高中人教A版 (2019)4.4 对数函数第2课时学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第2课时　对数函数的图像及其性质的应用

【课前预习】

知识点一

y=logax(a>0,且a≠1)

诊断分析

1.(1)×　(2)√　(3) √

2.解:y=ax的定义域为R,值域为(0,+∞),y=logax的定义域为(0,+∞),值域为R,即它们的定义域和值域正好互换.

知识点二

3.同增异减

诊断分析

1.(1)√　(2)×

2.解:因为x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立,所以函数y=log2(x2+2x+2)+2的定义域为R.

令t=x2+2x+2,则函数t=x2+2x+2的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1),故函数y=log2(x2+2x+2)+2的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1).

由以上可知,当x=-1时,ymin=2,所以函数y=log2(x2+2x+2)+2的值域为[2,+∞).

【课中探究】

探究点一

例1　(1)y=lox(x≥1)　[0,+∞)　[1,+∞)　(2)(2,0)　[解析] (1)由y=x(x≥0)得x=loy,所以函数y=x(x≥0)的反函数为y=lox(x≥1),值域为[0,+∞),定义域为[1,+∞).

(2)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称,因为函数y=loga(x+1)+2(a>0,且a≠1)的图像恒过定点(0,2),所以其反函数的图像过定点(2,0).

变式　(1)A　(2)D　[解析] (1)y=log2x的反函数为f(x)=2x,其图像恒过定点(0,1),且函数f(x)在R上单调递增.故选A.

(2)因为点(3,8)在函数f(x)=logax的反函数的图像上,所以点(8,3)在函数f(x)=logax的图像上,所以3=loga8,即a3=8,得a=2,所以f(2)=log22=1.

探究点二

探索 单调性　奇偶性

例2　(1)A　(2)A　[解析] (1)该函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),排除C,D;设f(x)=ln|x|-x2,因为f(-x)=ln|x|-x2=f(x),所以函数y=ln|x|-x2为偶函数,其图像关于y轴对称,排除B.故选A.

(2)因为f(-x)=-xln|-x|=-xln|x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除C,D;当0<x<1时,ln|x|<0,所以f(x)<0,排除B.故选A.

变式　(1)C　(2)B　[解析] (1)由题知f(x)=所以当x>0时,函数f(x)单调递增,当x<0时,函数f(x)单调递减,可排除A,B;结合t=1-2x,x<0和y=log2t的图像(图略)可知当x<0时,y<0,排除D.故选C.

(2)由函数f(x)=loga得>0,解得x>1,排除C,D;由函数y=ax(a>0,且a≠1)是增函数,可得a>1,由函数f(x)=loga=-loga(x-1)及复合函数的单调性,可得函数f(x)为减函数,排除A.故选B.

拓展　　[解析] 由图像可求得射线的方程为y=2x+2(x≤0),即a=b=2,又函数y=logcx+(x>0)的图像过点(0,2),所以c=,所以a+b+c=2+2+=.

探究点三

探索 解:函数f(x)=log2(ex+1)是由函数t=ex+1和函数y=log2t复合而成的,对该函数可以讨论它的定义域、值域、单调性、奇偶性等.

例3　(1)A　(2)C　[解析] (1)由x2-3x+2>0得x<1或x>2,当x∈(-∞,1)时,函数y=x2-3x+2单调递减,当x∈(2,+∞)时,函数y=x2-3x+2单调递增,而0<<1,所以由复合函数的单调性可知,函数y=lo(x2-3x+2)在(-∞,1)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.故选A.

(2)∵f(x)在 [2,+∞)上单调递减,∴函数y=x2-ax+3a在[2,+∞)上单调递增且函数值恒大于零,∴解得-4<a≤4,∴实数a的取值范围是 (-4,4].故选C.

变式　(1)AC　(2)D　[解析] (1)y=log2(x+1)在(0,+∞)上单调递增,故 A正确;y=log2的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),故该函数在(0,1]上无意义,故B错误;y=log0.2是由y=log0.2t(减函数)和t=(在(0,+∞)上单调递减)复合而成的,故该函数在(0,+∞)上单调递增,故C正确;因为x2-4x+5=(x-2)2+1>0恒成立,所以该函数的定义域为R,又y=lo(x2-4x+5)是由y=lot(减函数)和t=x2-4x+5(在(0,+∞)上不单调)复合而成的,所以该函数在(0,+∞)上不单调,故D错误.故选AC.

(2)由题意得2x->0,解得x>,即该函数的定义域为,+∞.易知函数y=lo2x-是由y=lou和u=2x-复合而成的,因为y=lou是减函数,u=2x-在,+∞上单调递增,所以y=lo2x-在,+∞上是减函数.故选D.

拓展　解:(1)∵函数f(x)=lo(x2-2ax+3)的定义域为R,

∴x2-2ax+3>0恒成立,

则Δ<0,即4a2-12<0,解得-<a<.

(2)∵f(-1)=-3,∴1+2a+3=-3,解得a=2,

∴f(x)=lo(x2-4x+3),

由x2-4x+3>0,得x<1或x>3.

