苏科版2.7 有理数的乘方优秀达标测试

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有理数的乘方
知识点一、有理数乘方的意义
求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂.
一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”.
1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果；
2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写；
3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来；
4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来；
5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方.
例：下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣13；④（﹣1）2，其中结果等于﹣1的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【解答】A
【解析】①﹣12=﹣1，符合题意；②﹣（﹣1）2=﹣1，符合题意；③﹣13=﹣1，符合题意；④（﹣1）2=1，不符合题意，故A选项正确.
知识点二、有理数乘方的运算
1. 有理数乘方运算的符号法则
（1） 正数的任何次幂都是正数；
（2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
（3） 0的任何正整数次幂都是0；
（4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数.
2. 有理数的乘方运算
计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.
3. 拓展：
（1）1的任何次幂都是1；
（2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1；
（3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1.
例：计算所得的结果是（ ）
A. －2 B. 2 C. D.
【解答】C
【解析】，故选C.
知识点三、科学记数法
1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法.
2. 如何确定科学记数法中的a和n
（1） a是一个整数数位只有一位的数，即；
（2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几.
a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小；
b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致；
c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号；
d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉.
例：5G信号的传播速度为300 000 000m/s，将300 000 000用科学记数法表示为 .
【解答】
【解析】a是一个整数数位只有一位的数，即，所以a＝3，n等于原数的整数位减1，所以n＝8，所以300 000 000＝.

巩固练习
一．选择题
1．据上海发布消息，上海市卫健委4月7日通报：2022年4月6日0﹣24时，上海新增本土新冠肺炎确诊病例322例无症状感染者19660例，将无症状感染者19660例用科学记数法表示为（　　）
A．1.966×104 B．1.96×104 C．19.66×102 D．19.66×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：19660＝1.966×104．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．同种液体，压强随着深度增加而增大．7km深处海水的压强为72100000Pa，数据72100000用科学记数法表示为（　　）
A．7.21×106 B．0.721×108 C．7.21×107 D．721×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：72100000＝7.21×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列各对数中，相等的一对是（　　）
A．223与(23)2 B．﹣22与（﹣2）2
C．﹣（﹣3）与﹣|﹣3| D．（﹣2）3与﹣23
【分析】根据有理数的乘方运算法则及绝对值的意义分别进行计算，从而作出判断．
【解答】解：A、223=43，（23）2=49，故此选项不符合题意；
B、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，故此选项不符合题意；
C、﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，故此选项不符合题意；
D、（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查有理数的乘方运算，理解有理数乘方中的底数，以及正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数是解题关键．
4．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的23，第二次剪去剩下绳子的23，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（　　）
