高中数学1.1 集合的概念与表示多媒体教学课件ppt

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第二课时　集合的表示
第一章 预备知识
课标要求
1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.3.会用区间表示数集.
素养要求
在学习过程中要注意数学素养的培养，常在集合的表示方法中用到等价转化思想和分类讨论的思想.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、列举法1.问题　观察下面两个集合：①中国的“五岳”组成的集合M；②设集合N是小于6的正整数构成的集合.(1)上述问题中的集合M，N中的元素能一一列举出来吗？提示　能.集合M中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山，集合N中的元素为1，2，3，4，5.
(2)上述集合M与N除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？提示　列举法.M＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}，N＝{1，2，3，4，5}.
2.填空　把集合中的元素______________写在花括号“{　　}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c…}. 温馨提醒　用列举法表示集合，集合中的相同元素只能列举一次，元素与元素之间用“，”隔开.
一一列举出来
A
3.做一做　方程x2－4x＋3＝0的所有实数根组成的集合为(　　)A.{1，3} B.{1}C.{x2－4x＋3＝0} D.{x＝1，x＝3}解析　由x2－4x＋3＝0，得x＝1或 x＝3，∴用列举法表示实根的集合为{1，3}.
二、描述法1.问题　“大于－2且小于2的整数”构成的集合能用列举法表示吗？如果能，如何表示？ 提示　能.{－1，0，1}.
2.问题　“大于－2且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？提示　不能.集合中的元素有无数多个，元素不能完全列举.
3.问题　设x为“大于－2且小于2的实数”构成的集合的元素，x有何特征？提示　x∈R且－24.填空　通过描述元素满足的条件表示集合的方法，一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般______及______，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的__________. 温馨提醒　有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.
符号
范围
共同特征
5.做一做　(1)思考辨析，判断正误①用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为{1，1}.( )提示　集合中元素不具有互异性.②集合{0，1}中的元素是0和1.( )提示　集合中元素为(0，1).③{x|x>3}与{y|y>3}是同一个集合.( )④集合{x∈N|x<5}与集合{0，1，2，3，4}表示同一个集合.( )
×
×
√
√
ACD
(2)(多选)下列用描述法表示的集合，正确的是(　 　)A.奇数集可以表示为{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}B.“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x|x<10}C.{x|x>2}表示大于2的全体实数D.不等式x2－1>0的解集表示为{x|x2－1>0}解析　B中，{x|x<10}表示“小于10的实数”，“小于10的整数”构成的集合表示为{x|x<10，且x∈Z}.其余的全正确.
三、集合的分类1.思考　(1)集合{x∈R|x2＜0}中有几个元素？提示　0个.(2)所有整数组成的集合，能否写成{整数集}?提示　不能，因为“{　　}”表示“所有”“一切”“整体”的含义，所以所有整数组成的集合，不能写成{整数集}，而应写成{x|x是整数}或Z.
2.填空　含有________元素的集合叫作有限集；含有________元素的集合叫作无限集；不含任何元素的集合叫作______，记作____.
有限个
无限个
空集
∅
C
3.做一做　下列四个集合中，是空集的是(　　)A.{0} B.{x|x＞8，或x＜5}C.{x∈R|x2＋1＝0} D.{x∈N|3.5＜x＜4.5}解析　选项A，B，D都含有元素，而选项C中无元素，故选C.
四、区间的概念1.思考　区间能表示空集吗？提示　不能，因为区间[a，b]或(a，b)中a＜b.
2.思考　集合{x|x≥0，且x≠1}如何用区间来表示？提示　[0，1)∪(1，＋∞).
3.填空　设a，b是两个实数，且a[a，b]
[a，b)
[a，＋∞)
温馨提醒　(1)区间的左端点必小于右端点.(2)用数轴表示区间时，属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示.
4.做一做　用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝_____________；(2){x|2＜x≤3}＝_____________；(3){x|x≤－5}＝_____________；(4){x|－1≤x＜2}＝_____________.
[1，＋∞)
(2，3]
(－∞，－5]
[－1，2)
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1　用列举法表示下列集合：(1)不大于10的所有非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；(4)由所有正整数构成的集合.解　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}.(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}.(4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}.
