人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第2课时学案设计

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 第2课时　集合的表示


1．掌握用列举法表示有限集．
2．理解描述法格式及其适用情形．
3．学会在集合不同的表示法中作出选择和转换．

1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．
(3)不能出现未被说明的字母．

1．观察下列集合：
①方程x2－4＝0的根；
②20的所有正因数组成的集合．
(1)上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？
(2)如何表示上述两个集合？
[答案]　(1)能．①中的元素为－2,2；②中的元素为1,2,4,5,10,20
(2)用列举法表示
2．观察下列集合：
①不等式x－2≥3的解集；
②函数y＝x2－1的图象上的所有点．
(1)这两个集合能用列举法表示吗？
(2)你觉得用什么方法表示这两个集合比较合适？
[答案]　(1)不能　(2)利用描述法
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．(　　)
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.(　　)
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(　　)
(4)集合{x|4 [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

题型一 用列举法表示集合
【典例1】　用列举法表示下列集合：
(1)方程x(x－1)2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)不大于10的非负偶数集；
(3)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合．
[思路导引]　用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么，还要弄清集合中的元素个数．
[解]　(1)方程x(x－1)2＝0的实数根为0,1，
故其实数根组成的集合为{0,1}．
(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．
(3)由，解得
故一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．



　用列举法表示集合的3个步骤


[针对训练]
1．用列举法表示下列集合：
(1)我国现有的所有直辖市；
(2)绝对值小于3的整数集合；
(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象交点组成的集合．
[解]　(1)我国现有的直辖市有北京市、天津市、上海市和重庆市，故我国现有的所有直辖市组成的集合为{北京市，天津市，上海市，重庆市}．
(2)绝对值小于3的整数有－2，－1,0,1,2，故绝对值小于3的整数集合为{－2，－1,0,1,2}．
(3)由解得
故一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象交点组成的集合为.
题型二 用描述法表示集合
【典例2】　用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；
(4)不等式3x－2<4的解集．
[思路导引]　用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征．
[解]　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
(4)不等式3x－2<4可化简为x<2，
所以不等式3x－2<4的解集为{x|x<2}．

　用描述法表示集合应注意的3点
(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．
(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．

[针对训练]
2．用描述法表示下列集合：
(1)所有被5整除的数；
(2)方程6x2－5x＋1＝0的实数解集；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
[解]　(1)被5整除的数可用式子x＝5n，n∈Z表示，所以所有被5整除的数的集合可表示为{x|x＝5n，n∈Z}．
(2)由6x2－5x＋1＝0解得x＝或x＝，所以方程6x2－5x＋1＝0的实数解集为.
(3)直线y＝x上除去原点，即x≠0，所以直线y＝x上去掉原点的点的集合为{(x，y)|y＝x，且x≠0}.
题型三 集合表示方法的应用
【典例3】　(1)若集合A＝{x|ax2－8x＋16＝0，a∈R}中只有一个元素，则a的值为(　　)
A．1 B．4
C．0 D．0或1
(2)已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，则k的取值范围是________．
[思路导引]　借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征．
[解析]　(1)①当a＝0时，原方程为16－8x＝0.
∴x＝2，此时A＝{2}；
②当a≠0时，由集合A中只有一个元素，
∴方程ax2－8x＋16＝0有两个相等实根，
则Δ＝64－64a＝0，即a＝1.
从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．
综上所述，实数a的值为0或1.故选D．
(2)∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1.
[答案]　(1)D　(2)k<1
[变式]　(1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”，其他条件不变，求a的取值范围．
(2)本例(2)中条件“－2∈A”改为“－2∉A”，其他条件不变，求k的取值范围．
[解]　(1)由题意可知方程ax2－8x＋16＝0有两个不等实根．
∴解得a<1，且a≠0.
(2)∵－2∉A，∴－2k＋2≤0，得k≥1.


　集合表示方法的应用的注意点
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．
(2)与方程ax2－8x＋16＝0的根有关问题易忽视a＝0的情况．

[针对训练]
3．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．
[解]　由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，因此a＝5，b＝6.
4．设集合B＝.
(1)试判断元素1,2与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合B.
[解]　(1)当x＝1时，＝2∈N.
当x＝2时，＝∉N.所以1∈B,2∉B.
(2)∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.
∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}．

课堂归纳小结
1．表示集合的要求
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.
2.在用描述法表示集合时应注意的问题
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？
(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.

