(x)＝lg3x的图象关于x轴对称，∴f(x)＝.
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－1>0，,－x＋5>0，,3x－1<－x＋5，))
解得eq \f(1,3)C组·创新拓展
若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称两个函数为“同形函数”．给出下列四个函数：f1(x)＝2lg2(x＋1)，f2(x)＝lg2(x＋2)，f3(x)＝lg2x2，f4(x)＝lg2(2x)，则是“同形函数”的是( A )
A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)
[解析] 因为f4(x)＝lg2(2x)＝1＋lg2x，所以f2(x)＝lg2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移2个单位长度，得到y＝lg2x的图象，然后再沿y轴向上平移1个单位长度，得到f4(x)＝lg2(2x)＝1＋lg2x的图象，根据“同形函数”的定义，可知选A.
A组·基础自测
一、选择题
1．函数f(x)＝的定义域为( D )
A．(1，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(1,2) D．(1,2]
[解析] 要使y＝有意义，则即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x－1≤1，))
解得1
A．R B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．[0,1]
[解析] ∵1≤x≤2，∴lg21≤lg2x≤lg22，即0≤y≤1，故选D.
3．已知a＝lg23，b＝lg2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是( A )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
[解析] a＝lg23>b＝lg2e>lg22＝1，c＝ln 2
4．已知函数f(x)＝ax＋lga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( B )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
[解析] 函数f(x)＝ax＋lga(x＋1)，令y1＝ax，y2＝lga(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝ax与y2＝lga(x＋1)同增或同减，所以[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋lga2＋1＋0＝a，解得a＝eq \f(1,2).故选B.
5．(多选题)函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论正确的是( ABC )
A．f(x2)＝2f(x)
B．f(2x)＝f(x)＋f(2)
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))＝f(x)－f(2)
D．f(2x)＝2f(x)
[解析] 因为函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，所以f(x)＝lgax(a>0且a≠1)．所以f(x2)＝lgax2＝2lgax＝2f(x)，f(2x)＝lga2x＝lga2＋lgax＝f(x)＋f(2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))＝lgaeq \f(1,2)x＝lgax－lga2＝f(x)－f(2)．所以选项A、B、C正确．
二、填空题
6．比较大小：(1)lg22_>_lg2eq \r(3)；
(2)lg8π_<_lgπ8.
[解析] (1)因为函数y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，且2>eq \r(3)，所以lg22>lg2eq \r(3).
(2)因为函数y＝lg8x为增函数，且π<8，所以lg8π
[解析] 令2x－1＝1，可得x＝1，当x＝1时，y＝4，所以函数图象恒过点(1,4)．
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2xx<1,lg2xx≥1))，则f(8)＝_3_，若直线y＝m与函数f(x)的图象只有1个交点，则实数m的取值范围是_{0}∪[2，＋∞)_.
[解析] 当x＝8时，f(8)＝lg28＝3；作出函数f(x)的图象，如图所示，
若直线y＝m与函数f(x)的图象只有1个交点，由图象可知，当m≥2或m＝0时满足条件．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝lg |x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的图象．
[解析] (1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)．
∴函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg x(x>0)的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg x(x>0)的图象合起来得函数f(x)的图象，如图所示．
10．求下列函数的反函数．
(1)y＝10x；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))x；(3)y＝；(4)y＝lg7x.
[解析] (1)指数函数y＝10x，它的底数是10，它的反函数是对数函数y＝lg x(x>0)．
(2)指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))x，它的底数是eq \f(4,5)，它的反函数是对数函数y＝(x>0)．
(3)对数函数y＝，它的底数是eq \f(1,3)，它的反函数是指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x.
(4)对数函数y＝lg7x，它的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x.
B组·能力提升
一、选择题
1．已知a>0，且a≠1，若函数y＝lga(3a－1)恒为正值，则a的取值范围是( D )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))
C．(1，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞)
[解析] 当a∈(0,1)时，由y＝lga(3a－1)恒为正值可得0＜3a－1＜1，解得eq \f(1,3)＜a＜eq \f(2,3)；
当a＞1时，由y＝lga(3a－1)恒为正值可得3a－1＞1，解得a＞eq \f(2,3)，又因为a＞1，所以a＞1.
综上，a的取值范围是eq \f(1,3)＜a＜eq \f(2,3)或a＞1.
2．已知函数y＝lg2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是( C )
A．0
[解析] 令t＝x2－2kx＋k，由y＝lg2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.
3．(多选题)在同一坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝lgbx的图象如图，则下列关系不正确的是( ABC )
A．k<0,0
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))g(1)>0(x>0)
D．x>1时，f(x)－g(x)>0
[解析] 由直线方程可知，k>0,0
二、填空题
4．函数f(x)＝lga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则a，b的取值范围分别为_(0,1)_，_[1，＋∞)_.
[解析] 依题意函数必须是减函数，且y＝lgax的图象至少向左平移1个单位长度，故0
[解析] 因为y＝ax的反函数为f(x)，所以f(x)＝lgax.当a>1时，a＋1>2，f(x)＝lgax是单调递增函数，则f(a＋1)>f(2)；当0
三、解答题
6．已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
[解析] (1)由题意知g(9)＝lga9＝2，解得a＝3，
∴g(x)＝lg3x.
∵函数y＝f(x)的图象与g(x)＝lg3x的图象关于x轴对称，∴f(x)＝.
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－1>0，,－x＋5>0，,3x－1<－x＋5，))
解得eq \f(1,3)
若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称两个函数为“同形函数”．给出下列四个函数：f1(x)＝2lg2(x＋1)，f2(x)＝lg2(x＋2)，f3(x)＝lg2x2，f4(x)＝lg2(2x)，则是“同形函数”的是( A )
A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)
[解析] 因为f4(x)＝lg2(2x)＝1＋lg2x，所以f2(x)＝lg2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移2个单位长度，得到y＝lg2x的图象，然后再沿y轴向上平移1个单位长度，得到f4(x)＝lg2(2x)＝1＋lg2x的图象，根据“同形函数”的定义，可知选A.
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