高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

4.5　函数的应用(二)

4.5.1　函数的零点与方程的解

【课前预习】

知识点一

f(x)=0　零点

诊断分析

1.(1)√　(2)×　(3)×　[解析] (1)令x2-1=0,解得x=±1,所以f(x)=x2-1的零点是±1.

(2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为x1,x2.

(3)如函数f(x)=1(x∈R)是无零点的.

2.解:(1)不是,函数的“零点”是一个数,实际上是函数y=f(x)的图像与x轴的公共点的横坐标.

(2)函数y=x3+1的零点是-1,函数y=x3+1 (x∈[0,2])没有零点.

知识点二

实数解　公共点的横坐标　有零点　x轴有公共点

诊断分析

(1)√　(2)×

知识点三

连续不断　f(a)f(b)<0　f(c)=0　f(x)=0

诊断分析

1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)由于f(x)=的图像在[-1,1]上不是一条连续不断的曲线,所以不能得出其有零点的结论.

(2)设函数f(x)=x2,x∈[-1,1],f(-1)f(1)>0,而f(x)在(-1,1)内有零点0.

(3)不一定.y=f(x)在x=a或x=b处可能无定义,即使有定义,也可能f(a)f(b)>0.如函数f(x)=(x-1)2在(0,2)内有零点,但f(0)f(2)>0.

2.解:不唯一.如f(x)=x3-x在区间[-2,2]上的图像是一条连续不断的曲线,且有f(2)·f(-2)<0,但f(x)在(-2,2)内有三个零点-1,0,1.

【课中探究】

探究点一

例1　(1)C　(2)-1,2　(3)-2　[解析] (1)令1-=0,解得x=1,故选C.

(2)令f(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2)=0,解得x=-1或x=2,所以函数f(x)的零点为-1,2.

(3)令f(x)=-4=0,解得x=-1,即f(x)的零点为-1.令g(x)=1-log2(x+3)=0,解得x=-1,即g(x)的零点为-1,所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为-2.

变式　(1)2　(2)5　-6　(3)-1和0　[解析] (1)方法一:令f(x)==0,解得x=1,故函数f(x)的零点为1,所以f(x-1)的零点为2.

方法二:因为f(x)=,所以f(x-1)=,令f(x-1)=0,解得x=2,所以f(x-1)的零点为2.

(2)因为函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,所以2和3是方程x2-ax-b=0的两个根,所以2+3=-(-a),2×3=-b,所以a=5,b=-6.

(3)因为f(x)=ax-b的零点是3,所以f(3)=0,即3a-b=0,故b=3a,所以g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1),所以方程g(x)=0的两个根是-1和0,即函数g(x)的零点是-1和0.

探究点二

例2　(1)B　(2)B　(3)B　[解析] (1)由函数f(x)=x3-x+5的图像(图略)可知f(x)只有1个零点,f(-3)=-27+3+5=-19<0,f(-2)=-8+2+5=-1<0,f(-1)=5>0,f(0)=5>0,f(1)=5>0, 因为f(-3)·f(-2)>0,f(-2)·f(-1)<0,f(-1)·f(0)>0,f(0)·f(1)>0,所以函数f(x)=x3-x+5的零点所在的区间是(-2,-1).故选B.

(2)易知函数f(x)=log2x-在(0,+∞)上单调递增,∵f(1)=0-1=-1<0,f(2)=1-=>0,∴f(1)·f(2)<0.根据函数零点存在定理可得,函数f(x)=log2x-的零点所在的区间为(1,2),故选B.

(3)易知函数g(x)=2x+5x在R上单调递增,∵g(-1)=2-1-5<0,g(0)=1>0,∴g(-1)·g(0)<0,∴函数g(x)=2x+5x的零点所在的区间是(-1,0),故选B.

变式　(1)C　(2)C　[解析] (1)函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,由所给的表格可得f(e)≈1-1.1=-0.1<0,f(3)≈1.1-1=0.1>0,∴f(e)·f(3)<0,故函数f(x)的零点所在的区间为(e,3),故选C.

(2)∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在定理可知,在区间(a,b)和(b,c)内分别至少存在一个零点,

又函数f(x)是二次函数,∴函数f(x)最多有两个零点,∴函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故选C.

探究点三

探索 解:对于简单函数,可以通过解方程求根,从而得出函数零点的个数;若函数解析式较为复杂,可将问题转化为两个函数图像的交点个数问题来求解;还可以利用零点存在定理、函数的单调性解决.

例3　(1)C　(2)1　[解析] (1)f(x)=当x≤0时,由x2-2x=0,解得x=0或x=2(舍去),当x>0时,由-1=0,解得x=1,所以f(x)的零点个数为2.故选C.

(2)方法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,∴f(x)在(0,2)上必存在零点,又f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上单调递增,∴函数f(x)有且仅有一个零点.

方法二:如图,在同一直角坐标系中画出g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图像.

由图知,g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图像有且仅有一个交点,即函数f(x)=2x+lg(x+1)-2有且仅有一个零点.

变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)根据题意可知和0为f(x)的零点,利用奇函数的图像关于原点对称的性质,可得-也为f(x)的零点,所以f(x)的零点共有3个,故选D.

(2)函数f(x)=-|lox|的零点个数即为函数y=和y=|lox|的图像在(0,+∞)上的交点个数.在同一直角坐标系中画出函数y=和y=|lox|的图像,如图所示,由图可得,函数y=和y=|lox|的图像在(0,+∞)上的交点个数为2,故函数f(x)=-|lox|的零点个数为2,故选A.

例4　(1)B　(2)B　[解析] (1)由题意f(x)=则函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0],又由f(0)=-a-1,且函数f(x)有且仅有两个零点,得-a-1<0,即a>-1,故实数a的取值范围为(-1,+∞).

(2)依题意,得函数y=f(x)的图像与直线y=-a恰有两个交点,作出函数y=f(x)的图像,如图所示,

由图可知,若函数y=f(x)的图像与直线y=-a恰有两个交点,则0<-a≤1,即-1≤a<0.故选B.

变式　(0,2)　[解析] 令|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b,由题意可知函数y=|2x-2|与y=b的图像有两个交点,结合函数y=|2x-2|与y=b的图像(如图所示)可知0<b<2.

【课堂评价】

1.BCD　[解析] 函数有零点就是函数图像与x轴有公共点,故选BCD.

2.B　[解析] 令-x2+5x-6=0,解得x=2或x=3,故函数f(x)的零点是2,3,故选B.

3.C　[解析] 函数只有一个零点,即方程x2-bx+1=0只有一个根,所以Δ=b2-4=0,所以b=±2.

4.C　[解析] f(x)在R上是增函数,∵f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,∴f(0)·f(1)<0,∴f(x)在(0,1)内有零点,故选C.

5.-2或1　[解析] 由题意知x≠0,所以原方程即为lg(x+2)=,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y=的图像,如图所示,由图可知,原方程有两个根,一个根在区间(-2,-1)上,另一个根在区间(1,2)上,所以k=-2或1.