A．(13)99m B．(23)99m C．(13)100m D．(23)100m
【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可．
【解答】解：∵第一次剪去绳子的23，还剩13m；
第二次剪去剩下绳子的23，还剩13(1-23)=(13)2m，
……
∴第100次剪去剩下绳子的23后，剩下绳子的长度为（13）100m；
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是解题的关键．
5．若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣9 C．9 D．6
【分析】根据非负数的性质列式求出ab的值，然后再代入代数式进行计算．
【解答】解：根据题意得，a+3＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣3，b＝2，
∴ab＝（﹣3）2＝9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，几个非负数相加等于0，则每一个算式都等于0．
6．下列说法：
①最大的负整数是﹣1；
②有理数分为正有理数和负有理数；
③a与﹣a必为一正数和一负数；
④正数的任何次幂都是正数，负数的任何次幂都是负数；
⑤数轴上的点不都表示有理数；
⑥如果a2＝b2，那么一定有a3＝b3．
其中错误的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用有理数的相关概念，运算法则对每个说法进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵最大的负整数是﹣1，
∴①的说法正确；
∵有理数分为正有理数，负有理数和零，
∴②的说法错误；
∵当a＝0时，﹣a＝0，
∴③的说法错误；
∵负数的奇数次幂都是负数，负数的偶数次幂都是正数，
∴④的说法错误；
∵数轴上的点与实数一一对应，即数轴上的点表示实数，
∴⑤的说法正确；
∵如果a2＝b2，那么a＝b或a＝﹣b．
∴a3＝b3或a3＝﹣b3．
∴⑥的说法错误．
综上，说法错误的有：②③④⑥，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正数和负数，有理数的乘方，有理数的分类，实数的乘方，数轴与实数的一一对应关系，准确利用相关概念与法则进行判断是解题的关键．
7．计算（﹣1）2021的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2021
【分析】根据乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可．
【解答】解：（﹣1）2021＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握根据乘方的法则是解题的关键．
8．若|﹣x|＝|﹣3|，（y﹣1）2＝4，则﹣xy的值为（　　）
A．﹣9或3 B．±3 C．±9 D．±3或±9
【分析】由题意|﹣x|＝|﹣3|，（y﹣1）2＝4，根据绝对值和偶次方的性质可以求出x和y的值，然后代入xy求解．
【解答】解：∵|﹣x|＝|﹣3|，（y﹣1）2＝4，
∴x＝±3，y﹣1＝±2，
∴x＝±3，y＝3或﹣1，
∴﹣xy＝±9或±3，
故选：D．
【点评】此题主要考查非负数绝对值和偶次方的性质即所有非负数都大于等于0，本题是一道基础题．
9．下列各数：﹣（﹣2）．﹣34，5.2，﹣|-34|，0，（﹣1）2021，其中非负数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据绝对值，相反数，有理数的乘方，分别化简即可得出答案．
【解答】解：﹣（﹣2）＝2，
﹣34＝﹣81，
（﹣1）2021＝﹣1，
非负数有：0，﹣（﹣2），5.2共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值，相反数，有理数的乘方，注意﹣32与（﹣3）2的底数的不同．
10．若﹣a2b＞0，且a＜0，则下列式子成立的是（　　）
A．a2+ab＞0 B．a+b＞0 C．ab2＞0 D．ba2＞0
【分析】先根据﹣a2b＞0，且a＜0知b＜0，再根据有理数的乘方、加减和除法法则计算可得．
【解答】解：∵﹣a2b＞0，且a＜0，
∴b＜0，
则A．a2+ab＞0，此选项正确；
B．a+b＜0，此选项错误；
C．ab2＜0，此选项错误；
D．ba2＜0，此选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方、加减和除法法则．
二．填空题
11．如果（3x﹣6）2+|x+y﹣5|＝0，那么x＝　2　，y＝　3　．
【分析】根据非负数的性质列方程求解即可．
【解答】解：由题意得，3x﹣6＝0，x+y﹣5＝0，
解得x＝2，y＝3．
故答案为：2；3．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
12．（1﹣2a）2与|3b﹣4|是互为相反数，则ab＝　23　．
【分析】根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【解答】解：∵（1﹣2a）2与|3b﹣4|是互为相反数，
∴（1﹣2a）2+|3b﹣4|＝0，
∴1﹣2a＝0，3b﹣4＝0，
解得a=12，b=43，
∴ab=12×43=23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了绝对值非负数，偶次方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
13．如果a4＝16，那么a＝　±2　．
【分析】根据有理数的乘方，即可解答．
【解答】解：∵（±2）4＝16，
