还剩17页未读，
继续阅读
苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示第四课时学案及答案
展开
这是一份苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示第四课时学案及答案，共20页。学案主要包含了课前小题演练，当堂巩固训练，综合突破拔高，学科素养培优，解题指南等内容，欢迎下载使用。
1、理解并掌握向量平行的坐标表示及相关结论．
2、理解并掌握向量平行的坐标表示及应用．
3、理解并掌握向量平行在平面几何中的应用．
4、理解并掌握向量平行与垂直综合问题.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：向量平行的坐标表示及应用；
难点：向量平行在平面几何中的应用．
教学过程
基础知识点
向量平行的坐标表示
【课前小题演练】
题1．已知向量a＝(－1，m)，b＝(－m，2m＋3)，且a∥b，则m等于( )
A．－1 B．－2
C．－1或3 D．0或－2
题2．在▱ABCD中， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(3，7)， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－2，3)，对称中心为O，则 eq \(CO,\s\up6(→)) 等于( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
题3．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝3a，则点B的坐标为________．
题4．向量a＝(n，1)与b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝________.
题5．已知A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝2| eq \(PB,\s\up6(→)) |，求点P的坐标．
【当堂巩固训练】
题6．已知向量a＝(1，3)，b＝(2，1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( )
A．－6 B．6 C．2 D．－2
题7．已知a＝(－2，1－cs θ)，b＝(1＋cs θ，－ eq \f(1,4) )，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．45° B．30°
C．60° D．30°或60°
题8．已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)，1)) 与向量b＝(x2，2x)共线，则实数x的值为( )
A．－3 B．－3或0
C．3 D．3或0
题9．已知A，B，C三点共线，且A(1，2)，B(2，4)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为______．
题10．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，－2)，点P满足 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝－3 eq \(PA,\s\up6(→)) ，则点P的坐标为________．
题11．已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3). eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(CD,\s\up6(→)) 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
【综合突破拔高】
题12．在△ABC中，点P在BC上，且 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PC,\s\up6(→)) ，点Q是AC的中点，若 eq \(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，3)) ， eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，5)) ，则 eq \(BC,\s\up6(→)) 等于( )
A．(－2，7) B．(－6，21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
题13．已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，正确的个数是( )
①存在实数x，使a∥b；
②存在实数x，使(a＋b)∥a；
③存在实数x，m，使(m a＋b)∥a；
④存在实数x，m，使(m a＋b)∥b.
A．0 B．1 C．2 D．3
题14．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，E为BF的中点，则 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝( )
A. eq \f(4,5) a＋ eq \f(2,5) b B． eq \f(2,5) a＋ eq \f(4,5) b
C． eq \f(4,3) a＋ eq \f(2,3) b D． eq \f(2,3) a＋ eq \f(4,3) b
题15．(多选)下列向量中，与向量c＝(2，3)共线的向量有( )
A．(3，2) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
题16．已知三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n，0)(mn≠0)，若A，B，C三点共线，则 eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) 的值为________；若 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则m，n满足______．
题17．已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋λ eq \(AC,\s\up6(→)) (λ∈R)，且点P在第一、三象限的角平分线上，则λ＝________．
题18．已知点O(0，0)，A(1，3)，B(4，5)及 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋t eq \(AB,\s\up6(→)) .
(1)t为何值时，P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应t的值；若不能，请说明理由．
【学科素养培优】
题19．如图，在△ABC中， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ， eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(BD,\s\up6(→)) ，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝
λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则 eq \f(λ,μ) ＝( )
A．－3 B．3 C．2 D．－2
题20．如图，以e1，e2为基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为( )
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
题21．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6 C．6 D．12
题22．已知向量a＝(2，2)，b＝(x，4)，若(3a＋4b)∥(5b－a)，则x＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
题23．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC＝4，点D沿A→C→B运动，则 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) 的最小值是( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
题24．已知平面向量a，b满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) ＝1，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3a－2b)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) 的最大值为( )
A．4 B．2 eq \r(5)
C．3＋2 eq \r(5) D．6
题25．(多选)在△ABC中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，3)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为( )
A．－ eq \f(2,3) B． eq \f(11,3)
C． eq \f(3±\r(13),2) D． eq \f(2,3)
题26．(多选)若角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则 eq \(OP,\s\up6(→)) 与 eq \(OQ,\s\up6(→)) 夹角的余弦值可能为( )
A． eq \f(－2\r(5),5) B． eq \f(11\r(5),25)
C．－ eq \f(\r(5),5) D． eq \f(\r(5),5)
题27．(多选)如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ≠\f(π,2))) 角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝xe1＋ye2，则把有序数对 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y)) 叫作向量 eq \(OM,\s\up6(→)) 的仿射坐标，记为 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y)) .在θ＝ eq \f(2π,3) 的仿射坐标系中，a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－1)) .则下列结论中，正确的是( )
A．a－b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3)) B． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝ eq \r(5)
C．a⊥b D． eq \f(a·b,|b|) ＝－ eq \f(3\r(7),14)
题28．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________．
题29．已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3)) ，若存在向量c，使得a·c＝6，b·c＝4，则2c－a＝________．
题30．如图，在△ABC中， eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(NC,\s\up6(→)) .若 eq \(AN,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则λ的值为________，P是BN上的一点，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋m eq \(AC,\s\up6(→)) ，则m的值为________．
题31．已知平面非零向量a，b的夹角是 eq \f(2,3) π.
(1)若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝1， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋2b)) ＝ eq \r(7) ，求 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ；
(2)若a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\r(3))) ，求t的值，并求与a－b共线的单位向量e的坐标．
题32．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)，b＝(－3，k)，c＝(－2，4).
(1)若(m a＋c)∥(2a－c)，求m；
(2)若a⊥(a＋b)，c＝λa＋μb，求λ＋μ.
题33．如图所示，在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up6(→)) ，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
题34．已知a＝(1，1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋2b垂直；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
编号：008 课题:§9.3.3 向量平行的坐标表示
目标要求
1、理解并掌握向量平行的坐标表示及相关结论．
2、理解并掌握向量平行的坐标表示及应用．
3、理解并掌握向量平行在平面几何中的应用．
4、理解并掌握向量平行与垂直综合问题.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：向量平行的坐标表示及应用；
难点：向量平行在平面几何中的应用．
教学过程
基础知识点
向量平行的坐标表示
【课前小题演练】
题1．已知向量a＝(－1，m)，b＝(－m，2m＋3)，且a∥b，则m等于( )
A．－1 B．－2
C．－1或3 D．0或－2
【解析】选C.由已知得－(2m＋3)＋m2＝0，所以m＝－1或m＝3.
题2．在▱ABCD中， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(3，7)， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－2，3)，对称中心为O，则 eq \(CO,\s\up6(→)) 等于( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
【解析】选B. eq \(CO,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,2) ( eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) )
＝－ eq \f(1,2) (1，10)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)) .
