高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数课后练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·基础自测
一、选择题
1．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于( B )
A．a2＋b B．b＋2a
C．a＋2b D．a＋b2
[解析] lg 12＝lg 4＋lg 3＝2lg 2＋lg 3＝2a＋b.
2．已知ab>0且ab≠1，有下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg eq \f(a,b)＝lg a－lg b；
③eq \f(1,2)lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＝lg eq \f(a,b)；④lg(ab)＝eq \f(1,lgab10).
其中正确的是( C )
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
[解析] 当a<0，b<0时，①lg(ab)＝lg a＋lg b不成立；
②lg eq \f(a,b)＝lg a－lg b不成立；
③由ab>0，可得eq \f(a,b)>0，eq \f(1,2)lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＝lg eq \f(a,b)成立；
④根据对数的换底公式可得lg(ab)＝eq \f(1,lgab10)成立．
故选C.
3．已知x，y为正实数，则( D )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y
B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y
D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
[解析] 根据对数、指数的运算法则，有2lg (xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y．故选D.
4．已知2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y，则x＋2y的值为( A )
A．3 B．8
C．4 D．lg48
[解析] x＋2y＝lg23＋2lg4eq \f(8,3)＝lg49＋lg4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))2＝lg4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9×\f(64,9)))＝lg464＝3，故选A.
5．已知2a＝5b＝M，且eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝2，则M的值是( B )
A．20 B．2eq \r(5)
C．±2eq \r(5) D．400
[解析] ∵2a＝5b＝M，∴a＝lg2M＝eq \f(lg M,lg 2)，
b＝lg5M＝eq \f(lg M,lg 5)，
∴eq \f(1,a)＝eq \f(lg 2,lg M)，
eq \f(1,b)＝eq \f(lg 5,lg M)，∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(2lg 2,lg M)＋eq \f(lg 5,lg M)＝eq \f(lg 4＋lg 5,lg M)＝eq \f(lg 20,lg M)＝2，
∴2lg M＝lg 20，∴lg M2＝lg 20，
∴M2＝20，
∵M>0，∴M＝2eq \r(5).
二、填空题
6．计算： _2_.
[解析] ＋(lg 4＋lg 25)－eln 3＝3＋2－3＝2.
7．设lg 2＝a，lg 3＝b，则eq \f(lg 12,lg 5)＝ eq \f(2a＋b,1－a)_.(用a，b表示)
[解析] eq \f(lg 12,lg 5)＝eq \f(lg 3＋lg 4,lg 5)＝eq \f(lg 3＋2lg 2,1－lg 2)＝eq \f(2a＋b,1－a).
8．已知2a＝6,3b＝36，则eq \f(4a,9b)＝ eq \f(1,36)_，eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝_1_.
[解析] 因为2a＝6,3b＝36，所以a＝lg26，b＝lg336，
＝eq \f(1,lg26)＋eq \f(2,lg336)＝lg62＋lg63＝1.
三、解答题
9．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg eq \f(xy2,z)；
(3)lg eq \f(xy3,\r(z))；(4)lg eq \f(\r(x),y2z).
[解析] (1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg eq \f(xy2,z)＝lg(xy2)－lg z
＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lgeq \f(xy3,\r(z))＝lg(xy3)－lgeq \r(z)
＝lg x＋3lg y－eq \f(1,2)lg z.
(4)lg eq \f(\r(x),y2z)＝lgeq \r(x)－lg(y2z)
＝eq \f(1,2)lg x－2lg y－lg z.
10．已知lga2＝m，lga3＝n.
(1)求a2m－n的值；
(2)求lga18.
[解析] (1)因为lga2＝m，lga3＝n，
所以am＝2，an＝3.
所以a2m－n＝a2m÷an＝22÷3＝eq \f(4,3).
(2)lga18＝lga(2×32)＝lga2＋lga32＝lga2＋2lga3＝m＋2n.
B组·能力提升
一、选择题
1．若xlg34＝1，则4x＋4－x的值为( B )
A.eq \f(8,3) B．eq \f(10,3)
C．2 D．1
[解析] 由xlg34＝1得x＝lg43，所以4x＋4－x＝3＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3)，故选B.
2．已知a＝lg32，那么lg38－2lg36用a表示是( A )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
[解析] lg38－2lg36＝lg323－2(lg32＋lg33)
＝3lg32－2(lg32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.故选A.
3．2021年4月，四川省广汉市的三星堆遗址出土了数百件瑰奇文物，考古专家对现场文物样本进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的66%，已知碳14的半衰期是5 730年(即每经过5 730年，遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半)．则该遗址距今约(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg 11≈1.04)( D )
A．3 200年 B．3 262年
C．3 386年 D．3 438年
[解析] 设时间经过了x年，则＝0.66，
两边取对数可得，eq \f(x,5 730)lgeq \f(1,2)＝lg 0.66，
所以x＝5 730×eq \f(lg 0.66,lg\f(1,2))
＝5 730×eq \f(lg 2＋lg 3＋lg 11－lg 100,－lg 2)≈3 438.
二、填空题
4．若lgax＝2，lgbx＝3，lgcx＝6，则lg(abc)x＝_1_.
[解析] ∵lgax＝eq \f(1,lgxa)＝2，∴lgxa＝eq \f(1,2).同理lgxc＝eq \f(1,6)，lgxb＝eq \f(1,3).
∴lg(abc)x＝eq \f(1,lgxabc)＝eq \f(1,lgxa＋lgxb＋lgxc)＝1.
5．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实数根，则lg(ab)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(a,b)))2＝_4_.
[解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg a＋lg b＝2，,lg a·lg b＝\f(1,2)，))
∴lg(ab)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(a,b)))2＝(lg a＋lg b)(lg a－lg b)2
＝2[(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b]
＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－4×\f(1,2)))＝4.
三、解答题
6．
[解析] ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1＋9×eq \f(1,2)－0＝eq \f(1,4)＋1＋eq \f(9,2)＝eq \f(23,4).
＝eq \f(3,2)＋lg22＋lg24
＝eq \f(3,2)＋1＋2
＝4eq \f(1,2).
C组·创新拓展
若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，试求eq \f(x,y)的值．
[解析] 因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，所以xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，所以(x－y)(x－4y)＝0.
解得x＝y或x＝4y.所以eq \f(x,y)＝1或eq \f(x,y)＝4.
由已知得x＞0，y＞0，x－2y＞0.
当eq \f(x,y)＝1时，x－2y＜0，此时lg(x－2y)无意义，舍去．
当eq \f(x,y)＝4时，代入已知条件，符合题意，综上eq \f(x,y)＝4.