题型一　列举法表示集合
用列举法表示集合应注意的两点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
训练1　用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程x2－16＝0的实数根组成的集合B；(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合C.解　(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.(2)方程x2－16＝0的实数根为－4，4，所以B＝{－4，4}.
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1，3)，所以C＝{(1，3)}.
例2　用描述法表示下列集合：(1)不等式2x－3<1的解组成的集合A；(2)被3除余2的正整数组成的集合B；解　(1)不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}.(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数组成的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}.
题型二　描述法表示集合
解　(3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2，4，6，8，10，所以x＝2n，n≤5，n∈N＋.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N＋}.(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点组成的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}.
(3)C＝{2，4，6，8，10}；(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
利用描述法表示集合应关注三点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.
训练2　下列三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？解　(1)不是.(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R，可以认为集合A表示函数y＝x2＋1中自变量x的取值范围；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以B＝{y|y≥1}，可以认为集合B表示函数y＝x2＋1中因变量y的取值范围；集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对.可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的.
题型三　集合表示方法的综合应用
例3　已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值.
当a≠0时，原方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，故Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意.故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素.
迁移　在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围.解　A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素.当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1.当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1.故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}.
若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
训练3　在本例条件下，是否存在实数a，使集合A与集合{1}是同一集合？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 解　∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
故不存在实数a，使A与{1}是同一集合.
课堂小结
1.表示集合的要求(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.2.用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数，还是有序实数对，还是其他形式.(2)元素具有怎样的属性.3.常见误区：列举法与描述法混乱使用，涉及x2的系数不能确定时，忘记讨论致误.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
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1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　) A.{1，1} B.{1} C.{x＝1} D.{x2－2x＋1＝0} 解析　方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确.
B
2.已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是(　　)A.0∈A B.1∉AC.－1∈A D.0∉A解析　∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0，1}，∴0∈A.
A
3.下列各组集合中，表示同一个集合的是(　　)A.M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B.M＝{3，2}，N＝{2，3}C.M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D.M＝{(1，2)}，N＝{1，2}解析　选项A，两个集合中的元素是有序数对，显然元素不同；选项C，集合M表示的是直线x＋y＝1上的点，而集合N表示的是直线x＋y＝1上的点的纵坐标，不是同一个集合；选项D，集合M中的元素是有序数对，而集合N中的元素是实数，不是同一个集合；选项B，两个集合都表示由2，3这两个元素构成的集合.
B
AD
5.下列命题中正确的是(　　)
A
6.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________________.解析　正整数中所有的偶数均能被2整除.
{x|x＝2n，n∈N＋}
7.用列举法表示集合D＝{(x，y)，x∈N，y∈N|y＝－x2＋8}为________________________________.解析　由已知得集合D为点集，结合元素的条件可知答案只有三组，列举可得答案.
{(0，8)，(1，7)，(2，4)}
8.已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________________.解析　∵1∉{x|2x＋a>0}，∴2×1＋a≤0，即a≤－2.
(－∞，－2]
9.用适当的方法表示下列集合：
解　(1){0，－1}.(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}.(3){x|x>8}.(4){1，2，3，4，5，6}.(5)解集用列举法表示为{(2，－1)}.
10.已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值.解　①若a＋3＝1，则a＝－2，此时A＝{1，1，2}，不符合集合中元素的互异性，舍去.②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.当a＝0时，A＝{3，1，2}，满足题意；当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去.③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，此时A＝{2，0，1}，满足题意.综上所述，实数a的值为－1或0.
11.(多选)下列是集合M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素的有(　 　)A.(0，0) B.(0，1) C.(1，0) D.(2，－1)
ABC
12.已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________.解析　由－5∈{x|x2－ax－5＝0}，得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.
2
(1)试判断元素1和2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B.
14.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是(　　) A.18 B.17 C.16 D.15 解析　因为1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16，8＋8＝16，9＋7＝16，10＋6＝16，11＋5＝16，12＋4＝16，13＋3＝16，14＋2＝16，15＋1＝16，1×16＝16，16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个.
B