题3．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝3a，则点B的坐标为________．
【解析】设O为坐标原点，因为 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(－1，－5)， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝3a＝(6，9)，故 eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(5，4)，
故点B的坐标为(5，4).
答案：(5，4)
题4．向量a＝(n，1)与b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝________.
【解析】因为a∥b，所以n2－4＝0，所以n＝2或n＝－2，又a与b方向相同，所以n＝2.
答案：2
题5．已知A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝2| eq \(PB,\s\up6(→)) |，求点P的坐标．
【解析】设P(x，y)，则由| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝2| eq \(PB,\s\up6(→)) |
得 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PB,\s\up6(→)) 或 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(PB,\s\up6(→)) .
若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PB,\s\up6(→)) ，则(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y).
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3＝－2－2x，,y＋4＝4－2y.)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝0)) ，故P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，0)) .
若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(PB,\s\up6(→)) ，同理可解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝8，))
故P(－5，8).
【当堂巩固训练】
题6．已知向量a＝(1，3)，b＝(2，1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( )
A．－6 B．6 C．2 D．－2
【解析】选B.a＋2b＝(5，5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，所以λ＝6.
题7．已知a＝(－2，1－cs θ)，b＝(1＋cs θ，－ eq \f(1,4) )，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．45° B．30°
C．60° D．30°或60°
【解析】选A.由a∥b得－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4))) ＝1－cs2θ＝sin2θ，所以sin2θ＝ eq \f(1,2) ，因为θ为锐角，
所以sinθ＝ eq \f(\r(2),2) ，所以θ＝45°.
题8．已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)，1)) 与向量b＝(x2，2x)共线，则实数x的值为( )
A．－3 B．－3或0
C．3 D．3或0
【解析】选B.向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)，1)) 与向量b＝(x2，2x)共线，则2x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2))) －x2＝0，即x2＋3x＝0，解得x＝0或x＝－3，所以实数x的值为－3或0.
二、填空题
题9．已知A，B，C三点共线，且A(1，2)，B(2，4)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为______．
【解析】设C(6，y)，因为A，B，C三点共线，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ∥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，
又 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(1，2)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(5，y－2)，
所以1×(y－2)－2×5＝0.所以y＝12.
答案：12
题10．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，－2)，点P满足 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝－3 eq \(PA,\s\up6(→)) ，则点P的坐标为________．
【解析】设P(x，y)，因为 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝－3 eq \(PA,\s\up6(→)) ，
所以(x，y)＝－3(4－x，－2－y)，
(x，y)＝(－12＋3x，6＋3y)，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－12＋3x，,y＝6＋3y，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝－3，)) 所以P(6，－3).
答案：(6，－3)
题11．已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3). eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(CD,\s\up6(→)) 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
【解析】 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，
eq \(CD,\s\up6(→)) ＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)，
因为(－2)×(－6)－3×4＝0，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(CD,\s\up6(→)) 共线．
又 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(AB,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(CD,\s\up6(→)) 方向相反．
综上， eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(CD,\s\up6(→)) 共线且方向相反．
【综合突破拔高】
题12．在△ABC中，点P在BC上，且 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PC,\s\up6(→)) ，点Q是AC的中点，若 eq \(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，3)) ， eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，5)) ，则 eq \(BC,\s\up6(→)) 等于( )
A．(－2，7) B．(－6，21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
【解析】选B.因为点Q是AC的中点，
所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PA,\s\up6(→))＋\(PC,\s\up6(→)))) ，所以 eq \(PC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PQ,\s\up6(→)) － eq \(PA,\s\up6(→)) ，
因为 eq \(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，3)) ， eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，5)) ，
所以 eq \(PC,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，7)) ，又 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PC,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝3 eq \(PC,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，21)) .
题13．已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，正确的个数是( )
①存在实数x，使a∥b；
②存在实数x，使(a＋b)∥a；
③存在实数x，m，使(m a＋b)∥a；
④存在实数x，m，使(m a＋b)∥b.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选B.由a∥b得x2＝－9，无实数解，①不对；又a＋b＝(x－3，3＋x)，由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，②不对；
因为m a＋b＝(mx－3，3m＋x)，
而(m a＋b)∥a，所以(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，即x2＝－9，无实数解，③不对；由(m a＋b)∥b得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，④正确，综上，正确的个数为1.
题14．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，E为BF的中点，则 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝( )
A. eq \f(4,5) a＋ eq \f(2,5) b B． eq \f(2,5) a＋ eq \f(4,5) b
C． eq \f(4,3) a＋ eq \f(2,3) b D． eq \f(2,3) a＋ eq \f(4,3) b
【解题指南】建立平面直角坐标系．不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x.利用勾股定理可得x，通过Rt△ABE的边角关系，可得E的坐标，设 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝m eq \(AB,\s\up6(→)) ＋n eq \(AD,\s\up6(→)) ，通过坐标运算性质即可得出．
【解析】选A.如图所示，建立平面直角坐标系．
不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x.
所以x2＋4x2＝1，解得x＝ eq \f(\r(5),5) .
设∠BAE＝θ，则sin θ＝ eq \f(\r(5),5) ，cs θ＝ eq \f(2\r(5),5) .
所以xE＝ eq \f(2\r(5),5) cs θ＝ eq \f(4,5) ，yE＝ eq \f(2\r(5),5) sin θ＝ eq \f(2,5) .
设 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝m eq \(AB,\s\up6(→)) ＋n eq \(AD,\s\up6(→)) ，
则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(2,5))) ＝m(1，0)＋n(0，1).
所以m＝ eq \f(4,5) ，n＝ eq \f(2,5) .所以 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(4,5) a＋ eq \f(2,5) b.
题15．(多选)下列向量中，与向量c＝(2，3)共线的向量有( )
A．(3，2) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
【解析】选BCD.由向量平行的坐标表示，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥bx1y2－x2y1＝0可知，只有选项A与已知向量不共线．
题16．已知三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n，0)(mn≠0)，若A，B，C三点共线，则 eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) 的值为________；若 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则m，n满足______．
【解析】因为A，B，C三点共线，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ∥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，
因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，m＋2)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(n＋2，2)，
所以4－(m＋2)(n＋2)＝0，
所以mn＋2m＋2n＝0，因为mn≠0，
所以 eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) ＝－ eq \f(1,2) .
因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，
所以2(n＋2)＋2(m＋2)＝0，所以m＋n＋4＝0.
答案：－ eq \f(1,2) m＋n＋4＝0
题17．已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋λ eq \(AC,\s\up6(→)) (λ∈R)，且点P在第一、三象限的角平分线上，则λ＝________．
【解析】因为 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋λ eq \(AC,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋λ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋λ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(5，4)＋λ(5，7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，
由题意，可知5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝ eq \f(1,2) .
答案： eq \f(1,2)
题18．已知点O(0，0)，A(1，3)，B(4，5)及 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋t eq \(AB,\s\up6(→)) .
