人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数当堂检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数当堂检测题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·基础自测
一、选择题
1．下列函数是对数函数的是( C )
A．y＝lga(2x)(a>0，且a≠1)
B．y＝lga(x2＋1)(a>0，且a≠1)
C．y＝(a>0，且a≠1)
D．y＝2lg x
[解析] 由于对数函数的形式是y＝lgax(a>0，且a≠1)，据此判断A、B、D均不符合，故选C.
2．函数f(x)＝(a2＋a－5)lgax为对数函数，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))等于( B )
A．3 B．－3
C．－lg36 D．－lg38
[解析] 因为函数f(x)＝(a2＋a－5)lgax为对数函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a－5＝1，,a>0，,a≠1，))解得a＝2，所以f(x)＝lg2x，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＝lg2eq \f(1,8)＝－3.
3．(2023·河西高一检测)函数f(x)＝ln(2x－4)的定义域是( D )
A．(0,2) B．(0,2]
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
[解析] 令2x－4>0,2x>4，x>2，所以定义域为(2，＋∞)．
4．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是( C )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝lg2x D．f(x)＝eln x
[解析] ∵对数运算律中有lgaM＋lgaN＝lga(MN)，∴f(x)＝lg2x满足题目要求．
5．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，若该动物引入一年后的数量为180只，则15年后它们发展到( D )
A．300只 B．400只
C．600只 D．720只
[解析] 由题意可知alg2(1＋1)＝180，∴a＝180，
∴y＝180lg2(x＋1)，
∴当x＝15时，y＝180lg2(15＋1)＝180lg216＝180×4＝720.故选D.
二、填空题
6．已知函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域是R，则实数a的取值范围是_(－2,2)_.
[解析] 由题意知x2＋ax＋1>0恒成立，所以Δ＝a2－4<0，即－27．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)lg(m＋1)x，则f(27)＝_3_.
[解析] ∵f(x)是对数函数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－1＝1，,m＋1>0，,m＋1≠1，))
解得m＝2.
∴f(x)＝lg3x，∴f(27)＝lg327＝3.
8．函数y＝(3x－a)的定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))，则a＝_2_.
[解析] 由题意可知3x－a>0，即x>eq \f(a,3)，
∴函数y＝(3x－a)的定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，＋∞))，
由题知函数y＝(3x－a)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))，
∴eq \f(a,3)＝eq \f(2,3)，∴a＝2.
三、解答题
9．求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \f(\r(x2－4),lgx＋3).
(2)y＝lg|x－2|(25－5x)．
[解析] (1)要使函数有意义，需
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4≥0，,x＋3>0，,x＋3≠1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－2或x≥2，,x>－3，,x≠－2，))
即－3故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(25－5x>0，,|x－2|≠0，,|x－2|≠1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<2，,x≠2，,x≠3且x≠1，))所以x<2，且x≠1，
故所求函数的定义域为(－∞，1)∪(1,2)．
10．已知函数f(x)＝lgaeq \f(x＋1,x－1)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性．
[解析] (1)要使函数有意义，则有eq \f(x＋1,x－1)>0，即(x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－1，所以此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)由于f(x)的定义域关于原点对称，
且f(－x)＝lgaeq \f(－x＋1,－x－1)＝lgaeq \f(x－1,x＋1)＝－lgaeq \f(x＋1,x－1)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
B组·能力提升
一、选择题
1．(多选题)给出下列函数中，不是对数函数的是( ABC )
A． B．y＝lg3(x－1)
C．y＝lg(x＋1)x D．y＝lgπx
[解析] A、B不是对数函数，因为对数的真数不是x；C不是对数函数，因为对数的底数不是常数；D是对数函数，故选ABC.
2．函数f(x)＝eq \f(lgx＋1,x－1)＋eq \r(2＋x)的定义域为( C )
A．[－2，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．(－1,1)∪(1,2)
[解析] 要使函数有意义，则需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x－1≠0，,2＋x≥0，))
解得x>－1，且x≠1，
∴函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
3．(多选题)已知对数函数f(x)＝lg3x，则方程f 2(x)＝2－lg9(3x)的解为( BD )
A．x＝1 B．x＝3
C．x＝－eq \f(3,2) D．x＝eq \f(\r(3),9)
[解析] 由已知得(lg3x)2＝2－lg9(3x)，
所以(lg3x)2＝2－eq \f(1,2)lg3(3x)＝2－eq \f(1,2)(lg33＋lg3x)，即(lg3x)2＋eq \f(1,2)lg3x－eq \f(3,2)＝0，令t＝lg3x，则方程可化为t2＋eq \f(1,2)t－eq \f(3,2)＝0，
解得t＝1或t＝－eq \f(3,2)，所以x＝3或x＝eq \f(\r(3),9).
二、填空题
4．函数y＝eq \r(x－1)＋eq \f(1,lg3－x)的定义域为_[1,2)∪(2,3)_.
[解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,3－x>0，,3－x≠1，))
∴1≤x<3且x≠2.
∴所求函数的定义域为[1,2)∪(2,3)．
5．若函数f(x)＝lga(x－1)＋8(a>0，且a≠1)的图象过点M(2，m)，则m＝_8_.当幂函数g(x)的图象过M点时，g(x)的解析式为_g(x)＝x3_.
[解析] 由题意可知m＝lga(2－1)＋8＝8，
∴M(2,8)．
设g(x)＝xα，则g(2)＝2α＝8，∴α＝3.
∴g(x)＝x3.
三、解答题
6．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了1个单位的该药物，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位．
(1)求y与x的关系式；
(2)当该药物在病人血液中的量保持在eq \f(3,5)个单位以上，才有疗效；而低于eq \f(1,5)个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过多少小时(精确到0.1)．
(参考数据：lg 5≈0.699，lg 4≈0.602)
[解析] (1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了1个单位的该药物，经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x＝(1－20%)y×1＝0.8y，即y与x的关系式为y＝lg0.8x,0(2)当该药物在病人血液中的量保持在eq \f(3,5)个单位以上，才有疗效；而低于eq \f(1,5)个单位，病人就有危险，令x＝eq \f(1,5)，则y＝lg0.8eq \f(1,5)＝eq \f(lg 5,lg 5－lg 4)≈7.2，所以y≤7.2.
所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时．
C组·创新拓展
给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若∀x∈A，∃y∈B，使得x＋y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P.给出下列三个函数：①y＝eq \f(1,x)；②y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x；③y＝lg x.
其中，具有性质P的函数是_①③_(填序号)．
[解析] 对于①，A＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，B＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，显然∀x∈A，∃y∈B，使得x＋y＝0成立，即具有性质P；对于②，A＝R，B＝(0，＋∞)，当x>0时，不存在y∈B，使得x＋y＝0成立，即不具有性质P；对于③，A＝(0，＋∞)，B＝R，显然∀x∈A，∃y∈B，使得x＋y＝0成立，即具有性质P.故具有性质P的函数是①③.