∴a＝±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．
14．上海世博会的中国馆利用太阳能发电，年发电量可达2840000度，把2840000用科学记数法可表示为 　2.84×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2 840 000用科学记数法表示为：2.84×106．
故答案为：2.84×106．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．1根1米长的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，…，如此截下去，则第8次剩下的木棒的长为　1256　米．
【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可．
【解答】解：第一次截去一半，剩下12，
第二次截去剩下的一半，剩下12×12=（12）2，
如此下去，第8次后剩下的长度是（12）8=1256．
故答案为：1256．
【点评】本题考查的是有理数的乘方，是基础题，理解乘方的定义是解题的关键．
16．下列各式：﹣（﹣2）、﹣|﹣2|、﹣22、﹣（﹣2）2、（﹣1）×23，则计算结果为负数的有 　4　个．
【分析】根据有理数的乘方、相反数、绝对值、相反数、去括号法则解决此题．
【解答】解：根据有理数的乘方，﹣22＝﹣4＜0，﹣（﹣2）2＝﹣4，符合题意．
根据相反数的定义，﹣（﹣2）＝2＞0，不符合题意．
根据绝对值的定义，﹣|﹣2|＝﹣2＜0，符合题意．
根据有理数的乘法，（﹣1）×23＝﹣23，符合题意．
综上：计算结果中为负数的有共4个．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查有理数的乘方、相反数、绝对值、相反数、去括号法则，熟练掌握有理数的乘方、相反数、绝对值、相反数、去括号法则是解决本题的关键．
17．﹣113的立方的倒数的相反数是　2764　．
【分析】要弄清立方、倒数、相反数这些概念．
【解答】解：﹣113的立方即(-43)3=-6427，
即它的倒数是-2764，进而它的相反数是2764．
答：﹣113的立方的倒数的相反数是2764．
【点评】应特别注意负数的立方仍是负数．同时要细心，不要漏掉一层意思．
18．计算13+23+33+43+…+993+1003的值是　25502500　．
【分析】对前几项分别计算，然后总结出规律，从1开始的连续自然数立方和等于它们和的平方进行计算即可得解．
【解答】解：∵13＝1，
13+23＝9＝32＝（1+2）2，
13+23+33＝36＝62＝（1+2+3）2，
13+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2，
…，
∴13+23+33+43+…+993+1003＝（1+2+3+4+…+100）2
＝（(1+100)×1002）2
＝50502
＝25502500．
【点评】本题考查了有理数的乘方，根据逐项增加计算所得的结构总结出规律是解题的关键，也是本题的难点．
三．解答题
19．已知（x﹣3）2+|2x﹣3y+6|＝0，求（x﹣y）2的值．
【分析】根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣3＝0，2x﹣3y+6＝0，
解得x＝3，y＝4，
所以（x﹣y）2＝（3﹣4）2＝1，
即（x﹣y）2的值是1．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
20．把下列各数填在相应的括号里．
﹣|﹣2|，0，﹣（﹣1）2，﹣（﹣5），-13，227．
正数集合{　﹣（﹣5），227　…}；
负数集合{　﹣|﹣2|，﹣（﹣1）2，-13　…}；
非负整数集合{　0，﹣（﹣5）　…}．
【分析】先化简这些数，再分类即可．
【解答】解：﹣|﹣2|＝﹣2，
﹣（﹣1）2＝﹣1，
﹣（﹣5）＝5，
正数集合{﹣（﹣5），227，…}；
负数集合{﹣|﹣2|，﹣（﹣1）2，-13，…}；
非负整数集合{0，﹣（﹣5），…}；
故答案为：﹣（﹣5），227；﹣|﹣2|，﹣（﹣1）2，-13；0，﹣（﹣5）．
【点评】本题考查了有理数，相反数，绝对值，有理数的乘方，掌握非负整数包括正整数和0是解题的关键．
21．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，9）＝　2　，（4，1）＝　0　，（2，18）＝　﹣3　；
（2）若记（3，4）＝a，（3，7）＝b，（3，28）＝c，求证：a+b＝c．
【分析】（1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案；
（2）由题意得：3a＝4，3b＝7，3c＝28，根据4×7＝28，得到3a×3b＝3c，根据同底数幂的乘法法则得到3a+b＝3c，从而得出结论．
【解答】解：（1）∵32＝9，40＝1，2﹣3=18，
故答案为：2；0；﹣3；
（2）证明：由题意得：3a＝4，3b＝7，3c＝28，
因为4×7＝28，
所以3a×3b＝3c，
所以3a+b＝3c，
所以a+b＝c．
【点评】本题考查了有理数的乘方，新定义，根据4×7＝28，得到3a×3b＝3c是解题的关键．
22．我国约有9600000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧150000吨煤所产生的能量．
（1）一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所产生的能量？
（2）若1吨煤大约可以发出8000度电，那么（1）中的煤大约发出多少度电？（结果用科学记数法表示）
【分析】（1）根据乘法的意义列出算式（9.6×106）×（1.5×105）计算，再用科学记数法表示即可；
（2）用（1）的结果乘以8×103，求出结果后再用科学记数法表示即可．
【解答】解：（1）（9.6×106）×（1.5×105）
＝（9.6×1.5）×（106×105）