(1)t为何值时，P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应t的值；若不能，请说明理由．
【解析】(1)易知 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(3，2)，从而 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝(1＋3t，3＋2t).于是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋3t＜0，,3＋2t＞0，)) 得－ eq \f(3,2) ＜t＜－ eq \f(1,3) .
(2)若四边形OABP能成为平行四边形，则有 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ，从而 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋3t＝3，,3＋2t＝2，)) 这是不可能的．
所以四边形OABP不能成为平行四边形．
【学科素养培优】
题19．如图，在△ABC中， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ， eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(BD,\s\up6(→)) ，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝
λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则 eq \f(λ,μ) ＝( )
A．－3 B．3 C．2 D．－2
【解析】选B.因为 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→)))) .
又因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→)))) ＝ eq \f(2,9) eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,9) eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))
＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,9) eq \(AC,\s\up6(→)) ，
又 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AC,\s\up6(→)) 且 eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(AC,\s\up6(→)) 不共线，
所以λ＝ eq \f(2,3) ，μ＝ eq \f(2,9) .则 eq \f(λ,μ) ＝3.
题20．如图，以e1，e2为基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为( )
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
【解析】选A.因为e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3).
题21．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6 C．6 D．12
【解析】选D.2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
题22．已知向量a＝(2，2)，b＝(x，4)，若(3a＋4b)∥(5b－a)，则x＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】选C.由向量a＝(2，2)，b＝(x，4)，
所以3a＋4b＝(6＋4x，22)，5b－a＝(5x－2，18)；
又(3a＋4b)∥(5b－a)，
所以18(6＋4x)－22(5x－2)＝0，解得x＝4.
题23．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC＝4，点D沿A→C→B运动，则 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) 的最小值是( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【解析】选A.方法一：在△ABC中∠C＝90°，AB＝2AC＝4，可得BC＝2 eq \r(3) ，当点D在AC上运动时，
设 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AC,\s\up6(→)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤λ≤1)) ，
则 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－1)) eq \(AC,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))＋\(CD,\s\up6(→)))) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) ，
又因为∠C＝90°，所以AD⊥BC，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝0，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) ＝λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－1)) eq \(AC,\s\up6(→)) 2＝
4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2))) 2－1，当λ＝ eq \f(1,2) 时， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) 取得最小值－1.
当点D在BC上运动时，
设 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤λ≤1)) ，则 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－1)) eq \(BC,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))＋\(CD,\s\up6(→)))) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ，又因为∠C＝90°，
所以AC⊥BD，所以 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝0，所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(CD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－1)) eq \(BC,\s\up6(→)) 2＝12 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2))) 2－3，
当λ＝ eq \f(1,2) 时， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) 取得最小值－3，
综上可得， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) 的最小值是－3.
方法二：如图建立坐标系，则A(0，－2)，B(2 eq \r(3) ，0)，
设D(x，y)，若D在AC上运动，则D(0，y)(－2≤y≤0)， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(0，y＋2)， eq \(BD,\s\up6(→)) ＝(－2 eq \r(3) ，y)，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝y(y＋2)＝y2＋2y＝(y＋1)2－1，
当y＝－1时，取最小值－1；
若D在CB上运动，则D(x，0)(0≤x≤2 eq \r(3) )，
eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(x，2)， eq \(BD,\s\up6(→)) ＝(x－2 eq \r(3) ，0)，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝x(x－2 eq \r(3) )＝x2－2 eq \r(3) x＝(x－ eq \r(3) )2－3，
当x＝ eq \r(3) 时，取最小值－3.
综上知， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) 的最小值为－3.
题24．已知平面向量a，b满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) ＝1，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3a－2b)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) 的最大值为( )
A．4 B．2 eq \r(5)
C．3＋2 eq \r(5) D．6
【解析】选B.因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) ＝1，
设a，b的夹角为θ，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) 2＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) 2＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) 2－2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) cs θ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) 2＝1，
则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝2cs θ，
令t＝cs θ，t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，1)) ，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝2t，
则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3a－2b)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a－2b))2)
＝ eq \r(9\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))2－12\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))t＋4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))2)
＝ eq \r(9－24t2＋16t2) ＝ eq \r(9－8t2) ，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2) ＝ eq \r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))2＋2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))t＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))2)
＝ eq \r(1＋4t2＋4t2) ＝ eq \r(1＋8t2) ，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3a－2b)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) ＝ eq \r(9－8t2) ＋ eq \r(1＋8t2) ，利用基本不等式知 eq \f(a＋b,2) ≤ eq \r(\f(a2＋b2,2)) a＋b≤ eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋b2))) ，则 eq \r(9－8t2) ＋ eq \r(1＋8t2) ≤ eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－8t2＋1＋8t2))) ＝2 eq \r(5) ，
当且仅当 eq \r(9－8t2) ＝ eq \r(1＋8t2) 时取等号，此时t＝± eq \f(\r(2),2) .则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3a－2b)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) 的最大值为2 eq \r(5) .
题25．(多选)在△ABC中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，3)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为( )
A．－ eq \f(2,3) B． eq \f(11,3)
C． eq \f(3±\r(13),2) D． eq \f(2,3)
【解析】选ABC.因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，3)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(1，k)，
所以 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－1，k－3).
若A＝90°，则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝2×1＋3×k＝0，
所以k＝－ eq \f(2,3) ；
若B＝90°，则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
所以k＝ eq \f(11,3) ；
若C＝90°，则 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
所以k＝ eq \f(3±\r(13),2) .
故所求k的值为－ eq \f(2,3) 或 eq \f(11,3) 或 eq \f(3±\r(13),2) .
题26．(多选)若角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则 eq \(OP,\s\up6(→)) 与 eq \(OQ,\s\up6(→)) 夹角的余弦值可能为( )
A． eq \f(－2\r(5),5) B． eq \f(11\r(5),25)
C．－ eq \f(\r(5),5) D． eq \f(\r(5),5)
【解析】选CD.因为tan α＝－2，
所以可设P(x，－2x)，
cs 〈 eq \(OP,\s\up6(→)) ， eq \(OQ,\s\up6(→)) 〉＝ eq \f(\(OP,\s\up6(→))·\(OQ,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|·|\(OQ,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(5x,5\r(5)|x|) ，
当x>0时，cs 〈 eq \(OP,\s\up6(→)) ， eq \(OQ,\s\up6(→)) 〉＝ eq \f(\r(5),5) ；
当x<0时，cs 〈 eq \(OP,\s\up6(→)) ， eq \(OQ,\s\up6(→)) 〉＝－ eq \f(\r(5),5) .
