苏科版七年级上册第6章 平面图形的认识（一）6.5 垂直优秀同步练习题

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垂直
知识点一、垂线的概念及表示
1. 垂线：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.（垂线是直线，不是线段）
2. 垂足：互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.
3. 表示方法：如图所示，两条直线互相垂直，记作a⊥b或AB⊥CD，O是垂足.

4. 两条直线互相垂直时，常在垂足处写一个直角标志“┑”.
5. 线段与线段、线段与射线、射线与射线垂直，指的都是它们所在的直线互相垂直.
例：已知OC⊥OA，OD⊥OB，若∠AOB＝30°，则∠COD等于（　　）
A．60° B．30°或150° C．120° D．90°
【解答】B
【解析】如图1：∵OC⊥OA，OD⊥OB，

∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
∵∠AOB＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠COD＝150°；
如图2：
∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
∵∠AOB＝30°，
∴∠DOC＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°；
如图3：
∴∠BOC＝60°，
∴∠COD＝30°，
故选B．
知识点二、垂线的画法
如图所示，过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线.

知识点三、垂线的结论
1. 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2. 垂线段及其性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短.
3. 点到直线的距离

如图所示，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，上图中，线段AB的长度就是点A到直线l的距离.
4. 已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条.
5. 连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.
6. 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，并不是垂线段.
例：如图，下列线段的长度指的是点A到直线CD的距离的是（　　）

A．AC B．CD C．AD D．BD
【解答】C
【解析】∵AD与CD垂直于点D，
∴线段AD是点A到直线CD的距离，
故选C．

巩固练习
一．选择题（共8小题）
1．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点A到CD的距离是线段（　　）的长度．

A．CD B．AD C．BD D．BC
【分析】根据点到直线的距离的概念判断即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴点A到AB的距离是线段AD的长度，
故选：B．
【点评】本题考查的是点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
2．点P为直线l外一点，点A为直线l上一点，PA＝4cm，设点P到直线l的距离是dcm，则（　　）
A．d＞4 B．d≥4 C．d＜4 D．d≤4
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短进行求解即可．
【解答】解：∵点P到直线l的距离是dcm，点到直线的距离是垂线段的长度，垂线段最短PA＝4cm
∴d≤4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟知垂线段最短是解题的关键．
3．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有A、B、C、D四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在（　　）

A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
【分析】根据垂线段最短得出即可．
【解答】解：建在点C处，根据垂线段最短，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短的知识点是解此题的关键．
4．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠BOD＝25°，则∠AOC的大小为（　　）

A．65° B．105° C．120° D．115°
【分析】利用互余角的关系和邻补角的关系进行计算即可．
【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵∠BOD＝25°，
∴∠BOC＝65°，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝115°，
故选：D．
【点评】本题考查了余角，邻补角的定义，解题关键是在于找准互余的两个角和互补的两个角．
5．如图，直线AB与CD交于点O，过点O作EO⊥CD，∠AOE＝50°，则∠BOC的度数是（　　）

A．140° B．135° C．130° D．120°
【分析】根据垂线的定义，由EO⊥CD，得∠DOE＝90°，推断出∠AOD＝∠DOE+∠AOE＝140°．根据对顶角的定义，得∠BOC＝∠AOD＝140°．
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠DOE＝90°．
∴∠AOD＝∠DOE+∠AOE＝90°+50°＝140°．
∴∠BOC＝∠AOD＝140°．
故选：A．
【点评】本题主要考查垂线、对顶角，熟练掌握垂线、对顶角的定义是解决本题的关键．
6．如图，直线AB，CD相交于点E，EF⊥AB于点E，若∠FEC﹣∠AEC＝20°，那么∠AED的度数为（　　）

A．125° B．135° C．140° D．145°
【分析】设∠AEC为x，则∠FEC＝x+20°；由∠AEC+∠FEC＝90°，得出x+x+20°＝90°，求出x＝35°，即可求出∠AED＝180°﹣35°＝145°．
【解答】解：设∠AEC为x，则∠FEC＝x+20°；
∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEC+∠FEC＝90°，
∴x+x+20°＝90°，
解得：x＝35°，
即∠AEC＝35°，
∴∠AED＝180°﹣35°＝145°．
故选：D．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角以及垂线的定义；仔细观察图形弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键．
7．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥AB，OG平分∠EOF，若∠BOC＝48°，则∠AOG等于（　　）