＝1.44×1012（吨）．
答：一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧1.44×1012吨煤．
（2）（1.44×1012）×（8×103）
＝（1.44×8）×（1012×103）
＝1.152×1016（度）．
答：（1）中的煤大约发出1.152×1016度电．
【点评】此题主要考查了科学记数法﹣表示较大的数，整式的混合运算，熟练应用运算法则是解题关键．
23．观察下列各式：
13+23=9=14×4×9=14×22×32
13+23+33=36=14×9×16=14×32×42
13+23+33+43=100=14×16×25=14×42×52
…
（1）计算：13+23+33+43+…+103的值；
（2）试猜想13+23+33+43+…+n3的值．
【分析】观察已知的几个式子可以得到规律：等号的左边是从1开始的连续整数的立方和的形式，右边是14与两个数的平方的积，第一个是左边的整数中的最大的一个，第二个是比这个数大1的相邻的整数，据此规律即可求解．
【解答】解：（1）13+23+33+43+…+103，
=14×102×(10+1)2，
=14×100×121，
＝3025；

（2）13+23+33+43+…+n3=14n2(n+1)2．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方的计算方法，正确观察已知的式子的特点，得到规律是解决本题的关键．
24．在一次水灾中，大约有2.5×107个人无家可归，假如一顶帐篷占地100平方米，可以放置40个床位（一人一床位），为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多少地方？若某广场面积为5000平方米．要安置这些人，大约需要多少个这样的广场？（所有结果用科学记数法表示）
【分析】用人数除以每一顶帐篷的床位数，计算即可求出帐篷数；
用帐篷数乘以每一顶帐篷所占的面积计算即可求出占地面积；
用所有帐篷的占地面积除以广场的面积计算即可求出广场的个数．
【解答】解：帐篷数：2.5×107÷40＝6.25×105；
这些帐篷的占地面积：6.25×105×100＝6.25×107；
需要广场的个数：6.25×107÷5000＝1.25×104．
【点评】本题考查了科学记数法表示较大的数，读懂题目信息，正确列出算式是解题的关键．
25．已知□，★，△分别代表1∼9中的三个自然数．
（1）若□+□+□＝15，★+★+★＝12，△+△+△＝18，那么□+★+△＝　15　；
（2）如果用★△表示一个两位数，将它的个位和十位上的数字交换后得到一个新的两位数△★，若★△与△★的和恰好为某自然数的平方，则该自然数是多少？这两个两位数和是多少？
【分析】（1）根据□+□+□＝15，★+★+★＝12，△+△+△＝18，可求出□+★+△＝15；
（2）设原来的两位数的个位数字为a，十位数字为b，
则这个两位数可表示为10b+a，交换后可表示为10a+b，若★△与△★的和为某一个自然数的平方，因此有11（a+b）是完全平方式，
再根据a、b的值为正整数，因此，可得出这个两位数．
【解答】解：（1）∵□+□+□＝15，★+★+★＝12，△+△+△＝18，
∴3（□+★+△）＝15+18+12，
∴□+★+△＝45÷3＝15，
故答案为：15；
（2）设原来的两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可表示为10b+a，交换后可表示为10a+b，
由★△与△★的和为某一个自然数的平方，
可得，11（a+b）＝112，
∴a+b＝11，
又a、b为正整数，
∴这两个两位数为29和92，38或83，47或74，56或65，
答：这个自然数为11，这两个有理数为29或92，38或83，47或74，56或65．
【点评】本题考查有理数的乘方，掌握有理数乘方的计算方法是得出正确答案的前提．
26．阅读下列各式：（a•b）2＝a2b2，（a•b）3＝a3b3，（a•b）4＝a4b4…
回答下列三个问题：
（1）验证：（2×12）100＝　1　，2100×（12）100＝　1　；
（2）通过上述验证，归纳得出：（a•b）n＝　anbn　； （abc）n＝　anbncn　．
（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015．
【分析】（1）先算括号内的乘法，再算乘方；先乘方，再算乘法；
②根据有理数乘方的定义求出即可；
③根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）（2×12）100＝1，2100×（12）100＝1；

②（a•b）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，

③原式＝（﹣0.125）2015×22015×42015×[（﹣0.125）×（﹣0.125）×2]
＝（﹣0.125×2×4）2015×132
＝（﹣1）2015×132
＝﹣1×132
=-132．
故答案为：1，1；anbn，anbncn．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方，掌握运算法则是解答此题的关键．
27．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：
（1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成　16　个细胞；
（2）这样的一个细胞经过3小时后可分裂成　64　个细胞；
（3）这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成　22n　个细胞．

【分析】根据图形可知其规律为n小时是22n．
【解答】解：（1）第四个30分钟后可分裂成24＝16；
（2）经过3小时后可分裂成22×3＝26＝64；
（3）经过n（n为正整数）小时后可分裂成22n．
【点评】主要考查从图示或数据中寻找规律的能力．