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新教材适用2023_2024学年高中数学第4章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.2对数函数的图象和性质第2课时对数函数的图象和性质二素养作业新人教A版必修第一册

查看最受欢迎《4.4 对数函数》练习 2024年人教A版 (2019)数学必修第一册同步练习题（全套）

2023-10-27 13:45
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高中数学4.4 对数函数第2课时达标测试

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这是一份高中数学4.4 对数函数第2课时达标测试，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·基础自测
一、选择题
1．函数f(x)＝eq \r(3－lg x)的定义域为( A )
A．(0,1 000] B．[3,1 000]
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,1 000))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,1 000)，3))
[解析] 由题意得3－lg x≥0，
∴lg x≤3，
∴0故选A.
2．函数y＝(2x2－3x＋1)的单调减区间为( A )
A．(1，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
[解析] 由2x2－3x＋1>0得(2x－1)(x－1)>0，解得x1.设t＝2x2－3x＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2－eq \f(1,8)，所以函数t的单调递增区间为(1，＋∞)．又y＝为减函数，故y＝(2x2－3x＋1)的单调递减区间为(1，＋∞)．
3．若定义在(－1,0)内的函数f(x)＝lg2a(x＋1)>0，则实数a的取值范围是( A )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D．(0，＋∞)
[解析] 当x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)，而函数f(x)＝lg2a(x＋1)>0，故0<2a<1，即04．已知函数f(x)＝lga(3－ax)，当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，则实数a的取值范围为( D )
A．(0,1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2))) D．(0,1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
[解析] 由题设知3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，a>0且a≠1.
因为a>0，所以g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，从而g(2)＝3－2a>0，所以a5．若函数f(x)＝|lg2x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则b－a的最小值为( A )
A.eq \f(3,4) B．3
C．2 D．eq \f(3,2)
[解析] 根据题意，画出函数f(x)的图象如图，令|lg2x|＝2可得x＝eq \f(1,4)或x＝4.由图象可知，当值域为[0,2]时，定义域的最小区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，则b－a的最小值为1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，故选A.
二、填空题
6．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝lgax的增减性相同，则实数a的取值范围是_(1,2)_.
[解析] 若f(x)，g(x)均为增函数，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a>1，,a>1，))即1若f(x)，g(x)均为减函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<3－a<1，,07．若函数y＝lg0.5(x2－6x＋13)的定义域为[2,5]，则该函数的值域是_[－3，－2]_.
[解析] y＝lg0.5(x2－6x＋13)＝lg0.5[(x－3)2＋4]，而当x∈[2,5]时，(x－3)2＋4∈[4,8]，令y＝lg0.5t，则t∈[4,8]，因为该函数是减函数，所以该函数的值域是[lg0.58，lg0.54]，即[－3，－2]．
8．已知f(x)＝(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是_(－4,4]_.
[解析] 二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝eq \f(a,2)，由已知，应有eq \f(a,2)≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)≤2，,4－2a＋3a>0，))解得－4三、解答题
9．设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)≤2.
[解析] (1)当x<0时，－x>0，则
f(－x)＝(－x)，
又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)．
故当x<0时，f(x)＝－(－x)．
(2)由题意及(1)知，原不等式等价于
解得x≥eq \f(1,4)或－4≤x<0.
∴不等式的解集eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≥\f(1,4)或－4≤x<0)).
10．讨论函数f(x)＝lga(x2－3x－10)的单调性．
[解析] 由x2－3x－10>0得函数的定义域为{x|x>5或x<－2}，
则当a>1时，若x>5，则u＝x2－3x－10为增函数，
∴f(x)＝lga(x2－3x－10)为增函数．
若x<－2，则u＝x2－3x－10为减函数，
∴f(x)＝lga(x2－3x－10)为减函数．