A．10° B．12° C．14° D．16°
【分析】根据角平分线的定义表示出∠COE和∠AOG，然后根据∠AOG＝∠EOG﹣∠AOE计算即可得解．
【解答】解：∵∠BOC＝48°，
∴∠AOC＝180°﹣48°＝132°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC=12∠AOC=12×132°=66°，
∵OF⊥AB，
∴∠BOF＝90°，
∴∠EOF＝360°﹣∠EOC﹣∠BOC﹣∠BOF
＝360°﹣66°﹣48°﹣90°
＝156°
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOG＝∠FOG=12∠EOF=12×156°=78°，
∴∠AOG＝∠EOG﹣∠AOE＝78°﹣66°＝12°，
故选：B．
【点评】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系是解题的关键．
8．如图，将一副三角尺的直角顶点重合放置于点A处，下列结论：
①∠BAE＞∠DAC；②∠BAD＝∠EAC；③AD⊥BC；④∠BAE+∠DAC＝180°；⑤∠E+∠D＝∠B+∠C．其中结论正确的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据三角形内角和定理以及角的和差关系解决此题．
【解答】解：（1）由图可得：∠BAE＝∠CAE+∠BAD+∠CAD．
∴∠BAE＞∠DAC．
故①正确．
（2）由题意得：∠EAD＝90°，∠BAC＝90°．
∴∠EAC+∠CAD＝∠CAD+∠BAD．
∴∠EAC＝∠BAD．
故②正确．
（3）欲证AD⊥BC，需证∠B+∠DAB＝90°．
由题得：∠B＝45°．
∵题目已知条件无法证得∠DAB＝45°．
故③无法得证．
（4）由题意得：∠EAD＝90°，∠BAC＝90°．
∴∠EAC+∠CAD＝∠CAD+∠BAD＝90°．
∴∠BAE+∠DAC＝∠BAC+∠EAC+∠DAC＝90°+∠EAD＝90°+90°＝180°．
故④正确．
（5）由题意得：∠EAD＝90°，∠BAC＝90°．
∴∠E+∠D＝180﹣∠EAD＝90°，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝90°．
∴∠E+∠D＝∠B+∠C．
故⑤正确．
综上：正确有①②④⑤，共4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查角的和差关系、三角形内角和定理以及垂直的定义，熟练掌握角的和差关系、三角形内角和定理以及垂直的定义是解决本题的关键．
二．填空题（共8小题）
9．如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE＝4cm，CD＝3cm，CF＝6cm．则点C到AB的距离是 　3　cm．

【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．
【解答】解：∵CD⊥AB，点E、F在AB上，CD＝3cm，
∴点C到AB的距离是CD＝3cm，
故答案为：3．
【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离是垂线段的长度是解题关键．
10．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝40°6'，则∠AOC的度数为 　49°54'　．

【分析】直接利用垂直的定义结合平角的定义得出答案．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOC＝90°，
∵∠BOE＝40°6'，
∴∠AOC＝180°﹣90°﹣40°6'＝49°54'．
故答案为：49°54'．
【点评】此题主要考查了垂线，正确得出∠EOC的度数是解题关键．
11．人去河边打水总是垂直于河边方向走的数学原理是 　点与直线上各点所连的所有线段中，垂线段最短　．
【分析】根据垂线段的性质，可得答案．
【解答】解：人去河边打水总是垂直于河边方向走的数学原理是点与直线上各点所连的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：点与直线上各点所连的所有线段中，垂线段最短．
【点评】本题主要考查了垂线段的性质，熟练掌握点与直线上各点所连的所有线段中，垂线段最短这条性质是解答本题的关键．
12．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COE＝54°，则∠BOD的度数是 　36°　．

【分析】利用余角、对顶角的定义计算即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOC+∠COE＝90°，
∵∠COE＝54°，
∴∠AOC＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查了余角、对顶角的定义，解题的关键是找到两个互余的角和对顶角．
13．已知∠A和∠B的两边互相垂直，且∠A比∠B的两倍少60°，则∠B的度数为 　60°或80°　．
【分析】由∠A和∠B的两边分别垂直，即可得∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，又由∠A比∠B的两倍少60°，即可求得∠B的度数．
【解答】解：∵∠A和∠B的两边分别垂直，
∴∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，
∵∠A比∠B的两倍少60°，
即∠A＝2∠B﹣60°，
①当∠A＝∠B时，∠A＝2∠A﹣60°，
∴∠B＝60°．
②当∠A+∠B＝180°时，
∴2∠B﹣60°+∠B＝180°，
∴∠B＝80°
∴∠B＝60°或∠B＝80°，
故答案为：60°或80°．
【点评】此题考查了垂线，解题的关键是掌握由∠A和∠B的两边分别垂直，即可得∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，注意分类讨论思想的应用．
14．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则A到BC距离是 　4　．若A地在C地的正东方向，则B地在C地的 　正北　方向．