题27．(多选)如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ≠\f(π,2))) 角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝xe1＋ye2，则把有序数对 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y)) 叫作向量 eq \(OM,\s\up6(→)) 的仿射坐标，记为 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y)) .在θ＝ eq \f(2π,3) 的仿射坐标系中，a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－1)) .则下列结论中，正确的是( )
A．a－b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3)) B． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝ eq \r(5)
C．a⊥b D． eq \f(a·b,|b|) ＝－ eq \f(3\r(7),14)
【解析】选AD.a－b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e1＋2e2)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2e1－e2))
＝－e1＋3e2，则a－b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3)) ，故A正确；
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e1＋2e2))2) ＝ eq \r(e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋4e1e2＋4e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )
＝ eq \r(5＋4cs \f(2π,3)) ＝ eq \r(3) ，故B错误；
a·b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e1＋2e2)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2e1－e2)) ＝2e12＋3e1·e2－2e22＝－ eq \f(3,2) ，故C错误；
由于 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2e1－e2))2) ＝ eq \r(4e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －4e1e2＋e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )
＝ eq \r(7) ，故 eq \f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))) ＝ eq \f(－\f(3,2),\r(7)) ＝－ eq \f(3\r(7),14) ，故D正确．
题28．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________．
【解析】λa＋b＝(λ＋2，2λ＋3)，
所以－4(2λ＋3)＝－7(λ＋2).
所以－8λ－12＝－7λ－14，所以λ＝2.
答案：2
题29．已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3)) ，若存在向量c，使得a·c＝6，b·c＝4，则2c－a＝________．
【解析】设c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y)) ，
因为a·c＝6，b·c＝4，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝6,－x＋3y＝4)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝2)) ，
所以c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2)) ，
则2c－a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3)) .
答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3))
题30．如图，在△ABC中， eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(NC,\s\up6(→)) .若 eq \(AN,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则λ的值为________，P是BN上的一点，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋m eq \(AC,\s\up6(→)) ，则m的值为________．
【解析】如图在△ABC中， eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(NC,\s\up6(→)) .
所以 eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→)) ，故λ＝ eq \f(1,4) .
由于点B，P，N三点共线．所以 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝t eq \(PN,\s\up6(→)) ，
则 eq \(AP,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝t eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AN,\s\up6(→))－\(AP,\s\up6(→)))) ，整理得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋t)) eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(t,4) eq \(AC,\s\up6(→)) ，故 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,1＋t) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(t,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋t))) eq \(AC,\s\up6(→)) ，所以 eq \f(1,1＋t) ＝ eq \f(1,3) ，解得t＝2.故m＝ eq \f(2,4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2))) ＝ eq \f(1,6) .
答案： eq \f(1,4) eq \f(1,6)
题31．已知平面非零向量a，b的夹角是 eq \f(2,3) π.
(1)若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝1， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋2b)) ＝ eq \r(7) ，求 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ；
(2)若a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\r(3))) ，求t的值，并求与a－b共线的单位向量e的坐标．
【解析】(1)向量a，b的夹角是 eq \f(2,3) π，
由 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋2b)) ＝ eq \r(7) ，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2b)) 2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a)) 2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2b)) 2＋4a·b＝1＋4 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) 2＋4 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) cs eq \f(2π,3) ＝7，
解得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝ eq \f(3,2) ， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝－1舍去，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝ eq \f(3,2) .
(2)a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\r(3))) ，
由向量a，b的夹角是 eq \f(2,3) π
得cs eq \f(2,3) π＝ eq \f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))×\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))) ＝ eq \f(2t,2×\r(t2＋3)) ＝－ eq \f(1,2) ，解得t＝－1，t＝1舍去，
因为a－b＝(2－t，－ eq \r(3) )＝(3，－ eq \r(3) )，
设单位向量e＝(x，y)，
所以x2＋y2＝1，又e与a－b共线，
所以3y＝－ eq \r(3) x，
求得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(\r(3),2),y＝\f(1,2))) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),2),y＝－\f(1,2))) ，
所以e＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) 或e＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2))) .
题32．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)，b＝(－3，k)，c＝(－2，4).
(1)若(m a＋c)∥(2a－c)，求m；
(2)若a⊥(a＋b)，c＝λa＋μb，求λ＋μ.
【解析】(1)m a＋c＝(m－2，2m＋4)，2a－c＝(4，0)，
因为(m a＋c)∥(2a－c)，
所以2m＋4＝0，解得m＝－2；
(2)a＋b＝(－2，k＋2)，且a⊥(a＋b)，
所以a·(a＋b)＝－2＋2(k＋2)＝0，
解得k＝－1，
所以c＝λa＋μb＝(λ－3μ，2λ－μ)＝(－2，4)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ－3μ＝－2,2λ－μ＝4)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(14,5),μ＝\f(8,5))) ，
所以λ＋μ＝ eq \f(22,5) .
题33．如图所示，在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up6(→)) ，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
【解析】因为 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(OA,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) (0，5)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4))) ，
所以C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4))) .
因为 eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) (4，3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2))) ，
所以D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2))) .
设M(x，y)，则 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝(x，y－5)，
eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－0，\f(3,2)－5)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(7,2))) .
因为 eq \(AM,\s\up6(→)) ∥ eq \(AD,\s\up6(→)) ，
所以－ eq \f(7,2) x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20①.
又 eq \(CM,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y－\f(5,4))) ， eq \(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(7,4))) ，
因为 eq \(CM,\s\up6(→)) ∥ eq \(CB,\s\up6(→)) ，
所以 eq \f(7,4) x－4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(5,4))) ＝0，
即7x－16y＝－20②，
联立①②解得x＝ eq \f(12,7) ，y＝2，
故点M的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,7)，2)) .
题34．已知a＝(1，1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋2b垂直；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
【解析】因为a＝(1，1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1，1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，
a＋2b＝(1，1)＋(0，－4)＝(1，－3)，
a＋b＝(1，1)＋(0，－2)＝(1，－1).
(1)因为ka－b与a＋2b垂直，
所以k－3k－6＝0，
所以k＝－3，
即当k＝－3时，ka－b与a＋2b垂直．
(2)因为|ka－b|＝ eq \r(k2＋（k＋2）2) ，
|a＋b|＝ eq \r(12＋（－1）2) ＝ eq \r(2) ，
(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)
＝k－k－2＝－2，
因为ka－b与a＋b的夹角为120°，
所以cs 120°＝ eq \f(（ka－b）·（a＋b）,|ka－b||a＋b|) ，
即－ eq \f(1,2) ＝ eq \f(－2,\r(2)·\r(k2＋（k＋2）2)) ，
化简整理，得k2＋2k－2＝0，
解得k＝－1± eq \r(3) .
即当k＝－1± eq \r(3) 时，ka－b与a＋b的夹角为120°.
条件
a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2)) ，其中b≠0
结论
向量a，b(b≠0)平行的充要条件是___________.
