北师大版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示第2课时学案及答案

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示第2课时学案及答案，共9页。

1．集合有哪两种常用表示方法？它们如何定义？
2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？
3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？
4．根据集合中元素的多少，集合分为哪几类？
知识点1 列举法
把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{__}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}．
一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？
[提示] 用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
[答案] (1)× (2)×
2.不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为________．
[答案] {1,2,3,4}
知识点2 描述法
通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写上集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征．
集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合吗？
[提示] A＝{x|x－1＝0}＝{1}与集合B表示同一个集合．
3.由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．
{0,1,2,3,4} {x∈N|－1知识点3 集合的分类
1．有限集：含有有限个元素的集合．
2．无限集：含有无限个元素的集合．
3．空集：不含任何元素的集合，记作∅.
{0}与∅相同吗？
[提示] 不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}与∅不相同．
4.下列集合中，是空集的为________(填序号)．
①{0}；②{x|x>8且x<5}；③{x∈N|x2＋1＝0}；
④{x|x>4}；⑤{(x，y)|x2＝－y2，y∈R}．
[答案] ②③
5.下列集合中________是有限集，________是无限集．(填序号)
①由小于8的正奇数组成的集合；
②由大于5且小于20的实数组成的集合；
③由小于0的自然数组成的集合．
①③ ② [①因为小于8的正奇数为1,3,5,7，所以其组成的集合是有限集．
②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集．
③因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0个元素，所以其组成的集合是有限集．]
知识点4 区间及相关概念
1．区间的概念及记法
设a，b是两个实数，且a2．无穷大
实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
3．特殊区间的表示
(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？
[提示] (1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
6.用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2(3)R＝________；
[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,3] (3)(－∞，＋∞)
类型1 用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合．
[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，
故交点组成的集合是{(0,1)}．
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
注意：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
B [集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．]
2．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.
[解] (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，
所以A＝{2,3,4,5}．
(2)因为方程x2－9＝0的实数根为－3,3，
所以B＝{－3,3}．
类型2 用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于4的所有偶数．
[解] (1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N*}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
描述法表示集合的2个步骤
注意：描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．用适当的方法表示下列集合：
(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)一次函数y＝x的图象上去掉原点的点的集合．
[解] (1)列举法：P＝{0,2,4}．
(2)描述法：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y＝x2－2x,y＝0)))))).
或列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
类型3 用区间表示集合
【例3】 将下列集合用区间及数轴表示出来：
(1){x|x<2}；
(2){x|x≥3}；
(3){x|－1≤x<5}．
[解] (1){x|x<2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：
(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：
(3){x|－1≤x<5}用区间表示为[－1,5)，用数轴表示如下：
区间的几何意义可用数轴表示，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
4．我们一般称b－a(b>a)为{x|a≤x≤b}所表示的区间长度，则{x|－2≤x≤4}所表示的区间长度为________．
6 [由题意得，所求区间长度为4－(－2)＝6.]
类型4 集合表示法的应用
【例4】 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
[解] 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.
此时集合A＝{2}．
当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实数根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
1．(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围．
[解] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≠0，,Δ＝－82－4×k×16>0，))
解得k<1，且k≠0.
2．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值范围．
[解] ①当集合A中含有1个元素时，由例4知，k＝0或k＝1；
②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≠0，,Δ＝－82－4×k×16<0，))
解得k>1.
综上，实数k的取值集合为{k|k＝0或k≥1}．
集合与方程综合问题的解题策略
(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数解．
(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
5．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．
[解] 由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3＝a，,2×3＝b，))因此a＝5，b＝6.
以实际问题为背景的集合问题(材料型)
幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验，每年，家有即将幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区今年率先发布了幼升小入学政策：
1．本市户籍适龄儿童入学．凡年满6周岁(2014年8月31日以前出生)的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证(监护人持有)的适龄儿童均需参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学．
2．非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区内多校划片入学．
该市东城区2020年的入学顺位可以参考2019年公布的入学顺位说明：
第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户口”；
第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”；
第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”；
第七顺序：“本片户口＋‘(外)曾祖父’房屋产权”．
[问题探究]
1．若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合A，试用描述法表示该集合．
[提示] A＝{x|x具有本片区户口且房屋产权所有人是本人或其父或母，或房屋产权所有人是本人或其父或母且具有本市户口，或具有本片区户口且有“四老”房屋产权，或是七类人且房屋产权所有人是本人或其父或母，或具有本片区户口且有军产房或部队证明及住房，或具有本片区户口及“(外)曾祖父”房屋产权}．
2．某儿童a具有该市户口(非本区)，a是集合A的元素吗？
[提示] a不一定是A中的元素，由于a不是东城区户口，还需满足房屋产权所有人为儿童本人或其父或母．
3．某儿童b的父母在东城区有房屋产权，b是集合A中的元素吗？
[提示] b不一定是A中的元素，因为b不一定具有本片区户口.
1．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
D [A中应是xy<0，B中应为{x|x<5}，C中“{}”与“全体”意思重复，故选D.]
2．区间(－3,2]用集合可表示为( )
A．{－2，－1,0,1,2}B．{x|－3C．{x|－3C [由区间和集合的关系可得，区间(－3,2]可表示为{x|－33．下列四个集合中，不同于另外三个集合的是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2))))B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝2))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2))D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋4＝0))))
B [eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝2))的元素是x＝2，故选B.]
4．方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解集可表示为________(填序号)．
①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＋y＝3，,x－y＝－1))))))；②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))))))；
③{1,2}；④{(x，y)|x＝1，y＝2}．
①②④ [原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，))其解集中只含有一个元素，可表示为①②④.]
5．设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若A与B的元素相同，则a＋b＝________.
4 [因为A与B的元素相同，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,ab＝4，))即a＝2，b＝2.故a＋b＝4.]
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握集合的两种表示方法．(列举法、描述法)．(重点)
2．能够利用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(难点)
3．在具体情境中，了解空集的含义．(易错点)
1.通过对集合的表示过程，培养学生的数学抽象素养．
2．通过对某些集合描述法表示改为列举法表示的过程，培养学生的数学运算素养.
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
定义
区间
数轴表示
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤b}
(－∞，b]
{x|x(－∞，b)