【分析】由题中是直角三角形，并根据已知数据可得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则A到BC距离是4，
若A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向．
故答案是：4；正北．
【点评】本题考查了点到直线的距离和方向角．能够利用直角三角形判断方向角．
15．在直线MN上取一点P，过点P作射线PA、PB，若PA⊥PB，当∠MPA＝55°时，则∠NPB度数是 　35°或145°　．
【分析】分两种情况：①射线PA，PB在直线MN的同侧，②射线PA，PB在直线MN的异侧，根据垂直的定义和平角的定义解答即可．
【解答】解：①如图1，∵PA⊥PB，∠MPA＝55°，

∴∠NPB＝180°﹣90°﹣55°＝35°；
②如图2，

∵PA⊥PB，∠MPA＝55°，
∴∠MPB＝35°，
∴∠NPB＝180°﹣35°＝145°，
综上所述：∠NPB的度数是35°或145°．
故答案为：35°或145°．
【点评】本题考查了垂线，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键．
16．已知：直线AB与直线CD交于点O，∠BOC＝45°，
（1）如图，若EO⊥AB，则∠DOE＝　135°　．
（2）如图，若EO平分∠AOC，则∠DOE＝　112.5°　．

【分析】（1）根据对顶角相等求∠AOD，由垂直的性质求∠AOE，根据∠DOE＝∠AOD+∠AOE求解；
（2）由邻补角的性质求∠AOC，根据EO平分∠AOC求∠AOE，再由∠DOE＝∠AOD+∠AOE求解．
【解答】解：（1）∵直线AB与直线CD相交，
∴∠AOD＝∠BOC＝45°．
∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝135°；

（2）∵直线AB与直线CD相交，
∴∠AOD＝∠BOC＝45°，∠AOC＝135°，
∵EO平分∠AOC，
∴∠AOE=12∠AOC＝67.5°，
∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝112.5°．
故答案为：135°；112.5°．
【点评】本题考查了对顶角，邻补角的性质，角平分线的性质，垂直的定义．关键是采用形数结合的方法解题．
三．解答题（共10小题）
17．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥EF，OG平分∠BOF，∠AOC＝20°．求∠DOG的度数．

【分析】首先垂直的定义可得∠COF＝90°，根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝20°，根据补角的定义可得∠BOF＝70°，再根据角平分线的定义以及角的和差关系算出∠DOG的度数．
【解答】解：∵CD⊥EF（已知），
∴∠COF＝90°（垂直的定义），
∵∠BOD＝∠AOC＝20°（对顶角相等），
∴∠BOF＝180°﹣∠AOC﹣∠COF（或∠BOF＝180°﹣∠COF﹣∠BOD）
＝180°﹣90°﹣20°＝70°（平角的定义），
又∵OG平分∠BOF（已知），
∴∠BOG=12∠BOF=12×70°=35°（角平分线的定义），
∴∠DOG＝∠BOG+∠BOD＝35°+20°＝55°．
【点评】此题主要考查了角的计算，关键是掌握对顶角相等，垂直定义，角平分线的性质．
18．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．
（1）若∠BOC＝2∠AOC，求∠BOD的度数．
（2）若∠1＝∠2，请判断ON与CD垂直吗？如果垂直，请说明理由．

【分析】（1）利用∠BOC＝2∠AOC，根据平角的定义计算即可；
（2）利用等量代换，可计算∠AOC+∠2＝90°，即可证明ON⊥CD．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝2∠AOC，∠BOC+∠AOC＝180°，
∴2∠AOC+∠AOC＝180°，
∴3∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝∠AOC＝60°；
（2）垂直，
∵OM⊥AB，
∴∠AOC+∠1＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠AOC+∠2＝90°，
∴ON⊥CD．
【点评】本题考查了垂直、对顶角、邻补角的问题，解题的关键是熟练找到互余的两个角、互补的两个角、对顶角．
19．如图，已知OB，OC，OD是∠AOE内三条射线，OB平分∠AOE，OD平分∠COE．
（1）若∠AOB＝70°，∠DOE＝20°，求∠BOC的度数．
（2）若∠AOE＝136°，AO⊥CO，求∠BOD的度数．
（3）若∠DOE＝20°，∠AOE+∠BOD＝220°，求∠BOD的度数．

