人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课后测评

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课后测评，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·基础自测
一、选择题
1．下列函数的图象中没有零点的是( D )
[解析] 从图中观察知，只有D中函数图象与x轴没有交点，故选D.
2．如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么“f(a)·f(b)<0”是“函数y＝f(x)在(a，b)内有零点”的( A )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由零点存在性定理可知，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，
而若函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0不一定成立，比如f(x)＝x2在区间(－2,2)内有零点，但f(－2)·f(2)>0，
所以“f(a)·f(b)<0”是“函数y＝f(x)在(a，b)内有零点”的充分而不必要条件，故选A.
3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
由表可知函数f(x)存在零点的区间有( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] ∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·(5)<0，f(6)·f(7)<0，∴函数f(x)存在零点的区间有4个．
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤1，,1＋lg2x，x>1，))则函数f(x)的零点为( D )
A.eq \f(1,2)，0 B．－2,0
C．eq \f(1,2) D．0
[解析] x≤1时，2x－1＝0，∴x＝0，
x>1时1＋lg2x＝0，x＝eq \f(1,2)<1，∴f(x)的零点为0.
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x>0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( D )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1,0) D．[－1,0)
[解析] 当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝eq \f(1,3).因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
二、填空题
6．若一次函数f(x)＝x＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2＋x的零点是 0，eq \f(1,2)_.
[解析] ∵f(x)＝x＋b的零点是2，
∴2＋b＝0，∴b＝－2，
∴g(x)＝－2x2＋x，令g(x)＝0，得x＝0或x＝eq \f(1,2).
7．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－x－1x≤0，,3x－4x＞0))的零点的个数为_2_.
[解析] 当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－eq \f(1,2)(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝lg34，
所以函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－x－1x≤0，,3x－4x＞0))有2个零点．
8．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是_a＜b＜c_.
[解析] 画出函数y＝3x，y＝lg3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝1＋eq \f(1,x)－xα(α∈R)，且f(3)＝－eq \f(5,3).
(1)求α的值；
(2)求函数f(x)的零点．
[解析] (1)由f(3)＝－eq \f(5,3)，
得1＋eq \f(1,3)－3α＝－eq \f(5,3)，∴α＝1.
(2)由(1)得f(x)＝1＋eq \f(1,x)－x，
令f(x)＝0，得1＋eq \f(1,x)－x＝0，即eq \f(x2－x－1,x)＝0，
∴x＝eq \f(1±\r(5),2)，∴f(x)的零点为eq \f(1＋\r(5),2)和eq \f(1－\r(5),2).
10．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝(lg x)2－lg x；
(2)f(x)＝x3－2x2－x＋2.
[解析] (1)令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，
∴x＝1或x＝10.
因此函数f(x)的零点是1,10.
(2)令x3－2x2－x＋2＝0，得x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－1或x＝1或x＝2，
∴函数f(x)有3个零点，分别为－1,1,2.
B组·能力提升
一、选择题
1．若函数f(x)＝2x＋3x＋a在区间(0,1)内存在零点，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，－5) B．(－5，－1)
C．(0,5) D．(1，＋∞)
[解析] 函数f(x)＝2x＋3x＋a在区间(0,1)内存在零点，且函数在定义域内单调递增，
由零点存在性定理知f(0)·f(1)<0，即(1＋a)(5＋a)<0，解得－5所以实数a的取值范围是(－5，－1)，故选B.
2．(多选题)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( CD )
A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)<0，则在(a，b)内的零点个数不确定
[解析] 根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，但c的个数不确定，故B错误，D正确；若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2,2)内有两个零点，故A错误，C正确．故选CD.
3．(多选题)若直线y＝3a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的值可以是( CD )
A．2 B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,8)
[解析] 当0＜a＜1时，y＝|ax－1|的图象如图(1)所示，由已知得0＜3a＜1，所以0＜a＜eq \f(1,3)；
当a＞1时，y＝|ax－1|的图象如图(2)所示，由已知可得0＜3a＜1，
所以0＜a＜eq \f(1,3)，结合a＞1可得a∈∅.
综上可知a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))).
二、填空题
4．函数f(x)＝2x|lg0.5x|－1的零点个数为_2_.
[解析] 函数f(x)＝2x|lg0.5x|－1的零点个数⇔方程 |lg0.5x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的根的个数⇔函数y＝|lg0.5x|与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象的交点个数，作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点．
5．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))_.
[解析] 画出函数f(x)的图象，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．由图可知eq \f(1,2)三、解答题
6．已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
[解析] 设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3，如图，有两种情况．第一种情况，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋2＞0，,f1＜0，))
解得－2＜m＜－eq \f(1,2).
第二种情况，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋2＜0，,f1＞0，))此不等式组无解．
综上，m的取值范围是－2＜m＜－eq \f(1,2).
C组·创新拓展
在(1)f(x)＝a－eq \f(2,2x＋1)，(2)f(x)＝lg4(eq \r(x2＋a)＋x)，(3)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg3x＋1，x>0，,－lg3ax＋1，x≤0))这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
已知_________，若函数f(x)为奇函数，且函数y＝f(ax－m)的零点在区间(－2,3)内，求m的取值范围．
[解析] 选(1)，因为f(x)是奇函数，且定义域为R，
则f(0)＝a－eq \f(2,20＋1)＝0，所以a＝1，
则f(x)＝1－eq \f(2,2x＋1)，
易知f(x)在R上是增函数，
所以f(x)有唯一零点0，
因为函数y＝f(x－m)的零点在区间(－2,3)内，
所以x－m＝0在(－2,3)上有解，
所以m＝x，即m∈(－2,3)，
故实数m的取值范围为(－2,3)．
选(2)，∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＋f(x)＝lg4(eq \r(x2＋a)－x)＋lg4(eq \r(x2＋a)＋x)＝0，解得a＝1，
∴f(x)＝lg4(eq \r(x2＋1)＋x)，
易知f(x)在R上是增函数，
∴f(x)有唯一零点0，
∵函数y＝f(x－m)的零点在区间(－2,3)内，
∴x－m＝0在(－2,3)上有解，
∴m＝x，即m∈(－2,3)，
故m的取值范围为(－2,3)．
选(3)，当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝lg3(－x＋1)，
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
－lg3(－x＋1)＝－lg3(ax＋1)，解得a＝－1，
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg3x＋1，x>0，,－lg3－x＋1，x≤0，))
易知f(x)在R上是增函数，
∴f(x)有唯一零点0，
∵函数y＝f(－x－m)的零点在区间(－2,3)内，
∴－x－m＝0在(－2,3)上有解，
∴m＝－x，即m∈(－3,2)，
故实数m的取值范围为(－3,2)．x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11.238