高中北师大版 (2019)1.1 集合的概念与表示第1课时导学案及答案

这是一份高中北师大版 (2019)1.1 集合的概念与表示第1课时导学案及答案，共6页。

第1课时 集合的含义
1．集合与元素的概念是什么？
2．如何用字母表示集合与元素？
3．元素与集合之间有哪两种关系？
4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？
知识点1 元素与集合的相关概念
1．集合：把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．
2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．
3．集合中元素的性质：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复，集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性．
(1)集合中的元素只能是数、点、代数式吗？
(2)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(3)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
[提示] (1)集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．
(2)不能．因为“帅哥”没有明确的标准．
(3)能．因为标准确定．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)接近于0的数可以组成集合．( )
(2)用“bk”中的字母构成的集合中元素的个数为4个．( )
[答案] (1)× (2)×
[提示] (1)接近于0没有明确的标准．
(2)由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“”“k”三个元素．
知识点2 元素与集合的关系
1．属于：如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a∉A.
元素与集合之间有第三种关系吗？
[提示] 没有，对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．
2.已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若3∈A，则实数a的值为________．
2或6 [∵3∈A，∴3＝a－3或3＝2a－1.
若3＝a－3，则a＝6.此时集合A中含有两个元素3,11，符合题意；
若3＝2a－1，则a＝2，此时集合A中含有两个元素－1,3，符合题意．
综上所述，实数a的值为2或6.]
知识点3 常见的数集及符号表示
N与N＋(N*)有何区别？
[提示] N＋(N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(N*)多一个元素0.
3.用“∈”或“∉”填空
eq \f(1,2)________N；－3________Z；eq \r(2)________Q；0________N*；eq \r(5)________R.
[答案] ∉ ∈ ∉ ∉ ∈
类型1 集合的概念
【例1】 下列给出的对象中，能构成集合的是( )
①小于0的所有实数；②与0非常接近的实数；③中国著名的高等院校；④中国双一流的高等院校
A．①③ B．②④
C．①④ D．③④
C [“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C.]
判断所描述的对象构成集合的标准
判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)所有素数能组成一个集合．
(2)数轴上的一些点能组成一个集合．
(3)正偶数的全体可以组成一个集合．
(4)大于2 015且小于2 020的所有整数不能组成集合．
[解] (1)正确，素数具有确定性．
(2)不正确，“一些点”的标准不明确．
(3)正确，正偶数具有确定性．
(4)不正确，具有确定性，能组成集合．
类型2 元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②eq \r(2)∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
(1)B (2)B [(1)π是实数，eq \r(2)是无理数，0不是正整数；|－5|＝5,5是正整数，则①②正确，故选B.
(2)由题知，a＝2∈A,6－a＝4∈A，∴a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，∴a＝4，
综上知，a＝2,4.故选B.]
1．判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
2．已知元素与集合的关系求参数的思路
当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反．
利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A(用“∈”“∉”填空)．
∈ ∉ [由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，
令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－eq \f(7,3)∉Z.
所以－5∉A.]
3．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a∉B，则a的值为________．
3 [∵a∈A，a∉B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.]
类型3 集合中元素的特性及应用
【例3】 已知集合A含有两个元素a和a2，则实数a的取值范围是________．
a≠0且a≠1 [因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.]
本例若加上条件“1∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
[解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，
∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1符合元素的互异性．∴a＝－1.
根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤
eq \a\vs4\al([跟进训练])
4．已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
[解] 由a∈A可知，
当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.
当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)．
综上可知，a＝0.
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B．由1,2,3和eq \r(9)，1，eq \r(4)组成的集合不是同一个集合
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素
C [A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合表示同一个集合．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合中有2个元素．]
2．已知集合A中的元素x满足x－1A．3∈A且－3∉AB．3∈A且－3∈A
C．3∉A且－3∉AD．3∉A且－3∈A
D [∵3－1＝2>eq \r(3)，∴3∉A.
又－3－1＝－43．(多选)下列说法正确的有( )
A．集合N中的元素都是集合N＋中的元素
B．集合N中的元素都是集合Z中的元素
C．集合Q中的元素都是集合Z中的元素
D．集合Q中的元素都是集合R中的元素
BD [因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确，故选BD.]
4．已知集合A中的元素是自然数，且满足“若a∈A，则4－a∈A”，则集合A中最多有________个元素．
5 [由题得：a＝0时，4－0＝4∈A，a＝1时，4－1＝3∈A，
a＝2时，4－2＝2∈A，a＝3时，4－3＝1∈A，
a＝4时，4－4＝0∈A.]
5．已知集合A含有两个元素a＋3和2a＋1，若3∈A，则实数a的值________．
0或1 [∵3∈A，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋3＝3,2a＋1≠3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋3≠3，,2a＋1＝3，))解得：a＝0或a＝1.]
学 习 目 标
核 心 素 养
1．通过实例了解集合的含义．(难点)
2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)
3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.
1．通过集合概念的学习，逐步养成数学抽象素养．
2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.
数集
自然
数集
正整
数集
整数集
有理
数集
实数集
正实
数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
R＋