条件
a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2)) ，其中b≠0
结论
向量a，b(b≠0)平行的充要条件是x1y2－x2y1＝0
1、理解并掌握向量平行的坐标表示及相关结论．
2、理解并掌握向量平行的坐标表示及应用．
3、理解并掌握向量平行在平面几何中的应用．
4、理解并掌握向量平行与垂直综合问题.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：向量平行的坐标表示及应用；
难点：向量平行在平面几何中的应用．
教学过程
基础知识点
向量平行的坐标表示
【课前小题演练】
题1．已知向量a＝(－1，m)，b＝(－m，2m＋3)，且a∥b，则m等于( )
A．－1 B．－2
C．－1或3 D．0或－2
题2．在▱ABCD中， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(3，7)， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－2，3)，对称中心为O，则 eq \(CO,\s\up6(→)) 等于( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
题3．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝3a，则点B的坐标为________．
题4．向量a＝(n，1)与b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝________.
题5．已知A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝2| eq \(PB,\s\up6(→)) |，求点P的坐标．
【当堂巩固训练】
题6．已知向量a＝(1，3)，b＝(2，1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( )
A．－6 B．6 C．2 D．－2
题7．已知a＝(－2，1－cs θ)，b＝(1＋cs θ，－ eq \f(1,4) )，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．45° B．30°
C．60° D．30°或60°
题8．已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)，1)) 与向量b＝(x2，2x)共线，则实数x的值为( )
A．－3 B．－3或0
C．3 D．3或0
题9．已知A，B，C三点共线，且A(1，2)，B(2，4)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为______．
题10．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，－2)，点P满足 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝－3 eq \(PA,\s\up6(→)) ，则点P的坐标为________．
题11．已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3). eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(CD,\s\up6(→)) 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
【综合突破拔高】
题12．在△ABC中，点P在BC上，且 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PC,\s\up6(→)) ，点Q是AC的中点，若 eq \(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，3)) ， eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，5)) ，则 eq \(BC,\s\up6(→)) 等于( )
A．(－2，7) B．(－6，21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
题13．已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，正确的个数是( )
①存在实数x，使a∥b；
②存在实数x，使(a＋b)∥a；
③存在实数x，m，使(m a＋b)∥a；
④存在实数x，m，使(m a＋b)∥b.
A．0 B．1 C．2 D．3
题14．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，E为BF的中点，则 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝( )
A. eq \f(4,5) a＋ eq \f(2,5) b B． eq \f(2,5) a＋ eq \f(4,5) b
C． eq \f(4,3) a＋ eq \f(2,3) b D． eq \f(2,3) a＋ eq \f(4,3) b
题15．(多选)下列向量中，与向量c＝(2，3)共线的向量有( )
A．(3，2) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
题16．已知三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n，0)(mn≠0)，若A，B，C三点共线，则 eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) 的值为________；若 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则m，n满足______．
题17．已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋λ eq \(AC,\s\up6(→)) (λ∈R)，且点P在第一、三象限的角平分线上，则λ＝________．
题18．已知点O(0，0)，A(1，3)，B(4，5)及 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋t eq \(AB,\s\up6(→)) .
(1)t为何值时，P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应t的值；若不能，请说明理由．
【学科素养培优】
题19．如图，在△ABC中， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ， eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(BD,\s\up6(→)) ，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝
λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则 eq \f(λ,μ) ＝( )
A．－3 B．3 C．2 D．－2
题20．如图，以e1，e2为基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为( )
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
题21．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6 C．6 D．12
题22．已知向量a＝(2，2)，b＝(x，4)，若(3a＋4b)∥(5b－a)，则x＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
题23．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC＝4，点D沿A→C→B运动，则 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) 的最小值是( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
题24．已知平面向量a，b满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) ＝1，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3a－2b)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) 的最大值为( )
A．4 B．2 eq \r(5)
C．3＋2 eq \r(5) D．6
题25．(多选)在△ABC中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，3)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为( )
A．－ eq \f(2,3) B． eq \f(11,3)
C． eq \f(3±\r(13),2) D． eq \f(2,3)
题26．(多选)若角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则 eq \(OP,\s\up6(→)) 与 eq \(OQ,\s\up6(→)) 夹角的余弦值可能为( )
A． eq \f(－2\r(5),5) B． eq \f(11\r(5),25)
C．－ eq \f(\r(5),5) D． eq \f(\r(5),5)
题27．(多选)如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ≠\f(π,2))) 角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝xe1＋ye2，则把有序数对 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y)) 叫作向量 eq \(OM,\s\up6(→)) 的仿射坐标，记为 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y)) .在θ＝ eq \f(2π,3) 的仿射坐标系中，a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－1)) .则下列结论中，正确的是( )
A．a－b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3)) B． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝ eq \r(5)
C．a⊥b D． eq \f(a·b,|b|) ＝－ eq \f(3\r(7),14)
题28．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________．
题29．已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3)) ，若存在向量c，使得a·c＝6，b·c＝4，则2c－a＝________．
题30．如图，在△ABC中， eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(NC,\s\up6(→)) .若 eq \(AN,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则λ的值为________，P是BN上的一点，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋m eq \(AC,\s\up6(→)) ，则m的值为________．
题31．已知平面非零向量a，b的夹角是 eq \f(2,3) π.
(1)若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝1， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋2b)) ＝ eq \r(7) ，求 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ；
(2)若a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\r(3))) ，求t的值，并求与a－b共线的单位向量e的坐标．
题32．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)，b＝(－3，k)，c＝(－2，4).
(1)若(m a＋c)∥(2a－c)，求m；
(2)若a⊥(a＋b)，c＝λa＋μb，求λ＋μ.
题33．如图所示，在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up6(→)) ，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
题34．已知a＝(1，1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋2b垂直；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
编号：008 课题:§9.3.3 向量平行的坐标表示
目标要求
1、理解并掌握向量平行的坐标表示及相关结论．
2、理解并掌握向量平行的坐标表示及应用．
3、理解并掌握向量平行在平面几何中的应用．
4、理解并掌握向量平行与垂直综合问题.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：向量平行的坐标表示及应用；
难点：向量平行在平面几何中的应用．
教学过程
基础知识点
向量平行的坐标表示
【课前小题演练】
题1．已知向量a＝(－1，m)，b＝(－m，2m＋3)，且a∥b，则m等于( )
A．－1 B．－2
C．－1或3 D．0或－2
【解析】选C.由已知得－(2m＋3)＋m2＝0，所以m＝－1或m＝3.
题2．在▱ABCD中， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(3，7)， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－2，3)，对称中心为O，则 eq \(CO,\s\up6(→)) 等于( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
【解析】选B. eq \(CO,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,2) ( eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) )
＝－ eq \f(1,2) (1，10)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)) .
题3．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝3a，则点B的坐标为________．
【解析】设O为坐标原点，因为 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(－1，－5)， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝3a＝(6，9)，故 eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(5，4)，
故点B的坐标为(5，4).
答案：(5，4)
题4．向量a＝(n，1)与b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝________.
【解析】因为a∥b，所以n2－4＝0，所以n＝2或n＝－2，又a与b方向相同，所以n＝2.
