高中数学苏教版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示优秀第2课时2课时学案

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第2课时 集合的表示











要研究集合，要在集合的基础上研究其它问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？当集合中的元素具有一定的规律性，又该如何表示这类集合？





1．集合的表示方法


2．集合的分类


3．集合相等


如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )


(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2．( )


(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}相等．( )


[提示] (1)由集合元素的互异性知错．


(2)集合{(1,2)}中的元素为有序实数对(1,2)．


(3)∵A＝{x|x－1＝0}＝{1}＝B，故正确．


[答案] (1)× (2)× (3)√


2．(1)集合{1,2,3}与{3,2,1} 相等集合．(填“是”或“不是”)


(2)若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a＋b＝ ．


(1)是 (2)3 [(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}元素完全相同，故两集合是相等集合．


(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，∴a＋b＝3．]


3．(1)不等式x－7<3的解集用描述法可表示为 ．


(2)集合{(x，y)|y＝x＋1}表示的意义是 ．


(1){x|x<10} (2)直线y＝x＋1上的所有点组成的集合 [(1)∵x－7<3，∴x<10，故解集可表示为{x|x<10}．


(2)集合的代表元素是点(x，y)，共同特征是y＝x＋1，故它表示直线y＝x＋1上的所有点组成的集合．]


4．若方程x2－4＝0的解组成的集合记作A；不等式x>3的解组成的集合记作B；方程x2＝－1的实数解组成的集合记作C．


则集合A，B，C中， 是有限集， 是空集， 是无限集．


A C B [∵x2－4＝0，∴x＝±2，即A中只有2个元素，A为有限集；大于3的实数有无数个，则B为无限集；x2＝－1无实根，则C为空集．]





【例1】 用适当的方法表示下列集合：


(1)B＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；


(2)不等式3x－8≥7－2x的解集；


(3)坐标平面内抛物线y＝x2－2上的点的集合；


(4)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,9－x)∈N，x∈N))))．


[思路点拨] (1)(4)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)(3)中的元素无法一一列举，用描述法表示．


[解] (1)∵x＋y＝4，x∈N*，y∈N*，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1.))


∴B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．


(2)由3x－8≥7－2x，可得x≥3，


所以不等式3x－8≥7－2x的解集为{x|x≥3}．


(3){(x，y)|y＝x2－2}．


(4)∵eq \f(9,9－x)∈N，x∈N，∴当x＝0,6,8这三个自然数时，eq \f(9,9－x)＝1,3,9也是自然数，∴A＝{0,6,8}．





1．集合表示法的选择


对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法；对于无明显规律的无限集，可采用描述法．


2．用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间用“，”隔开．


3．用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．





eq \([跟进训练])


1．试分别用列举法和描述法表示下列集合：


(1)方程x2－x－2＝0的解集；


(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．


[解] (1)方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此，用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}；方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1,2}．


(2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且－1

大于－1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6}．


【例2】 (1)集合A＝{x|x3－x＝0，x∈N}与B＝{0,1} 相等集合．(填“是”或“不是”)


(2)(一题两空)若集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))且A＝B，则a＝ ，b＝ ．


[思路点拨] (1)解出集合A，并判断与B是否相等；


(2)找到相等的对应情况，解方程组即可．


(1)是 (2)－1 1 [(1)x3－x＝x(x2－1)＝0，


∴x＝±1或x＝0．又x∈N，∴A＝{0,1}＝B．


(2)由题意知，a≠0，故a＋b＝0，∴b＝－a．


∴eq \f(b,a)＝－1，∴a＝－1，b＝1．]





已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程组，求解时还要注意集合中元素的互异性.





eq \([跟进训练])


2．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求实数x的值．


[解] 若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝ax，,a＋2b＝ax2，))消去b，则a＋ax2－2ax＝0，


∴a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1．


当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；


当x＝1时，集合B中的元素均为a，故舍去．


若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝ax2，,a＋2b＝ax，))消去b，则2ax2－ax－a＝0．


又∵a≠0，∴2x2－x－1＝0，即(x－1)(2x＋1)＝0．


又∵x≠1，∴x＝－eq \f(1,2)．


经检验，当x＝－eq \f(1,2)时，A＝B成立．


综上所述，x＝－eq \f(1,2)．


[探究问题]


1．集合{x|x2－1＝0}的意义是什么？


[提示] 表示方程x2－1＝0的根组成的集合，即{1，－1}．


2．集合A＝{x|ax2＋bx＋c＝0(a≠0)}可能含有几个元素，每一种情况对a，b，c的要求是什么？


[提示] 因为a≠0，故ax2＋bx＋c＝0一定是二次方程，其根的情况与Δ的正负有关．若A中无元素，则Δ＝b2－4ac<0；若A中只有一个元素，则Δ＝b2－4ac＝0；若A中有两个元素，则Δ＝b2－4ac>0．


【例3】 已知关于x，y的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2－4x＝0，,y－kx－2＝0))的解集中只有一个元素，则实数k的取值集合为( )


A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) B．{0}


C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))


[思路点拨] 二元一次方程组的解集中只有一个元素说明消元后关于y的方程ky2－4y＋8＝0可能是一次方程，也可能是二次方程，但Δ＝0．


C [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2－4x＝0，,y－kx－2＝0))消去x得，ky2－4y＋8＝0．当k＝0时，y＝2，满足题意；当k≠0时，Δ＝16－32k＝0，k＝eq \f(1,2)，综上k＝0或k＝eq \f(1,2)．故选C．]





1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法．一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．


2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么．





eq \([跟进训练])


3．已知y＝x2－ax＋b(a，b∈R)．集合A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y＋ax＝0}，若A＝{1，－3}，试用列举法表示集合B．


[解] ∵A＝{1，－3}，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a＋b－1＝b－a＝0，,9＋3a＋b＋3＝3a＋b＋12＝0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－3，))


∴y＋ax＝x2＋3x－3＋(－3x)＝x2－3，


∴y＋ax＝0，即x2－3＝0，


∴x＝±eq \r(3)，∴B＝{eq \r(3)，－eq \r(3)}．








集合表示的要求


(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．


(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．





1．方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解集不可表示为( )


A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝3，,x－y＝－1)))))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))))))


C．{1,2} D．{(1,2)}


C [方程组的解应是有序数对，③是数集，不能作为方程组的解．]


2．集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为 ．


{1,2,3,4} [∵x－3<2，∴x<5．


又x∈N*，∴x＝1,2,3,4．]


3．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，则a＋b＝ ．


1或eq \f(3,4) [∵M＝N，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2a，,b＝b2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b2，,b＝2a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))∴a＋b＝1或eq \f(3,4)．]


4．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．


[解] 三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样．集合A表示y＝x2＋3中x的范围，x∈R，∴A＝R，集合B表示y＝x2＋3中y的范围，B＝{y|y≥3}，集合C表示y＝x2＋3上的点组成的集合．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．(重点、难点)


2．通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．


3．了解集合相等的概念，并能用于解决问题．(重点)


4．了解集合的不同的分类方法．
通过学习本节内容，培养学生的数学运算、逻辑推理的核心素养．
表示方法
定义
一般形式
列举法
将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内
{a1，a2，…，an，…}
描述法
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来
{x|p(x)}
Venn图法
用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合
有限集
含有有限个元素的集合
无限集
含有无限个元素的集合
空集
不含任何元素的集合，记作∅
集合的表示方法
集合相等
集合表示方法的应用