【分析】（1）由角平分线的定义，表示出∠BOC，即可求解；
（2）由角平分线的定义，表示出∠BOD，即可求解；
（3））由角平分线的定义，列出关于∠BOD的方程组，即可求解．
【解答】解：（1）∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE，
∴∠BOE＝∠AOB＝70°，
∠COE＝2∠DOE＝40°，
∵∠BOC＝﹣∠BOE﹣∠COE，
∴∠BOC＝70°﹣40°＝30°．
（2）∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE，
∴∠BOE=12∠AOE，∠DOE=12∠COE，
∵∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE，
∴∠BOD=12（∠AOE﹣∠COE）=12∠AOC，
∵AO⊥CO，
∴∠AOC＝90°，
∴∠BOD＝45°．
（3）∵OB平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠BOE，
∵∠AOE+∠BOD＝220°，
∴2∠BOE+∠BOD＝220°，
∵∠BOE﹣∠BOD＝∠DOE，
∴∠BOE﹣∠BOD＝20°，
∴2∠BOE﹣2∠BOD＝40°，
∴3∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝60°．
【点评】本题考查角的计算，关键是由角平分线定义得出有关等式．
20．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，OM平分∠BOE，
∠AOC＝50°．
（1）求∠DOM的度数；
（2）在∠AOM的内部画射线ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分线吗？请说明理由．

【分析】（1）根据∠AOC与∠BOD是对顶角，∠BOE＝∠BOD+∠DOE，OM平分∠BOE，解答即可；
（2）根据角平分线的定义求出∠AOD的度数即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，
∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝90°+50°＝140°，
∵OM平分∠BOE，
OM平分∠BOE，
∴∠BOM=12×140°＝70°，
∴∠DOM＝∠BOM﹣∠BOD＝70°﹣50°＝20°；
（2）ON平分∠AOD，
∵∠DOM＝20°，∠MON＝45°，
∴∠DON＝∠DOM+∠MON＝45°+20°＝65°，
∵∠AOC＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
∴∠DON=12∠AOD，
∴ON平分∠AOD．
【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．
21．如图，直线AB和CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，OF平分∠BOD，若∠EOF＝107°，求∠COE的度数．

【分析】根据EO⊥AB，得到∠EOB＝90°．再根据∠BOF＝∠EOF﹣∠EOB求出∠BOF，再利用OF平分∠BOD求出∠BOD，然后利用∠COE+∠EOB+BOD＝180°，求出∠COE的度数．
【解答】解：∵EO⊥AB，
∴∠EOB＝90°．
∵∠EOF＝107°，
∴∠FOB＝∠EOF﹣∠EOB＝107°﹣90°＝17°．
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠FOB＝34°．
∵∠BOD+∠EOB+∠COE＝180°，
∴∠COE＝180°﹣34°﹣90°＝56°．
【点评】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义及角的和差运算，熟练把垂直的定义，角平分线的定义转化成角的度数运算是解题的关键．
22．如图，∠AOC＝140°，OD平分∠AOC，OB⊥OA，垂足为O．求∠DOB的度数．（按要求填空）
解：∵OD平分∠AOC（已知），
∴∠AOD＝∠DOC（ 　角平分线的定义　）．
∵∠AOC＝140°（ 　已知　），
∴∠AOD＝　70　°（等量代换）．
又∵OB⊥OA（已知），
∴∠AOB＝90°（ 　垂直的定义　）．
∴∠DOB＝∠AOB﹣　∠AOD　＝　20　°．

【分析】根据角平分线的定义，由OD平分∠AOC，得∠AOD＝∠DOC，进而推断出∠AOD＝70°．根据垂直的定义，由OB⊥OA，得∠AOB＝90°，从而推断出∠DOB＝∠AOB﹣∠AOD＝20°．
【解答】解：∵OD平分∠AOC（已知），
∴∠AOD＝∠DOC（角平分线的定义）．
∵∠AOC＝140°（已知），
∴∠AOD＝70°（等量代换）．
又∵OB⊥OA（已知），
∴∠AOB＝90°（垂直的定义）．
∴∠DOB＝∠AOB﹣∠AOD＝20°．
故答案为：角平分线的定义，已知，70，垂直的定义，∠AOD，20．
【点评】本题主要考查角平分线的定义、垂直的定义、角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义、垂直的定义、角的和差关系是解决本题的关键．
23．如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度数；
（2）在（1）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．