答案：2
题5．已知A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝2| eq \(PB,\s\up6(→)) |，求点P的坐标．
【解析】设P(x，y)，则由| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝2| eq \(PB,\s\up6(→)) |
得 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PB,\s\up6(→)) 或 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(PB,\s\up6(→)) .
若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PB,\s\up6(→)) ，则(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y).
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3＝－2－2x，,y＋4＝4－2y.)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝0)) ，故P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，0)) .
若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(PB,\s\up6(→)) ，同理可解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝8，))
故P(－5，8).
【当堂巩固训练】
题6．已知向量a＝(1，3)，b＝(2，1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( )
A．－6 B．6 C．2 D．－2
【解析】选B.a＋2b＝(5，5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，所以λ＝6.
题7．已知a＝(－2，1－cs θ)，b＝(1＋cs θ，－ eq \f(1,4) )，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．45° B．30°
C．60° D．30°或60°
【解析】选A.由a∥b得－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4))) ＝1－cs2θ＝sin2θ，所以sin2θ＝ eq \f(1,2) ，因为θ为锐角，
所以sinθ＝ eq \f(\r(2),2) ，所以θ＝45°.
题8．已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)，1)) 与向量b＝(x2，2x)共线，则实数x的值为( )
A．－3 B．－3或0
C．3 D．3或0
【解析】选B.向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)，1)) 与向量b＝(x2，2x)共线，则2x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2))) －x2＝0，即x2＋3x＝0，解得x＝0或x＝－3，所以实数x的值为－3或0.
二、填空题
题9．已知A，B，C三点共线，且A(1，2)，B(2，4)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为______．
【解析】设C(6，y)，因为A，B，C三点共线，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ∥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，
又 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(1，2)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(5，y－2)，
所以1×(y－2)－2×5＝0.所以y＝12.
答案：12
题10．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，－2)，点P满足 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝－3 eq \(PA,\s\up6(→)) ，则点P的坐标为________．
【解析】设P(x，y)，因为 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝－3 eq \(PA,\s\up6(→)) ，
所以(x，y)＝－3(4－x，－2－y)，
(x，y)＝(－12＋3x，6＋3y)，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－12＋3x，,y＝6＋3y，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝－3，)) 所以P(6，－3).
答案：(6，－3)
题11．已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3). eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(CD,\s\up6(→)) 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
【解析】 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，
eq \(CD,\s\up6(→)) ＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)，
因为(－2)×(－6)－3×4＝0，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(CD,\s\up6(→)) 共线．
又 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(AB,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(CD,\s\up6(→)) 方向相反．
综上， eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(CD,\s\up6(→)) 共线且方向相反．
【综合突破拔高】
题12．在△ABC中，点P在BC上，且 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PC,\s\up6(→)) ，点Q是AC的中点，若 eq \(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，3)) ， eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，5)) ，则 eq \(BC,\s\up6(→)) 等于( )
A．(－2，7) B．(－6，21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
【解析】选B.因为点Q是AC的中点，
所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PA,\s\up6(→))＋\(PC,\s\up6(→)))) ，所以 eq \(PC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PQ,\s\up6(→)) － eq \(PA,\s\up6(→)) ，
因为 eq \(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，3)) ， eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，5)) ，
所以 eq \(PC,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，7)) ，又 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PC,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝3 eq \(PC,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，21)) .
题13．已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，正确的个数是( )
①存在实数x，使a∥b；
②存在实数x，使(a＋b)∥a；
③存在实数x，m，使(m a＋b)∥a；
④存在实数x，m，使(m a＋b)∥b.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选B.由a∥b得x2＝－9，无实数解，①不对；又a＋b＝(x－3，3＋x)，由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，②不对；
因为m a＋b＝(mx－3，3m＋x)，
而(m a＋b)∥a，所以(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，即x2＝－9，无实数解，③不对；由(m a＋b)∥b得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，④正确，综上，正确的个数为1.
题14．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，E为BF的中点，则 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝( )
A. eq \f(4,5) a＋ eq \f(2,5) b B． eq \f(2,5) a＋ eq \f(4,5) b
C． eq \f(4,3) a＋ eq \f(2,3) b D． eq \f(2,3) a＋ eq \f(4,3) b
【解题指南】建立平面直角坐标系．不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x.利用勾股定理可得x，通过Rt△ABE的边角关系，可得E的坐标，设 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝m eq \(AB,\s\up6(→)) ＋n eq \(AD,\s\up6(→)) ，通过坐标运算性质即可得出．
【解析】选A.如图所示，建立平面直角坐标系．
不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x.
所以x2＋4x2＝1，解得x＝ eq \f(\r(5),5) .
设∠BAE＝θ，则sin θ＝ eq \f(\r(5),5) ，cs θ＝ eq \f(2\r(5),5) .
所以xE＝ eq \f(2\r(5),5) cs θ＝ eq \f(4,5) ，yE＝ eq \f(2\r(5),5) sin θ＝ eq \f(2,5) .
设 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝m eq \(AB,\s\up6(→)) ＋n eq \(AD,\s\up6(→)) ，
则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(2,5))) ＝m(1，0)＋n(0，1).
所以m＝ eq \f(4,5) ，n＝ eq \f(2,5) .所以 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(4,5) a＋ eq \f(2,5) b.
题15．(多选)下列向量中，与向量c＝(2，3)共线的向量有( )
A．(3，2) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
【解析】选BCD.由向量平行的坐标表示，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥bx1y2－x2y1＝0可知，只有选项A与已知向量不共线．
题16．已知三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n，0)(mn≠0)，若A，B，C三点共线，则 eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) 的值为________；若 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则m，n满足______．
【解析】因为A，B，C三点共线，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ∥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，
因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，m＋2)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(n＋2，2)，
所以4－(m＋2)(n＋2)＝0，
所以mn＋2m＋2n＝0，因为mn≠0，
所以 eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) ＝－ eq \f(1,2) .
因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，
所以2(n＋2)＋2(m＋2)＝0，所以m＋n＋4＝0.
答案：－ eq \f(1,2) m＋n＋4＝0
题17．已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋λ eq \(AC,\s\up6(→)) (λ∈R)，且点P在第一、三象限的角平分线上，则λ＝________．
【解析】因为 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋λ eq \(AC,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋λ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋λ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(5，4)＋λ(5，7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，
由题意，可知5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝ eq \f(1,2) .
答案： eq \f(1,2)
题18．已知点O(0，0)，A(1，3)，B(4，5)及 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋t eq \(AB,\s\up6(→)) .
(1)t为何值时，P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应t的值；若不能，请说明理由．
【解析】(1)易知 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(3，2)，从而 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝(1＋3t，3＋2t).于是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋3t＜0，,3＋2t＞0，)) 得－ eq \f(3,2) ＜t＜－ eq \f(1,3) .
