高中1.1 集合的概念与表示课时作业

集合的概念

[A级　基础巩固]

1．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．N＋中最小的数是1

B．若－a∉N＋，则a∈N＋

C．若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b最小值是2

D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素

解析：选AC　N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故B错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的．故选A、C.

2．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：选B　当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中最多含有两个元素，故选B.

3．已知集合M含1，2，x2三个元素，则x满足(　　)

A．x≠1，且x≠   B．x≠±1

C．x≠±  D．x≠±1，且x≠±

解析：选D　易知∴即x≠±1，且x≠±.

4．(多选)已知集合A中元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示不正确的是(　　)

A．－1∉A  B．－11∈A

C．2∈A  D．－34∉A

解析：选ABD　当k＝0时，3k－1＝－1，故－1∈A，A错误；若－11∈A，则－11＝3k－1，解得k＝－∉Z，B错误；若2∈A，则2＝3k－1，解得k＝1∈Z，C正确；当k＝－11时，3k－1＝－34，故－34∈A，D错误．

5．(多选)已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　)

A．0∉M  B．2∈M

C．－4∈M  D．4∈M

解析：选CD　x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M；当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为－4，显然A、B错误，故选C、D.

6．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有________个元素．

解析：方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，方程x2－x－2＝0的根是－1，2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素．

答案：3

7．已知集合A中含有3个元素x，，1，B中含有3个元素x2，x＋y，0，若A＝B，则x2 020＋y2 021＝________．

解析：由集合元素的互异性可知x2≠0，x≠1，即x≠1，且x≠0，又A＝B，∴＝0，则y＝0，∴x＋y＝x，即x2＝1.∴x＝－1(x＝1舍去)．则x2 020＋y2 021＝(－1)2 020＋02 021＝1.

答案：1

8．设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是________．

解析：若a∈P，b∈Q，则a＋b的取值分别为1，2，3，4，6，7，8，11，则组成的集合P＋Q中有8个元素．

答案：8

9．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．

求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集．

证明：(1)若a∈A，则∈A.

∵2∈A，∴＝－1∈A.

∵－1∈A，∴＝∈A.

∵∈A，∴＝2∈A.

∴A中必还有另外两个元素，且为－1，.

(2)若A为单元素集，则a＝，

即a2－a＋1＝0，方程无解．

∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．

10．集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值；若不能，则说明理由．

解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9.

若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．

若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9，B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．

当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意．

综上所述，能根据已知条件求出实数a的值，且a＝－3.

[B级　综合运用]

11．已知集合A中含有0，1，2三个元素．给定三个关系①a≠2；②b＝2；③c≠0中有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝________．

解析：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；

(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；

(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.

答案：201

12．定义“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．

解：(1)数集N，Z不是“闭集”．例如，3∈N，2∈N，则＝1.5∉N；3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5∉Z，故N，Z不是闭集．

(2)数集Q，R是“闭集”．由于两个有理数a与b的和，差，积，商，即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，所以Q是闭集，同理R也是闭集．