人教A版 (2019)4.4 对数函数优秀第2课时一课一练

4.4.2 对数函数的图象和性质（二）

一、选择题

1．下列式子中成立的是(　　)

A．log0.44＜log0.46　　　　　 　B．1.013.4＞1.013.5

C．3.50.3＜3.40.3   D．log76＜log67

2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　)

A．a＞b＞c   B．a＞c＞b

C．c＞b＞a   D．c＞a＞b

3．函数f(x)＝log2(1－x)的图象为(　　)

4．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，则a的值为(　　)

A．2   B．

C．2或 D．3

5．若点(a，b)在函数f(x)＝ln x的图象上，则下列点中，不在函数f(x)图象上的是(　　)

A.   B．(a＋e,1＋b)

C.   D．(a2,2b)

6．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a＞0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的大致图象是(　　)

7．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)

A．a＋b<ab<0   B．ab<a＋b<0

C．a＋b<0<ab   D．ab<0<a＋b

二、填空题

8．函数f(x)＝ln(2－x)的单调减区间为________．

9．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________．

10．已知函数y＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

三、解答题

11．比较下列各组数的大小

(1)log0.13与log0.1π；

(2)log45与log65；

(3)3log45与2log23；

(4)loga(a＋2)与loga(a＋3)(a＞0且a≠1)．

12．已知f(x)＝|lg x|，且＞a＞b＞1，试比较f(a)，f(b)，f(c)的大小．

13．是否存在实数a，使函数y＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．

14．设函数f(x)＝loga，其中0＜a＜1.

(1)证明：f(x)是(a，＋∞)上的减函数；

(2)若f(x)＞1，求x的取值范围．

15．森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气量Q与森林面积S的关系是Q＝50log2.

(1)若要保证森林具有净化效果(Q≥0)，则森林面积至少为多少个单位？

(2)当某森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为多少个单位？

答案：

1、解析：选D　因为y＝log0.4x为减函数，故log0.44＞log0.46，故A错；因为y＝1.01x为增函数，所以1.013.4＜1.013.5，故B错；由幂函数的性质知，3.50.3＞3.40.3，故C错．

2、解析：选D　∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，

∴c＞a＞b.故选D.

3、解析：选A　函数的定义域为(－∞，1)，排除B、D，函数f(x)＝log2(1－x)在定义域内为减函数，排除C，故A正确．

4、解析：选B　法一：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数为y＝logax(a＞0，且a≠1)，故y＝logax的图象过点(，a)，则a＝loga＝.

法二：∵函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，∴函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点(a，)，∴aa＝＝a，即a＝.

5、解析：选B　因为点(a，b)在f(x)＝ln x的图象上，所以b＝ln a，所以－b＝ln ，1－b＝ln ，2b＝2ln a＝ln a2，故选B.

6、解析：选A　f(x)＝(k－1)ax－a－x(a＞0，且a≠1)在R上是奇函数，∴f(0)＝(k－1)a0－a0＝k－2＝0，∴k＝2.∵f(x)是减函数，∴0＜a＜1，∴g(x)＝loga(x＋k)的图象是选项A中的图象．

7、解析：选B　∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.3<log21＝0，∴ab<0.∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，

∴0<<1，∴ab<a＋b<0.

8、解析：由2－x＞0，得x＜2.

又函数y＝2－x，x∈(－∞，2)为减函数，

∴函数f(x)＝ln(2－x)的单调减区间为(－∞，2)．

答案：(－∞，2)

9、解析：由得－2＜x＜4，因此函数f(x)的定义域为(－2,4)．

f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)＝ln(－x2＋2x＋8)

＝ln[－(x－1)2＋9]，

设u＝－(x－1)2＋9，又y＝ln u是增函数，

u＝－(x－1)2＋9在(1,4)上是减函数，

因此f(x)的单调递减区间为(1,4)．

答案：(1,4)

10、解析：令u＝2－ax，则y＝logau，因为a＞0，所以u＝2－ax递减，由题意知y＝logau在[0,1]内递增，所以a＞1.又u＝2－ax在x∈[0,1]上恒大于0，所以2－a＞0，即a＜2.综上，1＜a＜2.

答案：(1,2)

11、解：(1)∵函数y＝log0.1x是减函数，π>3，

∴log0.13>log0.1π.

(2)法一：∵函数y＝log4x和y＝log6x都是增函数，

∴log45>log44＝1，log65<log66＝1.

∴log45>log65.

法二：画出y＝log4x和y＝log6x在同一坐标系中的图象如图所示，

由图可知log45＞log65.

(3)∵3log45＝log453＝log4125＝＝log2125＝log2，2log23＝log232＝log29，

又∵函数y＝log2x是增函数，>9，

∴log2>log29，即3log45>2log23.

(4)∵a＋2＜a＋3，

故①当a＞1时，loga(a＋2)＜loga(a＋3)；

②当0＜a＜1时，loga(a＋2)＞loga(a＋3)．

12、解：先作出函数y＝lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分折到x轴上方，于是得f(x)＝|lg x|图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．由＞a＞b＞1得：f＞f(a)＞f(b)，而f＝＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c)．∴f(c)＞f(a)＞f(b)．

13、解：存在．设u＝g(x)＝ax2－x，则y＝logau.假设符合条件的a值存在．

(1)当a＞1时，只需g(x)在[2,4]上为增函数，故应满足解得a＞.

∴a＞1.

(2)当0＜a＜1时，只需g(x)在[2,4]上为减函数，故应满足无解．

综上所述，当a＞1时，函数y＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数．

14、解：(1)证明：任取x1，x2∈(a，＋∞)，不妨令0＜a＜x1＜x2，g(x)＝1－，则g(x1)－g(x2)＝－＝，

∵0＜a＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，∴g(x1)－g(x2)＜0，

∴g(x1)＜g(x2)，∴g(x)为增函数，

又∵0＜a＜1，∴f(x)是(a，＋∞)上的减函数．

(2)∵loga＞1，∴0＜1－＜a，

∴1－a＜＜1.

又∵0＜a＜1，∴1－a＞0，

∴a＜x＜，

∴x的取值范围是.

15、解：(1)由题意，当Q＝0时，

代入关系式可得0＝50log2，解得S＝10，

因为Q随S的增大而增大，所以当Q＞0时S≥10.

所以森林面积至少有10个单位．

(2)将S＝80代入关系式，

得Q＝50log2＝150，

所以当森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为150个单位．