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    高中北师大版 (2019)第一章 预备知识1 集合1.1 集合的概念与表示教案设计

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    这是一份高中北师大版 (2019)第一章 预备知识1 集合1.1 集合的概念与表示教案设计,共5页。教案主要包含了新课导入,新知探究,应用举例,课堂练习,课堂小结,布置作业等内容,欢迎下载使用。

    教学目标
    1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题.
    2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题.
    3.会用集合语言表示有关数学对象:描述法,列举法;并学会用区间表示集合.
    教学重难点

    重点:集合的含义与表示方法,元素与集合的关系,用区间表示集合;
    难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.
    教学过程
    一、新课导入
    情景1:集合论诞生于19世纪末,其创始人是康托尔(1829-1920,德国数学家).集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造,它的出现大大扩充了数学的研究领域,可以说,集合论是整个数学大厦的基础,它不仅影响了现代数学,而且也深深影响了现代哲学和逻辑学.
    回顾:初中数学中,经常按类来研究事物.现实生活中也经常把事物分类来看.同学们能举例子说一说吗?
    答案:代数方面:自然数,有理数,实数等;几何方面:点,三角形,四边形,圆等.现实生活方面:中国人,中考考生,科幻迷等.
    在数学中,我们经常用“集合”来对所研究的对象分类,把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起.
    二、新知探究
    集合的定义:
    一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合,用大写英文字母A,B,C,…表示,集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示.
    问题1:字母a,b,c能否构成一个集合?全体正奇数能否构成一个集合?接近1的数能否构成一个集合?
    答案:字母a,b,c可以构成一个集合,这个集合中有3个元素,分别为a,b,c;全体正奇数可以构成一个集合,这个集合中含有无限个元素,1,3,5是它的一部分元素;接近1的数不能构成一个集合,不能确定接近1的数有哪些.
    问题2:初中数学中,我们学过的数集有哪些?
    答案: 全体自然数组成的集合简称自然数集,记作?;
    全体正整数组成的集合简称正整数集,记作N+或N∗
    全体整数组成的集合简称整数集,记作?;
    全体有理数组成的集合简称有理数集,记作?;
    全体实数组成的集合简称实数集,记作?;
    全体正实数组成的集合简称正实数集,记作R+.
    例如:0∈?,−3∈?,0.618∈?,13∈?, 13∉?,3∈?,3 ∉?, π∈?.
    问题3:集合不仅仅有前面的常见数集,其它的集合又该如何表示呢?
    列举法:
    把集合中的元素一一列举出来,写在花括号“{ }” 内表示集合的方法叫做列举法.
    一般可将集合表示为{ a,b,c,···}
    注意:用列举法表示集合时,元素排列的顺序可以不同.{1,2,3 }也可以写成
    {1,3,2},{2,1,3},{2,3,1},{3,1,2},{3,2,1}.
    描述法:
    通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫做描述法.一般可将集合表示为x及x的范围x满足的条件,即在花括号内先写出集合中元素一般符号即范围,再画一条竖线“|” 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
    思考:偶数的集合怎样表示? 有理数集怎么表示呢?函数?=2?图象上的所有点组成的集合怎么表示?
    ?={?∈?|?=2?,?∈?},简写为?={?|?=2?,?∈?};
    ?={(?,?)|?=2?,?∈?}.
    问题4:表示集合有列举法、描述法,那么在具体问题中,该怎么去选择呢?
    在具体问题中,应根据实际需要选择适当的方法来表示集合.比如,方程x2+2?=0的解集?,列举法表示为?={0,−2},描述法表示为?={?|x2+2?=0}.
    根据集合中元素的个数,可对集合分类:
    含有有限个元素的集合叫作有限集;
    含有无限个元素的集合叫作无限集;
    不含任何元素的集合叫作空集.
    注意:一般地,对于元素个数较少的有限集,选择列举法表示;对于元素个数较多的有限集,或者有无穷多个元素的无限集,选择描述法表示;空集用符号∅表示.
    问题5:用描述法表示范围时,书写依然不够简洁,有没有其他表示形式呢?
    设?,?是两个实数,且?在数轴上表示区间时,用实心点表示属于区间的端点,用空心点表示不属于区间的端点.“∞”读作“无穷大”,“−∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.
    三、应用举例
    例1:用列举法表示下列集合:
    (1)由大于3且小于10的所有整数组成的集合.
    (2)方程x2-9=0的所有实数根组成的集合.
    解:(1)设由大于3且小于10的所有整数组成的集合为A, 那么A={4,5,6,7,8,9}.
    (2)设方程x2-9=0的所有实数根组成的集合为B,那么B={-3,3}.
    注意:①由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序无关,因此集合可以有不同的列举方法.
    例2:用描述法表示下列集合:
    小于10的所有有理数组成的集合A;
    所有奇数组成的集合B;
    平面α内,到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合C.
    解:(1)设x∈A,则x∈Q,且使x<10成立,因此,用描述法可以表示为
    A={x∈Q| x<10}
    (2)设x∈B,则x是一个奇数,因此,用描述法可以表示为
    B={x | x=2n-1,n∈Z}
    (3)设M∈C,则M∈α,M到α内的定点O的距离等于定长r, 因此,用描述法可以表示为C={M∈α| O为α内的定点,r为定值,且M到O的距离等于r}
    四、课堂练习
    1. 下列对象不能构成集合的是( )
    ①我国近代著名的数学家;②所有的欧盟成员国;③空气中密度大的气体.
    A.①② B.②③ C.①②③ D.①③
    2. 下列三个关系式:①5∈R;②14∉Q;③0∈Z.其中正确的个数是( )
    A.1 B.2 C.3 D.0
    3. 设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则集合A用列举法表示为________.
    4. 用适当的方法表示下列集合:
    (1)方程x2-2x=15的解;
    (2)所有的正方形;
    (3)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.
    参考答案:
    1. 解析:研究一组对象能否构成集合的问题,首先要考查集合中元素的确定性.①中的“著名”没有明确的界限;②中的研究对象显然符合确定性;③中“密度大”没有明确的界限.故选D.
    答案:D
    2. 解析:①正确;②因为14∈Q,错误;③0∈Z,正确.
    答案:B
    3. 解析:∵4∈A,∴16-12+a=0,
    ∴a=-4,
    ∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.
    答案:{-1,4}
    4. 解:(1)解方程x2-2x=15得:x1=5,x2=-3,
    故解为{-3,5}.
    (2)集合用描述法表示为{x|x是正方形},简写为{正方形}.
    (3)集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.
    五、课堂小结
    六、布置作业
    教材第5页,练习第1、2、3题.
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