高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念教课课件ppt

5.2.2　同角三角函数的基本关系

学习目标　1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．

导语

“一支竹篙啊，难渡汪洋海，众人划桨哟，开动大帆船，一棵小树呀，弱不禁风雨，百里森林哟，并肩耐岁寒，耐岁寒，一加十，十加百，百加千千万，你加我，我加你，大家心相连，同舟共济海让路，号子嘛一喊浪靠边，百舸嘛争流千帆进，波涛在后岸在前……”伴随着一首经典老歌，让我们感触很深，歌词中每一句都流露出了“团结就是力量，团结就是胜利”，就像是我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系，比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间到底有什么样的联系呢，让我们一起去发现．

一、利用同角三角函数的关系求值

问题1　观察下表，你能发现什么？

提示　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1.

问题2　若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？

提示　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1.

知识梳理

同角三角函数的基本关系

平方关系：sin2α＋cos2α＝1；

商数关系：＝tan α.

这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．

注意点：

(1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立．

(2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．

(3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2.

例1　(教材183页例6改编)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

解　∵cos α＝－<0，

∴α是第二或第三象限角．

当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，

∴sin α＝＝＝，

tan α＝＝－；

当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，

∴sin α＝－＝－＝－，

tan α＝＝.

反思感悟　已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法

(1)若已知sin α＝m，先求cos α＝±，再由公式tan α＝求tan α.

(2)若已知cos α＝m，先求sin α＝±，再由公式tan α＝求tan α.

(3)若已知tan α＝m，则tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，通过方程组求解．

(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数值的符号．

跟踪训练1　已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．

解　∵sin α＋3cos α＝0，

∴sin α＝－3cos α.

又sin2α＋cos2α＝1，

∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，

即10cos2α＝1，

∴cos α＝±.

又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，

∴角α的终边在第二或第四象限．

当角α的终边在第二象限时，

cos α＝－，sin α＝；

当角α的终边在第四象限时，

cos α＝，sin α＝－.

二、利用同角三角函数的关系化简

问题3　你能发现同角三角函数的哪些变形形式？

提示　sin2α＋cos2α＝1⇒

tan α＝⇒

利用上述变换我们可以对三角函数式进行化简，也就是代数式的恒等变换，要使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的尽量求值．

例2　化简：

(1)－；

(2)；

(3)sin2αtan α＋＋2sin αcos α.

解　(1)原式＝

＝＝＝－2tan2α.

(2)原式＝

＝＝1.

(3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α

＝＝

＝.

反思感悟　三角函数式的化简技巧

(1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．

(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．

跟踪训练2　化简：＋(1＋tan2α)cos2α.

解　原式＝＋cos2α

＝＋·cos2α

＝1＋1＝2.

三、一般恒等式的证明

例3　求证：＝.

证明　方法一　左边＝

＝＝＝＝右边．

所以原等式成立．

方法二　右边＝＝

＝

＝＝左边．

所以原等式成立．

反思感悟　证明三角恒等式常用的方法

(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．

(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．

(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．

(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等．

(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．

注意点：

(1)证明三角恒等式的实质：清楚等式两端的差异，有目的地化简．

(2)基本原则：由繁到简．

(3)常用方法：从左向右证，从右向左证，左右同时证．

跟踪训练3　求证：＝.

证明　左边＝＝

＝＝＝＝右边．

所以原等式成立．

1．知识清单：

(1)同角三角函数的基本关系．

(2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明．

2．方法归纳：由部分到整体、整体代换法．

3．常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论．

1．已知锐角α满足sin α＝，则tan α等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　D

解析　∵锐角α满足sin α＝，

∴cos α＝＝＝，

∴tan α＝＝.

2．已知tan α＝，α∈，则cos α的值是(　　)

A．±  B.  C．－  D.

答案　C

解析　由tan α＝，可得＝，

又sin2α＋cos2α＝1，可得cos2α＋cos2α＝1，

解得cos2α＝，

因为α∈，所以cos α＝－.

3．已知f(x)＝－，x∈，则f 等于(　　)

A．2  B．－4  C．0  D.

答案　A

解析　f(x)＝－＝

－

＝－＝－＝－，

因为x∈，所以f(x)＝－＝－2tan x，

则f ＝－2tan ＝－2×(－)＝2.

4．已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为        ．

答案　－

解析　由tan α＝－，

得sin α＝－cos α，

将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，

所以cos2α＝，易知cos α<0，

所以cos α＝－，sin α＝，

故sin α＋cos α＝－.

1．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　B

解析　由条件知α是第四象限角，所以sin α<0，即sin α＝－＝－

＝－.

2．若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α的值等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　C

解析　因为sin α＝－，且α为第三象限角，

所以cos α＝－，所以tan α＝.

3．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)

A.  B.  C．1  D.

答案　C

解析　原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)

＝sin2α＋cos2α＝1.

4．已知α为第二象限角，则＋等于(　　)

A．3  B．－3  C．1  D．－1

答案　C

解析　由题意，得＋＝＋，

因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，

所以＋＝＋＝2－1＝1.

5．若＝－，则的值是(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　D

解析　由sin2α＋cos2α＝1，得1－cos2α＝sin2α，

∴＝

＝＝.

∵＝－，∴＝－，

即＝－.

6．(多选)＋的值可能为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　BD

解析　令f(x)＝＋＝＋，

当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，则f(x)＝2＋1＝3，

当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，则f(x)＝2－1＝1，

当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，则f(x)＝－2－1＝－3，

当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，则f(x)＝－2＋1＝－1.

7．化简(1＋tan215°)·cos215°＝        .

答案　1

解析　(1＋tan215°)·cos215°＝·cos215°＝·cos215°＝1.

8．设a>0且a≠1，若loga(sin x－cos x)＝0，则sin8x＋cos8x＝        .

答案　1

解析　因为a>0且a≠1，若loga(sin x－cos x)＝0，

则sin x－cos x＝a0＝1，

所以(sin x－cos x)2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝1，

又sin2x＋cos2x＝1，所以sin xcos x＝0，

又由(sin2x＋cos2x)2＝sin4x＋cos4x＋2sin2x·cos2x＝1，

得sin4x＋cos4x＝1，

所以sin8x＋cos8x＝(sin4x＋cos4x)2－2sin4x·cos4x＝(sin4x＋cos4x)2＝1.

9．已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

解　∵cos α＝－<0，

∴α是第二或第三象限角．

当α是第二象限角时，则

sin α＝＝＝，

tan α＝＝＝－；

当α是第三象限角时，则

sin α＝－＝－，tan α＝.

10．(1)化简：tan α(其中α为第二象限角)；

(2)求证：·＝1.

(1)解　因为α是第二象限角，

所以sin α>0，cos α<0.

tan α

＝tan α

＝tan α

＝·＝·＝－1.

(2)证明　·

＝·

＝·

＝＝＝1.

11．若tan α＝m，α是第二象限角，则cos α等于(　　)

A．－   B.

C．－   D.

答案　A

解析　∵α是第二象限角，且tan α＝m，

∴m<0，sin α>0，cos α<0，mcos α＝sin α，

代入平方关系得到m2cos2α＋cos2α＝1，

∴cos2α＝，

∴cos α＝－.

12．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)，则cos α等于(　　)

A.   B．－

C.   D．－

答案　A

解析　由三角函数定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2(1－cos2α)，解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)．

13．若α∈，则＋的最小值是(　　)

A．16  B．17  C．18  D．19

答案　A

解析　∵sin2α＋cos2α＝1，∴(sin2α＋cos2α)＝10＋＋≥10＋2＝16，

∵α∈，当且仅当sin α＝cos α时，等号成立，

∴＋的最小值是16.

14．关于x的方程2x2＋(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，则＋＝         .

答案　－

解析　因为方程2x2＋(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，

所以sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，所以＋

＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝－.

15．若sin θ＝，cos θ＝，θ∈，则实数m＝        .

答案　8

解析　∵θ∈，∴sin θ>0，cos θ<0，

由题意可得

即

解得m＝8.

16．(1)分别计算sin4－cos4和sin2－cos2的值，你有什么发现？

(2)任取一个α的值，分别计算sin4α－cos4α，sin2α－cos2α，你又有什么发现？

(3)证明：∀x∈R，sin2x－cos2x＝sin4x－cos4x.

(1)解　sin4－cos4＝，sin2－cos2＝，

所以sin4－cos4＝sin2－cos2.

(2)解　不妨取α＝.则有sin4α－cos4α＝1；sin2α－cos2α＝1.所以当α取时，sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α.

(3)证明　对于任意实数x，都有sin2x－cos2x＝(sin2x－cos2x)·(sin2x＋cos2x)＝sin4x－cos4x.