数学必修 第一册2.1 必要条件与充分条件导学案

§2　常用逻辑用语

2.1　必要条件与充分条件

1．什么是必要条件？

2．什么是充分条件？

3．什么是充要条件？

知识点1　必要条件与性质定理

一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的．

知识点2　充分条件与判定定理

一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件．

综上，对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件．

(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？

(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？

[提示]　(1)相同，都是p⇒q.

(2)这五种表述形式是等价的．

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．(　　)

(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　)

(3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立．(　　)

(4)“x>1”是“x>0”的充分条件．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2.设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的______条件．(填“充分”“必要”)

[答案]　必要

知识点3　充要条件

(1)一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.

(2)p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”．

(3)当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件．

(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

[提示]　(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.

(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

3.“x<2”是“<0”的(　　)

A．充要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

4.设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

5.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．

[答案]　充要

类型1　充分、必要、充要条件的判断

【例1】　下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)

(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；

(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；

(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；

(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．

[解]　(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝，x－1＝⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．

(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p⇒q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即qp.

所以p是q的充分不必要条件．

(3)因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0.

故pq，但q⇒p.

所以p是q的必要不充分条件．

(4)因为

所以p是q的既不充分也不必要条件．

充分、必要、充要条件的判断方法

(1)定义法

若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件；

若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；

若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

(2)集合法

对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：

若A⊆B，则p是q的充分条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若AB，则p是q的充分不必要条件；

若AB，则p是q的必要不充分条件．

1．指出下列各题中p是q的什么条件

(1)在△ABC中，p：AB＝AC，q：∠B＝∠C；

(2)p：x＝2，q：x>1；

(3)p：a>b，q：>1.

[解]　(1)由等腰三角形的性质定理与判定定理知，p是q的充要条件．

(2)x＝2⇒x>1，但x>1x＝2，故p是q的充分不必要条件．

(3)当b<0时，由a>b，可得<1，由>1，可得a<b，故p是q的既不充分也不必要条件．

类型2　必要条件、充分条件的应用

【例2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

[解]　由p是q的充分不必要条件，得集合{x|－2≤x≤10}是集合{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集，

所以 ，或 ，

解得m≥9.

所以实数m的取值范围是m≥9.

1．把本例中的“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数m的取值范围．

[解]　由p是q的必要不充分条件，得集合{x|1－m≤x≤1＋m}是集合{x|－2≤x≤10}的真子集，

当＝∅，即m<0时，符合题意；

当≠∅，即m≥0时，

可得 ，

或 ，

解得0≤m≤3.

综上得，实数m的取值范围是m≤3.

2．本例中，是否存在实数m，使p是q的充要条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

[解]　若p是q的充要条件，

则＝，

即 ，

由于该方程组无解，所以实数m不存在．

利用必要条件与充分条件求参数的取值范围

(1)化简p与q；

(2)把p与q之间的关系转化为相应集合之间的关系；

(3)利用集合之间的关系建立不等式；

(4)解不等式求参数的取值范围．

类型3　充要条件的探求与证明

【例3】　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是<0.

[证明]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以两根之积小于零，即<0.

②充分性：由<0，得ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，设这两个实根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2＝<0，

所以两根异号．

综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是<0.

充要条件的证明思路

(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．

(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．

注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．

2．求证：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0.

[证明]　充分性：∵a＋b＋c＋d＝0，

∴a×13＋b×12＋c×1＋d＝0成立，

故x＝1是方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根．

必要性：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一个根为1，

∴a＋b＋c＋d＝0，

综上所述，关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0.

1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的(　　)

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

B　[“1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立．即“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B.]

2．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

B　[由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等．反之不成立．

即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B.]

3．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

D　[若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．]

4．在判断定理中，条件是结论的________条件．

[答案]　充分

5．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是________．

{a|a<－1}　[若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，

则{x|x≤a}{x|x<－1}，则a<－1，

即实数a的取值范围是{a|a<－1}．]