设m(x)=x2-4x+3,易知m(x)图像的对称轴方程为x=2,

故m(x)在(-∞,1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,

根据复合函数的单调性可判断,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减,

故f(x)的单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(3,+∞).

(3)设n(x)=x2-2ax+3,可知n(x)在(-∞,a)上单调递减,

在(a,+∞)上单调递增.

∵f(x)在(-∞,2)上单调递增,

∴a≥2,且4-4a+3≥0,

即a≥2,且a≤,两式不可能同时成立.

∴不存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上单调递增.

例4　解:(1)∵f(1)=2,∴loga(1+1)+loga(3-1)=loga4=2,解得a=2.

由得-1<x<3,

故函数f(x)的定义域为(-1,3).

(2)∵f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4],

∴当x∈[0,1)时,f(x)单调递增,

当x∈1,时,f(x)单调递减,∴函数f(x)在0,上的最大值是f(1)=2.

变式　(1)　(2)D　[解析] (1)因为f(0)=0,且f(x)是单调函数,所以f(-2)=loga(2+1)=-1,且0<a<1,所以a=.

(2)因为函数f(x)与g(x)=x的图像关于直线y=x对称,所以f(x)=lox,又9-x2≤9,所以y=f(9-x2)=lo(9-x2)≥lo9=-2,则y=f(9-x2)的值域为[-2,+∞).故选D.

拓展　解:(1)因为函数f(x)=loga(kx2-2x+6)(a>0,且a≠1)的定义域为R,所以kx2-2x+6>0恒成立,

所以k>0,且Δ=4-24k<0,解得k>.

(2)因为函数f(x)在[1,2]上恒有意义,

所以函数g(x)=kx2-2x+6在[1,2]上恒取正值.

显然,k=0满足条件.

当k>0时,应有或或

可得 k≥1或0<k≤或<k<1,

故k的取值范围为(0,+∞).

当k<0时,应有可得-<k<0.

综上,k的取值范围为-,+∞.

例5　(1)D　(2)C　[解析] (1)对于A,设f(x)=2x-2-x,则定义域为R,f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,由复合函数的单调性可知该函数是定义域上的增函数,不符合题意;

对于B,设g(x)=,则定义域为{x|x≠0},g(-x)==-g(x),所以函数g(x)为奇函数,由反比例函数的单调性可知该函数在定义域上不具有单调性,不符合题意;

对于C,设m(x)=x3,则定义域为R,m(-x)=(-x)3=-x3=-m(x),所以函数m(x)为奇函数,由幂函数的单调性可知该函数是定义域上的增函数,不符合题意;

对于D,设n(x)=ln(-x),则定义域为R,因为n(x)=ln(-x)=ln=-ln(+x),所以n(-x)=ln(+x)=-n(x),所以函数n(x)为奇函数,由复合函数的单调性可知该函数是定义域上的减函数,符合题意.故选D.

(2)易知f(x)的定义域为R,因为f(-x)=(-x)3+ln(+x)=-x3+ln(+x)=-x3-ln(+x)-1=-x3-ln(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,排除B,D;因为f(1)=1+ln(-1)>0,所以排除A.故选C.

变式　解:(1)要使函数y=f(x)-g(x)有意义,必须有解得-<x<,

所以函数y=f(x)-g(x)的定义域是x-<x<.

(2)y=f(x)-g(x)是奇函数.

证明:由(1)知函数y=f(x)-g(x)的定义域关于原点对称.

因为f(-x)-g(-x)=loga(3-2x)-loga(3+2x)=-[loga(3+2x)-loga(3-2x)]=-[f(x)-g(x)],所以函数y=f(x)-g(x)是奇函数.

(3)f(x)-g(x)>0,即loga(3+2x)>loga(3-2x).

当a>1时,有解得0<x<;

当0<a<1时,有解得-<x<0.

综上,当a>1时,x的取值范围是0,;

当0<a<1时,x的取值范围是-,0.

【课堂评价】

1.A　[解析] 因为函数u=2x+1,y=log5u在定义域上都是增函数,所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调递增区间即为该函数的定义域,由2x+1>0,解得x>-,所以函数f(x)的单调递增区间是-,+∞.

2.A　[解析] 当a>1时,y=logat和t=(a-1)x+1在定义域上都是增函数,所以f(x)是增函数;当0<a<1时,y=logat和t=(a-1)x+1在定义域上都是减函数,所以f(x)是增函数.故选A.

3.A　[解析] 因为f(-x)=lg[(-x)2+1]=lg(x2+1)=f(x),且定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是偶函数.故选A.

4.C　[解析] ∵0<a<1,∴f(x)=logax在[a2,a]上单调递减,∴f(x)max=f(a2)=logaa2=2.故选C.

5.(4,+∞)　[解析] 由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4,故该函数的定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞).令t=x2-2x-8,则y=ln t.∵函数t=x2-2x-8在区间(4,+∞)上单调递增,在区间(-∞,-2)上单调递减,而函数y=ln t在(0,+∞)上为增函数,∴函数y=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞).