数学苏教版 (2019)13.2 基本图形位置关系背景图课件ppt

课后素养落实(三十二)　两平面平行

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列命题中正确的是(　　)

A．平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β

B．α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β

C．平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β

D．平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β

C　[由面面平行的定义、性质得C正确．]

2．若平面α∥平面β，且α，β间的距离为d，则在平面β内，下列说法正确的是(　　)

①有且只有一条直线与平面α的距离为d；

②所有直线与平面α的距离都等于d；

③有无数条直线与平面α的距离等于d；

④所有直线与平面α的距离都不等于d．

A．①③  B．②③  C．②④  D．①④

B　[由两平行平面间的距离可知，②③正确．]

3．已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角为60°，则α与β之间的距离为(　　)

A．2  B．3  C．2  D．3

D　[过B作BC⊥α于C(图略)，则∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin 60°＝3．]

4．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为(　　)

A．2 　  B．3  C．4　  D．5

C　[取CD的中点H，连接EH，FH(图略)．在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交．]

5．已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，＝，则AC＝(　　)

A．12 　  B．15  C．18　  D．21

B　[∵α∥β∥γ，∴＝．

由＝，得＝，即＝，而AB＝6，

∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15．]

二、填空题

6．如图，AE⊥平面α，垂足为E，BF⊥α，垂足为F，l⊂α，C，D∈α ，AC⊥l，则当BD与l________时，平面ACE∥平面BFD．

垂直　[l⊥平面ACE，故需l⊥平面BFD．]

7．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．

M∈线段FH　[∵HN∥BD，HF∥DD1，

HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，

故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1．]

8．平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为________．

　[设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1．

∵平面α∥平面CB1D1，

∴m1∥m．

又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

∴B1D1∥m1，

∴B1D1∥m．

∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n．

因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，

故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为．]

三、解答题

9．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．

(1)求证：平面MNG∥平面ACD；

(2)求S△MNG∶S△ACD．

[解]　(1)证明：连接BM，BN，BG并延长交AC，AD，CD分别于点P，F，H．

∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，

∴＝＝＝2．

连接PF，FH，PH，有MN∥PF．

又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD．

∴MN∥平面ACD．

同理MG∥平面ACD．又MG∩MN＝M，

∴平面MNG∥平面ACD．

(2)由(1)可知＝＝，∴MG＝PH．

又PH＝AD，∴MG＝AD．

同理NG＝AC，MN＝CD．

∴△GNM∽△ACD，其相似比为1∶3．

∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．

10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？

[解]　如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M．

假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，

所以BQ∥D1M∥AP．因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．

11．(多选题)下列命题中，正确的命题是(　　)

A．平行于同一直线的两个平面平行

B．平行于同一平面的两个平面平行

C．平行于同一平面的两直线关系不确定

D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面

BCD　[如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥平面ADD1A1，BB1∥平面DCC1D1，而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1．故A错误．]

12．(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　)

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

CD　[对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．

若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β．

所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；

对于选项B，存在一条直线a，a⊂α，a∥β，则α∥β或α与β相交．

若α∥β，则存在一条直线a，a⊂α，a∥β．

所以选项B的内容是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；

对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，

故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；

对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面γ中，

成为相交直线，由面面平行的判定定理可知γ∥α，γ∥β，则α∥β，

所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．]

13．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，D两点，且PA＝6，PD＝8，AC＝9，则BD的长为________．

或24　[∵α∥β，所以AB∥CD，若P在α，β的同侧，则PC＝PA＋AC＝15，因为＝，所以PB＝，

所以BD＝PD－PB＝；

若点P在α，β的之间，则PC＝AC－PA＝3，

因为＝，所以PB＝16，所以BD＝PB＋PD＝24，

综上BD＝或BD＝24．]

14．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为A1D1的中点，点F在C1D1上，点H在DD1上．若EF∥平面AB1C，则EF＝________；当DH∶DD1＝________时，平面EFH∥平面AB1C．

2　1∶2　[设平面AB1C∩平面A1C1＝m．

因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面A1C1，平面AB1C∩平面A1C1＝m，所以EF∥m．因为平面A1C1∥平面AC，平面AB1C∩平面A1C1＝m，平面AB1C∩平面AC＝AC，所以m∥AC，所以EF∥AC．连接A1C1(图略)．因为A1C1∥AC，所以EF∥A1C1．又E为A1D1的中点，所以EF＝A1C1＝2．当H为DD1的中点，即DH∶DD1＝1∶2时，由平面与平面平行的判定定理，可得平面EFH∥平面AB1C．]

15．如图，已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝AA1＝1，点D为B1C1的中点，点E，F，G分别在线段AB，AC，AD上，且BE＝CF＝AG．

(1)求证：EF∥平面BCC1B1．

(2)是否存在满足题意的点E，F，G，使得平面EFG∥平面BCC1B1？若存在，说明理由并求出此时线段EF的长度；若不存在，说明原因．

[解]　(1)证明：∵BE＝CF，AB＝AC，

∴AE＝AF，

∴AE∶EB＝AF∶FC．

∵点A，B，C，E，F共面，∴EF∥BC．

又∵BC⊂平面BCC1B1，且EF⊄平面BCC1B1．

∴EF∥平面BCC1B1．

(2)存在满足题意的点E，F，G，使得平面EFG∥平面BCC1B1．理由如下：

连接CD，A1D(图略)．

∵平面EFG∥平面BCC1B1，平面ACD∩平面BCC1B1＝CD，∴GF∥CD．

反之，若GF∥CD，结合(1)得EF∥BC．

又∵EF∩GF＝F，BC∩CD＝C，

∴平面EFG∥平面BCC1B1．

平面EFG∥平面BCC1B1等价于GF∥CD，

GF∥CD等价于＝．

由题意知BC＝AB＝，A1D＝A1C1＝AC＝，

C1D＝＝，AD＝＝．

设BE＝CF＝AG＝x(0≤x≤1)，

则＝＝，＝，

∴＝，解得x＝5－2∈[0,1]，

故存在满足题意的点E，F，G，使得平面EFG∥平面BCC1B1．

此时，＝＝＝2－4，

∴EF＝BC·(2－4)＝2－4．