【分析】（1）由角平分线的性质可得∠BOD＝∠BOE，结合∠BOE：∠EOC＝1：4，可求得∠BOD的度数，从而求得∠AOC的度数；
（2）作OF⊥CD，由（2）可得∠EOC的度数，则∠EOF＝∠EOC﹣90°．
【解答】解：（1）∵OB平分∠EOD，
∴∠BOD＝∠BOE=12∠DOE，
∵∠BOE：∠EOC＝1：4，
∴∠EOC＝4∠BOE＝4∠BOD，
∵∠EOC+∠DOE＝180°，
∴4∠BOD+2∠BOD＝180°，
解得：∠BOD＝30°，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°；
（2）作OF⊥CD，如图所示：

∴∠COF＝90°，
由（1）得：∠EOC＝4×30°＝120°，
∴∠EOF＝∠EOC﹣∠COF＝30°；
如图所示：

由（1）得∠DOE＝60°，
∴∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝150°．
【点评】本题主要考查邻补角，角平分线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
24．已知，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，∠EOC：∠BOD＝7：11．
（1）如图1，求∠DOE的度数；
（2）如图2，过点O画出直线CD的垂线MN，请直接写出图中所有度数为125°的角．

【分析】（1）由垂直的定义可得∠AOE＝90°，结合角的比值及对顶的性质可求得∠EOC，∠AOC的度数，再利用邻补角的定义可求解；
（2）由邻补角的定义可求解∠BOC＝125°，结合对顶角的性质可得∠AOD＝125°，根据垂线的定义可求解∩EON的度数，进而可求解∠MOE＝125°，即可求解．
【解答】解：（1）∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD，∠EOC：∠BOD＝7：11，
∴∠EOC：∠AOC＝7：11，
∴∠EOC＝90°×718=35°，∠AOC＝90°×1118=55°，
∴∠DOE＝∠180°﹣∠COE＝180°﹣35°＝145°；
（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣55°＝125°；
∴∠AOD＝∠BOC＝125°；
∵MN⊥CD，
∴∠CON＝90°，
∴∠COE+∠EON＝90°，
∵∠COE＝35°，
∴∠EON＝90°﹣35°＝55°，
∴∠MOE＝180°﹣∠EON＝125°，
故图中所有度数为125°的角为：∠BOC，∠AOD，∠MOE．
【点评】本题考查了垂直定义，邻补角，对顶角，角的有关计算的应用，主要考查学生的计算能力．
25．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥CD．
（1）如图1，将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF，即∠BOD＝∠FOD．求证：OE平分∠AOF；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点O作OG⊥AB，当∠FOG：∠AOE＝2：3时，求∠COG的度数．

【分析】（1）证明OE平分∠AOF，即证明∠AOE＝∠EOF，通过题目中角度的和差运算可得；
（2）设出∠FOG的度数，表示出∠AOE的度数，找到等量关系，列出等式，求出未知数的值，即可．
【解答】（1）证明：∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠EOF+∠FOD＝90°，
∴2∠EOF+2∠FOD＝180°，
∵∠BOD＝∠FOD，
∴∠FOB＝2∠FOD，
∴2∠EOF＝180°﹣∠FOB＝∠AOF，
∴∠AOE＝∠EOF，
∴OE平分∠AOF．
（2）解：∵∠FOG：∠AOE＝2：3，
∴设∠FOG＝2α，则∠AOE＝3α，
∴∠EOG＝3α﹣2α＝α，
∵∠EOG+∠GOD＝90°，∠GOD+∠BOD＝90°，
∴∠EOG＝∠BOD＝α，
∴∠FOD＝∠BOD＝α，
∵A，O，B三点在一条直线上，
∴3α+3α+α+α＝180°，
解得α＝22.5°，
∴∠COG＝112.5°．
【点评】本题主要考查垂直的定义，角平分线的定义，角度的和差等内容，解题关键是找到图中角度之间的关系，列出等式．
26．直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．

【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解答】解：（1）①∵OF⊥CD于点O，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；
∴∠EOF的度数为45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE．
（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，

记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，

记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．