数学必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第五章　三角函数

5.1　任意角和弧度制

5.1.1　任意角

【课前预习】

知识点一

1.端点

2.(1)逆时针　(2)顺时针　(3)重合

3.相同　相等　相同的量

4.α+β　加法　相反角　(-β)

知识点二

原点　x轴　坐标轴　轴线角

{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}

{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}

{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}

{α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}

{α|α=k·360°,k∈Z}

{α|α=180°+k·360°,k∈Z}

{α|α=90°+k·360°,k∈Z}

{α|α=k·360°-90°,k∈Z}

{α|α=k·180°,k∈Z}

{α|α=90°+k·180°,k∈Z}

{α|α=k·90°,k∈Z}

诊断分析

(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×

知识点三

{β|β=α+k·360°,k∈Z}　整数个

诊断分析

1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　[解析] (3)因为在-360°~0°范围内,终边在y轴的负半轴上的角为-90°角,所以终边在y轴的负半轴上的角α的集合是{α|α=k·360°-90°,k∈Z}.

(4)因为在0°~360°范围内,第三象限角的范围是180°<β<270°,所以由终边相同的角的表示方法知,角α的集合表示为{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}.

2.解:终边相同的角不一定相等,它们可以相差360°的整数倍;相等的角,终边相同.

【课中探究】

探究点一

例1　(1)②③　(2)-900°　(3)顺　20°　360°　[解析] (1)①90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故①不正确;

②始边相同而终边不同的角一定不相等,故②正确;

③分针转一周为60分钟,转过的角度为-360°,将分针拨慢是逆时针旋转,拨慢10分钟转过的角为360°×=60°,故③正确;

④0°角小于180°角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故④不正确.

(2)所求分针转过的角度为(-360°)×2+=-900°.

(3)因为负角是按顺时针方向旋转形成的角,所以-20°角是按顺时针方向旋转20°所成的角.按逆时针方向旋转形成的角是正角,故体操运动员按逆时针方向转体360°所成的角是360°.

探究点二

例2　(1)C　(2)D　(3)D　[解析] (1)①-75°是第四象限角,正确;②225°是第三象限角,正确;③540°=360°+180°,该角的终边在x轴上,不属于任何象限,错误;④-315°=-360°+45°是第一象限角,正确.故选C.

(2)因为α是第四象限角,所以可设α=350°,则α-270°=80°为第一象限角.

(3)终边在x轴上的角的集合为{α|α= k·180°,k∈Z},终边在y轴上的角的集合为{α|α= k·180°+90°,k∈Z},故终边与坐标轴重合的角α的集合为{α|α= k·90°,k∈Z},故选D.

例3　解:(1)终边落在OA上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z};

终边落在OB上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.

(2)由题图可知,终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合可表示为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.

变式　解:{α|45°+180°·k≤α≤90°+180°·k,k∈Z},{α|-150°+360°·k≤α≤120°+360°·k,k∈Z}.

例4　第三、四象限或y轴的负半轴　第二、四象限　[解析] ∵α是第四象限角,∴k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z,则2(k+1)·360°-180°<2α<2(k+1)·360°,k∈Z.2α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上.k·180°+135°<<k·180°+180°,k∈Z,令k=2n,n∈Z,有n·360°+135°<<n·360°+180°,n∈Z,此时的终边在第二象限;令k=2n+1,n∈Z,有n·360°+315°<<n·360°+360°,n∈Z,此时的终边在第四象限.

变式　解:∵α是第一象限角,∴k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).

(1)-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z), ∴-α是第四象限角.

(2)2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z),

∴2α是第一或第二象限角或终边落在y轴非负半轴上的角.

(3)k·120°<<k·120°+30°(k∈Z).

方法一(分类讨论):当k=3n(n∈Z)时,n·360°<<n·360°+30°(n∈Z),∴是第一象限角;

当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+120°<<n·360°+150°(n∈Z),∴是第二象限角;

当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+240°<<n·360°+270°(n∈Z),∴是第三象限角.

综上可知,是第一、第二或第三象限角.

方法二(几何法):如图,先将各象限分成3等份,再从x轴的正半轴的上方起,沿逆时针方向依次将各区域标上1,2,3,4,则标有1的区域即为的终边所在的区域,故为第一、第二或第三象限角.

拓展　解:如图所示,A∩B中的角的终边落在30°~45°角的终边所在的区域(不含边界)内,

∴A∩B={α|k·360°+30°<α<k·360°+45°,k∈Z}.

探究点三

例5　解:(1)由2020°除以360°,得商为5,余数为220°,

所以取k=5,β=220°,

则α=5×360°+220°.

又β=220°是第三象限角,所以α为第三象限角.

(2)与2020°角终边相同的角为k·360°+2020°,k∈Z.

令-360°≤k·360°+2020°<360°,k∈Z,所以k可取-6,-5,

将k的值代入k·360°+2020°中, 得角θ为-140°,220°.

(3)由(2)知,与α终边相同的最大负角是-140°,最小正角是220°.

变式　(1)B　(2)A　[解析] (1)因为-600°=-720°+120°,所以120°与-600°是终边相同的角.故选B.

(2)由终边相同的角相差k·360°(k∈Z),可知α-β=k·360°(k∈Z),所以α-β的终边落在x轴的非负半轴上.

【课堂评价】

1.B　[解析] 对于A,负角不是锐角,故A错误;对于B,钝角的范围是(90°,180°),所以钝角是第二象限角,故B正确;对于C,第二象限角取91°角,第一象限角取361°角,显然C错误;对于D,若角α与角β的终边相同,则α=k·360°+β,k∈Z,故D错误.故选B.

2.B　[解析] 根据角的概念可知,90°角的终边在y轴的非负半轴上,故选B.

3.B　[解析] 因为-270°<-200°<-180°,所以-200°角是第二象限角.

4.D　[解析] -390°=330°-720°,所以与330°角终边相同的角是-390°,故选D.

5.-450°　[解析] ∵分针按顺时针方向旋转,∴转过的角度为负值.又分针每小时转360°,每分钟转6°,∴时针走了1小时15分钟,分针转过的角度为-360°-90°=-450°.