(2)若四边形OABP能成为平行四边形，则有 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ，从而 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋3t＝3，,3＋2t＝2，)) 这是不可能的．
所以四边形OABP不能成为平行四边形．
【学科素养培优】
题19．如图，在△ABC中， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ， eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(BD,\s\up6(→)) ，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝
λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则 eq \f(λ,μ) ＝( )
A．－3 B．3 C．2 D．－2
【解析】选B.因为 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→)))) .
又因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→)))) ＝ eq \f(2,9) eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,9) eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))
＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,9) eq \(AC,\s\up6(→)) ，
又 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AC,\s\up6(→)) 且 eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(AC,\s\up6(→)) 不共线，
所以λ＝ eq \f(2,3) ，μ＝ eq \f(2,9) .则 eq \f(λ,μ) ＝3.
题20．如图，以e1，e2为基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为( )
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
【解析】选A.因为e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3).
题21．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6 C．6 D．12
【解析】选D.2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
题22．已知向量a＝(2，2)，b＝(x，4)，若(3a＋4b)∥(5b－a)，则x＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】选C.由向量a＝(2，2)，b＝(x，4)，
所以3a＋4b＝(6＋4x，22)，5b－a＝(5x－2，18)；
又(3a＋4b)∥(5b－a)，
所以18(6＋4x)－22(5x－2)＝0，解得x＝4.
题23．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC＝4，点D沿A→C→B运动，则 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) 的最小值是( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【解析】选A.方法一：在△ABC中∠C＝90°，AB＝2AC＝4，可得BC＝2 eq \r(3) ，当点D在AC上运动时，
设 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AC,\s\up6(→)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤λ≤1)) ，
则 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－1)) eq \(AC,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))＋\(CD,\s\up6(→)))) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) ，
又因为∠C＝90°，所以AD⊥BC，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝0，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(CD,\s\up6(→)) ＝λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－1)) eq \(AC,\s\up6(→)) 2＝
4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2))) 2－1，当λ＝ eq \f(1,2) 时， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) 取得最小值－1.
当点D在BC上运动时，
设 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤λ≤1)) ，则 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－1)) eq \(BC,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))＋\(CD,\s\up6(→)))) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ，又因为∠C＝90°，
所以AC⊥BD，所以 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝0，所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(CD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－1)) eq \(BC,\s\up6(→)) 2＝12 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2))) 2－3，
当λ＝ eq \f(1,2) 时， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) 取得最小值－3，
综上可得， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) 的最小值是－3.
方法二：如图建立坐标系，则A(0，－2)，B(2 eq \r(3) ，0)，
设D(x，y)，若D在AC上运动，则D(0，y)(－2≤y≤0)， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(0，y＋2)， eq \(BD,\s\up6(→)) ＝(－2 eq \r(3) ，y)，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝y(y＋2)＝y2＋2y＝(y＋1)2－1，
当y＝－1时，取最小值－1；
若D在CB上运动，则D(x，0)(0≤x≤2 eq \r(3) )，
eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(x，2)， eq \(BD,\s\up6(→)) ＝(x－2 eq \r(3) ，0)，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ＝x(x－2 eq \r(3) )＝x2－2 eq \r(3) x＝(x－ eq \r(3) )2－3，
当x＝ eq \r(3) 时，取最小值－3.
综上知， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) 的最小值为－3.
题24．已知平面向量a，b满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) ＝1，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3a－2b)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) 的最大值为( )
A．4 B．2 eq \r(5)
C．3＋2 eq \r(5) D．6
【解析】选B.因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) ＝1，
设a，b的夹角为θ，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) 2＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) 2＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) 2－2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) cs θ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) 2＝1，
则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝2cs θ，
令t＝cs θ，t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，1)) ，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝2t，
则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3a－2b)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a－2b))2)
＝ eq \r(9\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))2－12\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))t＋4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))2)
＝ eq \r(9－24t2＋16t2) ＝ eq \r(9－8t2) ，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2) ＝ eq \r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))2＋2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))t＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))2)
＝ eq \r(1＋4t2＋4t2) ＝ eq \r(1＋8t2) ，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3a－2b)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) ＝ eq \r(9－8t2) ＋ eq \r(1＋8t2) ，利用基本不等式知 eq \f(a＋b,2) ≤ eq \r(\f(a2＋b2,2)) a＋b≤ eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋b2))) ，则 eq \r(9－8t2) ＋ eq \r(1＋8t2) ≤ eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－8t2＋1＋8t2))) ＝2 eq \r(5) ，
当且仅当 eq \r(9－8t2) ＝ eq \r(1＋8t2) 时取等号，此时t＝± eq \f(\r(2),2) .则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3a－2b)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) 的最大值为2 eq \r(5) .
题25．(多选)在△ABC中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，3)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为( )
A．－ eq \f(2,3) B． eq \f(11,3)
C． eq \f(3±\r(13),2) D． eq \f(2,3)
【解析】选ABC.因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，3)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(1，k)，
所以 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－1，k－3).
若A＝90°，则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝2×1＋3×k＝0，
所以k＝－ eq \f(2,3) ；
若B＝90°，则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
所以k＝ eq \f(11,3) ；
若C＝90°，则 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
所以k＝ eq \f(3±\r(13),2) .
故所求k的值为－ eq \f(2,3) 或 eq \f(11,3) 或 eq \f(3±\r(13),2) .
题26．(多选)若角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则 eq \(OP,\s\up6(→)) 与 eq \(OQ,\s\up6(→)) 夹角的余弦值可能为( )
A． eq \f(－2\r(5),5) B． eq \f(11\r(5),25)
C．－ eq \f(\r(5),5) D． eq \f(\r(5),5)
【解析】选CD.因为tan α＝－2，
所以可设P(x，－2x)，
cs 〈 eq \(OP,\s\up6(→)) ， eq \(OQ,\s\up6(→)) 〉＝ eq \f(\(OP,\s\up6(→))·\(OQ,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|·|\(OQ,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(5x,5\r(5)|x|) ，
当x>0时，cs 〈 eq \(OP,\s\up6(→)) ， eq \(OQ,\s\up6(→)) 〉＝ eq \f(\r(5),5) ；
当x<0时，cs 〈 eq \(OP,\s\up6(→)) ， eq \(OQ,\s\up6(→)) 〉＝－ eq \f(\r(5),5) .
题27．(多选)如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ≠\f(π,2))) 角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝xe1＋ye2，则把有序数对 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y)) 叫作向量 eq \(OM,\s\up6(→)) 的仿射坐标，记为 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y)) .在θ＝ eq \f(2π,3) 的仿射坐标系中，a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－1)) .则下列结论中，正确的是( )
A．a－b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3)) B． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝ eq \r(5)
C．a⊥b D． eq \f(a·b,|b|) ＝－ eq \f(3\r(7),14)
【解析】选AD.a－b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e1＋2e2)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2e1－e2))
＝－e1＋3e2，则a－b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3)) ，故A正确；
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e1＋2e2))2) ＝ eq \r(e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋4e1e2＋4e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )
＝ eq \r(5＋4cs \f(2π,3)) ＝ eq \r(3) ，故B错误；
a·b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e1＋2e2)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2e1－e2)) ＝2e12＋3e1·e2－2e22＝－ eq \f(3,2) ，故C错误；
由于 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2e1－e2))2) ＝ eq \r(4e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －4e1e2＋e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )
＝ eq \r(7) ，故 eq \f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))) ＝ eq \f(－\f(3,2),\r(7)) ＝－ eq \f(3\r(7),14) ，故D正确．
题28．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________．
【解析】λa＋b＝(λ＋2，2λ＋3)，
所以－4(2λ＋3)＝－7(λ＋2).
