高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念优秀第2课时2课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念优秀第2课时2课时导学案，共8页。学案主要包含了列举法表示集合，描述法表示集合，集合表示法的综合应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．





知识点一 列举法


把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．


知识点二 描述法


一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．


思考 不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？


答案 元素的共同特征为x∈R，且x<5.





1．由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( × )


2．集合{(1,2)}中的元素是1和2.( × )


3．集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( √ )


4．{x|x>1}与{y|y>1}是不同的集合．( × )





一、列举法表示集合


例1 用列举法表示下列集合：


(1)不大于10的非负偶数组成的集合；


(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；


(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；


(4)由所有正整数构成的集合．


解 (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．


(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．


(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．


(4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．


反思感悟 用列举法表示集合应注意的两点


(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；


(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．


跟踪训练1 用列举法表示下列给定的集合：


(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；


(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；


(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.


解 (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．


(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．


(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋2，,y＝－2x＋5，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))


所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1,3)，所以D＝{(1,3)}．


二、描述法表示集合


例2 用描述法表示下列集合：


(1)正偶数集；


(2)被3除余2的正整数集合；


(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．


解 (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．


(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．


(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．


反思感悟 利用描述法表示集合应关注五点


(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．


(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．


(3)不能出现未被说明的字母．


(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．


跟踪训练2 下列三个集合：


①A＝{x|y＝x2＋1}；


②B＝{y|y＝x2＋1}；


③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．


(1)它们是不是相同的集合？


(2)它们各自的含义分别是什么？


解 (1)不相同．


(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．


集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的．


三、集合表示法的综合应用


例3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．


解 (1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；


(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．


综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．


延伸探究


1．本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．


解 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，


故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0.


所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}．


2．本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围．


解 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．


①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；


②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0.


综合①②可知，实数k的取值范围为{k|k≤1}．


反思感悟 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．


(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．





1．用列举法表示集合{x|x2－2x－3＝0}为( )


A．{－1,3} B．{(－1,3)}


C．{x＝1} D．{x2－2x－3＝0}


答案 A


2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )


A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}


C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}


答案 D


3．设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是( )


A．6∈A B．0∈A C．3∉A D．3.5∉A


答案 D


4．第一象限的点组成的集合可以表示为( )


A．{(x，y)|xy>0} B．{(x，y)|xy≥0}


C．{(x，y)|x>0且y>0} D．{(x，y)|x>0或y>0}


答案 C


5．下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是( )


A．{x|x＝4k－1，k∈Z}


B．{x|x＝2k－1，k∈Z}


C．{x|x＝2k＋1，k∈Z}


D．{x|x＝2k＋3，k∈Z}


答案 A





1．知识清单：


(1)描述法表示集合的理解．


(2)用列举法和描述法表示集合．


(3)两种表示法的综合应用．


2．方法归纳：等价转化、分类讨论．


3．常见误区：点集与数集的区别．








1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )


A．{1,1} B．{1}


C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}


答案 B


解析 方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确．


2．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是( )


A．0∈A B．1∉A C．－1∈A D．0∉A


答案 A


解析 ∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0,1}，


∴0∈A.


3．如果A＝{x|x>－1}，那么( )


A．－2∈A B．{0}∈A C．－3∈A D．0∈A


答案 D


解析 ∵0>－1，故0∈A，选D.


4．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )


A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}


C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}


答案 B


解析 {x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，故选B.


5．下列命题中正确的是( )


A．集合{x∈R|x2＝1}中有两个元素


B．集合{0}中没有元素


C.eq \r(13)∈{x|x<2eq \r(3)}


D．{1,2}与{2,1}是不同的集合


答案 A


解析 {x∈R|x2＝1}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2eq \r(3)}＝{x|xeq \r(12)，eq \r(13)∉{x|x<2eq \r(3)}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．


6．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________________________．


答案 {x|x＝2n，n∈N*}


解析 正整数中所有的偶数均能被2整除．


7．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________________．


答案 {a|a≤－2}


解析 ∵1∉{x|2x＋a>0}，


∴2×1＋a≤0，即a≤－2.


8．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．


答案 2


解析 由－5∈{x|x2－ax－5＝0}，得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.


9．用适当的方法表示下列集合：


(1)一年中有31天的月份的全体；


(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；


(3)梯形的全体构成的集合；


(4)所有能被3整除的数的集合；


(5)方程(x－1)(x－2)＝0的解集；


(6)不等式2x－1>5的解集．


解 (1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．


(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．


(3){a|a是梯形}或{梯形}．


(4){x|x＝3n，n∈Z}．


(5){1,2}．


(6){x|x>3}．


10．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．


解 ①若a＋3＝1，则a＝－2，


此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．


②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.


当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；


当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．


③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，


此时A＝{2,0,1}，满足题意．


综上所述，实数a的值为－1或0.





11．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )


A．3 B．4 C．5 D．6


答案 B


解析 1,2,3与4,5分别相加可得5,6,6,7,7,8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素．


12．已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义集合A，B间的运算A*B＝{x|x∈A且x∉B}，则集合A*B等于( )


A．{1,2,3} B．{2,4} C．{1,3} D．{2}


答案 C


解析 因为属于集合A的元素是1,2,3，但2属于集合B，所以A*B＝{1,3}．


13．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.


答案 {0,1}


解析 ∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；


当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.


∴B＝{0,1}．


14．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．(答案不唯一)


答案 不是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，\f(1,2)))


解析 由于2的倒数eq \f(1,2)不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则eq \f(1,a)∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝eq \f(1,a)，即a＝±1，故可取的集合有eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，\f(1,2)))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，3，\f(1,3)))等．





15．设集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )


A．1 B．3 C．5 D．9


答案 C


解析 因为A＝{0,1,2}，又集合B中元素为x－y且x∈A，y∈A，


所以x的可能取值为0,1,2；y的可能取值为0,1,2.


当x＝0时，y＝0或1或2，


此时对应的x－y的值为0，－1，－2.


当x＝1时，y＝0或1或2，


此时对应的x－y的值为1,0，－1.


当x＝2时，y＝0或1或2，


此时对应的x－y的值为2,1,0.


综上可知，集合B＝{－2，－1,0,1,2}，


所以集合B中的元素的个数为5.


16．设集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈N\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(6,2＋x)∈N)))).


(1)试判断元素1和2与集合B的关系；


(2)用列举法表示集合B.


解 (1)当x＝1时，eq \f(6,2＋1)＝2∈N；


当x＝2时，eq \f(6,2＋2)＝eq \f(3,2)∉N，


所以1∈B,2∉B.


(2)因为eq \f(6,2＋x)∈N，x∈N，


所以2＋x只能取2,3,6，


所以x只能取0,1,4，


所以B＝{0,1,4}．