1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
[解析]　∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，选B.
[答案]　B
2．已知集合A＝{x∈N*|－≤x≤}，则必有(　　)
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．1∈A
[解析]　∵x∈N*，－≤x≤，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A，选D.
[答案]　D
3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　)
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}
[解析]　由得∴交点为(1，－2)，故选D.
[答案]　D
4．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
[解析]　当t＝－2时，x＝4；
当t＝2时，x＝4；
当t＝3时，x＝9；
当t＝4时，x＝16；
∴B＝{4,9,16}．
[答案]　{4,9,16}
5．选择适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于2的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合．
[解]　(1)绝对值不大于2的整数是－2，－1,0,1,2，共有5个元素，则用列举法表示为{－2，－1,0,1,2}．
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是，－2，用列举法表示为.
(3)一次函数y＝x＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．

课内拓展　课外探究
集合的表示方法
1．有限集、无限集
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．
当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．
对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．
【典例1】　用列举法表示下列集合：
(1)正整数集；
(2)被3整除的数组成的集合．
[解]　(1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．
(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．
[点评]　(1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；
(2)此题中的省略号不能漏掉．
2．集合含义的正确识别
集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．
【典例2】　已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？
[解]　∵三个集合的代表元素互不相同，
∴它们是互不相同的集合．
集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.
集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.
∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．
[点评]　使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．
课后作业(二)
复习巩固
一、选择题
1．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
[解析]　集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.
[答案]　D
2．下列集合中，不同于另外三个集合的是(　　)
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
[解析]　{x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.
[答案]　B
3．已知M＝{x|x－1<}，那么(　　)
A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2∉M
C．2∉M，－2∉M D．2∉M，－2∈M
[解析]　若x＝2，则x－1＝1<，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3<，所以－2∈M.故选A.
[答案]　A
4．下列集合的表示方法正确的是(　　)
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
[解析]　选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{　}”与“全体”意思重复．
[答案]　D
5．方程组的解集是(　　)
A．(－5,4) B．(5，－4)
C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
[解析]　解方程组得故解集为{(5，－4)}，选D.
[答案]　D
二、填空题
6．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________.
[解析]　由集合相等的概念得解得a＝1.
[答案]　1
7．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.
[解析]　由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，
所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，
则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，
所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
[答案]　{1,3}
8．若A＝{－2,0,2,3}，B＝{(x，y)|y＝x2，x∈A}，用列举法表示集合B为________．
[解析]　由得集合B＝{(－2,4)，(0,0)，(2,4)，(3,9)}．
[答案]　{(－2,4)，(0,0)，(2,4)，(3,9)}
三、解答题
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．
[解]　(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．
(2)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}，或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．
10．含有三个实数的集合A＝，若0∈A且1∈A，求a2019＋b2019的值．
[解]　由0∈A，“0不能做分母”可知a≠0，故a2≠0，所以＝0，即b＝0.
又1∈A，可知a2＝1或a＝1.
当a＝1时，得a2＝1，由集合元素的互异性，知a＝1不合题意．
当a2＝1时，得a＝－1或a＝1(舍)．
故a＝－1，b＝0，所以a2019＋b2019的值为－1.

综合运用
11．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是(　　)
A．2∈A，且2∈B
B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B
D．(3,10)∈A，且2∈B
[解析]　集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A错．
[答案]　C
12．定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P*Q中元素的个数是(　　)
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
[解析]　若a＝0，则ab＝0；若a＝1，则ab＝1,2,3；若a＝2，则ab＝2,4,6.故P*Q＝{0,1,2,3,4,6}，共6个元素．
[答案]　A
13．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
[解析]　∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；

当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.
[答案]　{0,1}
14.用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．

[解析]　依题设知：该集合为一点集，且其横坐标满足0≤x≤2，
纵坐标满足0≤y≤1，
所以该集合为{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤1}．
[答案]　{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤1}
15．设集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}．
(1)当a＝2时，试求出集合A；
(2)a为何值时，集合A中只有一个元素；
(3)a为何值时，集合A中有两个元素．
[解]　集合A是方程x2＋ax＋1＝0的解构成的集合．
(1)当a＝2时，x2＋2x＋1＝0，即(x＋1)2＝0，x＝－1，所以A＝{－1}．
(2)A中只有一个元素，即方程x2＋ax＋1＝0有两个相等实根，由Δ＝a2－4＝0，得a＝±2.
所以a＝±2时，集合A中只有一个元素．
(3)A中有两个元素，即方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实根，由Δ＝a2－4>0，得a<－2或a>2.
所以a<－2或a>2时，集合A中有两个元素．