所以－8λ－12＝－7λ－14，所以λ＝2.
答案：2
题29．已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3)) ，若存在向量c，使得a·c＝6，b·c＝4，则2c－a＝________．
【解析】设c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y)) ，
因为a·c＝6，b·c＝4，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝6,－x＋3y＝4)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝2)) ，
所以c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2)) ，
则2c－a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3)) .
答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3))
题30．如图，在△ABC中， eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(NC,\s\up6(→)) .若 eq \(AN,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则λ的值为________，P是BN上的一点，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋m eq \(AC,\s\up6(→)) ，则m的值为________．
【解析】如图在△ABC中， eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(NC,\s\up6(→)) .
所以 eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→)) ，故λ＝ eq \f(1,4) .
由于点B，P，N三点共线．所以 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝t eq \(PN,\s\up6(→)) ，
则 eq \(AP,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝t eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AN,\s\up6(→))－\(AP,\s\up6(→)))) ，整理得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋t)) eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(t,4) eq \(AC,\s\up6(→)) ，故 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,1＋t) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(t,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋t))) eq \(AC,\s\up6(→)) ，所以 eq \f(1,1＋t) ＝ eq \f(1,3) ，解得t＝2.故m＝ eq \f(2,4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2))) ＝ eq \f(1,6) .
答案： eq \f(1,4) eq \f(1,6)
题31．已知平面非零向量a，b的夹角是 eq \f(2,3) π.
(1)若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝1， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋2b)) ＝ eq \r(7) ，求 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ；
(2)若a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\r(3))) ，求t的值，并求与a－b共线的单位向量e的坐标．
【解析】(1)向量a，b的夹角是 eq \f(2,3) π，
由 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋2b)) ＝ eq \r(7) ，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2b)) 2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a)) 2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2b)) 2＋4a·b＝1＋4 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) 2＋4 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) cs eq \f(2π,3) ＝7，
解得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝ eq \f(3,2) ， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝－1舍去，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝ eq \f(3,2) .
(2)a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\r(3))) ，
由向量a，b的夹角是 eq \f(2,3) π
得cs eq \f(2,3) π＝ eq \f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))×\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))) ＝ eq \f(2t,2×\r(t2＋3)) ＝－ eq \f(1,2) ，解得t＝－1，t＝1舍去，
因为a－b＝(2－t，－ eq \r(3) )＝(3，－ eq \r(3) )，
设单位向量e＝(x，y)，
所以x2＋y2＝1，又e与a－b共线，
所以3y＝－ eq \r(3) x，
求得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(\r(3),2),y＝\f(1,2))) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),2),y＝－\f(1,2))) ，
所以e＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) 或e＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2))) .
题32．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)，b＝(－3，k)，c＝(－2，4).
(1)若(m a＋c)∥(2a－c)，求m；
(2)若a⊥(a＋b)，c＝λa＋μb，求λ＋μ.
【解析】(1)m a＋c＝(m－2，2m＋4)，2a－c＝(4，0)，
因为(m a＋c)∥(2a－c)，
所以2m＋4＝0，解得m＝－2；
(2)a＋b＝(－2，k＋2)，且a⊥(a＋b)，
所以a·(a＋b)＝－2＋2(k＋2)＝0，
解得k＝－1，
所以c＝λa＋μb＝(λ－3μ，2λ－μ)＝(－2，4)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ－3μ＝－2,2λ－μ＝4)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(14,5),μ＝\f(8,5))) ，
所以λ＋μ＝ eq \f(22,5) .
题33．如图所示，在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up6(→)) ，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
【解析】因为 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(OA,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) (0，5)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4))) ，
所以C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4))) .
因为 eq \(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) (4，3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2))) ，
所以D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2))) .
设M(x，y)，则 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝(x，y－5)，
eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－0，\f(3,2)－5)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(7,2))) .
因为 eq \(AM,\s\up6(→)) ∥ eq \(AD,\s\up6(→)) ，
所以－ eq \f(7,2) x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20①.
又 eq \(CM,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y－\f(5,4))) ， eq \(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(7,4))) ，
因为 eq \(CM,\s\up6(→)) ∥ eq \(CB,\s\up6(→)) ，
所以 eq \f(7,4) x－4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(5,4))) ＝0，
即7x－16y＝－20②，
联立①②解得x＝ eq \f(12,7) ，y＝2，
故点M的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,7)，2)) .
题34．已知a＝(1，1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋2b垂直；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
【解析】因为a＝(1，1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1，1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，
a＋2b＝(1，1)＋(0，－4)＝(1，－3)，
a＋b＝(1，1)＋(0，－2)＝(1，－1).
(1)因为ka－b与a＋2b垂直，
所以k－3k－6＝0，
所以k＝－3，
即当k＝－3时，ka－b与a＋2b垂直．
(2)因为|ka－b|＝ eq \r(k2＋（k＋2）2) ，
|a＋b|＝ eq \r(12＋（－1）2) ＝ eq \r(2) ，
(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)
＝k－k－2＝－2，
因为ka－b与a＋b的夹角为120°，
所以cs 120°＝ eq \f(（ka－b）·（a＋b）,|ka－b||a＋b|) ，
即－ eq \f(1,2) ＝ eq \f(－2,\r(2)·\r(k2＋（k＋2）2)) ，
化简整理，得k2＋2k－2＝0，
解得k＝－1± eq \r(3) .
即当k＝－1± eq \r(3) 时，ka－b与a＋b的夹角为120°.
条件
a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2)) ，其中b≠0
结论
向量a，b(b≠0)平行的充要条件是___________.
条件
a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2)) ，其中b≠0
结论
向量a，b(b≠0)平行的充要条件是x1y2－x2y1＝0
相关学案
苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算第一课时学案设计： 这是一份苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算第一课时学案设计，共12页。学案主要包含了课前小题演练，当堂巩固训练，综合突破拔高等内容，欢迎下载使用。
高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用学案设计： 这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用学案设计，共16页。学案主要包含了课前小题演练，当堂巩固训练，综合突破拔高等内容，欢迎下载使用。
高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案及答案： 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案及答案，文件包含632平面向量的正交分解及坐标表示解析版docx、632平面向量的正交分解及坐标表示原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共18页， 欢迎下载使用。