当05，则f(x)＝lga(x2－3x－10)为减函数；
若x<－2，则f(x)＝lga(x2－3x－10)为增函数．
B组·能力提升
一、选择题
1．若对任意的实数x，都有lga(ex＋3)≥1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( B )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) B．(1,3]
C．(1,3) D．[3，＋∞)
[解析] ∵lga(ex＋3)≥1＝lgaa对任意实数x都成立，∴a>1且a≤ex＋3，又ex＋3>3，∴12．(多选题)函数f(x)＝lga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么( AD )
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
[解析] 由|x－1|>0得，函数y＝lga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．
设g(x)＝|x－1|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x>1，,－x＋1，x<1，))则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
且g(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x)的图象关于x＝1对称，D正确；
由上述分析知f(x)＝lga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误．
又f(－x)＝lga|－x－1|＝lga|x＋1|≠f(x)，所以C错误，故选AD.
3．(多选题)已知函数f(x)＝(lg2x)2－lg2x2－3，则下列说法正确的是( ABC )
A．f(4)＝－3
B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f(x)的最小值为－4
D．函数y＝f(x)的最大值为4
[解析] A正确，f(4)＝(lg24)2－lg242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(lg2x＋1)(lg2x－3)＝0，解得x＝eq \f(1,2)或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f(x)＝(lg2x－1)2－4(x>0)，所以当lg2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．
二、填空题
4．若函数f(x)＝xln(x＋eq \r(a＋x2))为偶函数，则a＝_1_.
[解析] ∵f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
∴－ln(－1＋eq \r(a＋1))＝ln(1＋eq \r(a＋1))，
∴ln(1＋eq \r(a＋1))＋ln(－1＋eq \r(a＋1))＝0，
∴ln [(eq \r(a＋1))2－1]＝0，
∴ln a＝0，∴a＝1.
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为减函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，则不等式>0的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，3))_.
[解析] ∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，
∴>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，又f(x)在[0，＋∞)上为减函数，所以解得eq \f(1,3)三、解答题
6．已知函数f(x)＝lga(－x2＋ax－3)，其中a>0，a≠1.
(1)当a＝4时，求f(x)的值域和单调递减区间；
(2)若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．
[解析] (1)当a＝4时，f(x)＝lg4(－x2＋4x－3)＝lg4[－(x－2)2＋1]，
设t＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
由－x2＋4x－3>0，得x2－4x＋3<0，得1即函数的定义域为(1,3)．
此时t＝－(x－2)2＋1∈(0,1]，
则y＝lg4t≤lg41，即函数的值域为(－∞，0]．
要求f(x)的单调减区间，等价为求t＝－(x－2)2＋1的单调递减区间，
∵t＝－(x－2)2＋1的单调递减区间为[2,3)．
∴f(x)的单调递减区间为[2,3)．
(2)若f(x)存在单调递增区间，
则当a>1，函数g(x)＝－x2＋ax－3存在单调递增区间即可，则判别式Δ＝a2－12>0，得a>2eq \r(3)或a<－2eq \r(3)(舍去)，
当00，得a>2eq \r(3)或a<－2eq \r(3)(舍去)，此时a不成立，
综上，实数a的取值范围是a>2eq \r(3).
C组·创新拓展
已知函数f(x)＝lga(3－ax)(a＞0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域．
(2)是否存在实数a，使函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由题意可得3－ax＞0，即ax＜3，因为a＞0，所以解得x故f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,a))).
(2)假设存在实数a，使函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为2.
设函数g(x)＝3－ax，由a＞0，得－a＜0，
所以g(x)在区间[1,2]上为减函数且g(x)＞0恒成立，则g(2)＞0，解得0＜a又因为f(x)在区间[1,2]上单调递减，
所以a＞1，即1又因为f(x)在区间[1,2]上的最大值为2，
所以f(x)max＝f(1)＝lga(3－a)＝2，
整理得a2＋a－3＝0，解得a＝eq \f(\r(13)－1,2)(a>0)．
因为3所以存在实数a＝eq \f(\r(13)－1,2)，使函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为2.

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