人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制教案配套课件ppt

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5.1.2　弧度制
第五章　§5.1　任意角和弧度制
学习目标
1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化.
2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.
导语
同学们，本节课题目中有弧度二字，大家想到了什么？我们是否想到足球射门的弧度、篮球投篮的弧度，我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因为有弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵.而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变.
内容索引
弧度制的概念

一
问题1　我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？
提示　不能，比如30°2′11′′，这种表示不能与实数建立一一对应的关系，也不利于三角函数的求值.为了能把角和实数建立联系，经过几千年的发展、探究和讨论，人们在衡量角度上达成共识，形成了今天的弧度制.
3.一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .
1.弧度制我们规定：长度等于 长的 所对的圆心角叫做1弧度的角.2.弧度数的计算
知识梳理
负数
半径
圆弧
正数
0
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.
注意点：
下列各命题中，真命题是A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧B.1弧度是长度等于半径的弧C.1弧度是1°的弧与1°的角之和D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小
√
根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.
(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的；(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.
反思感悟
下列说法正确的是A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D.用弧度表示的角都是正角
√
对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误.
角度制与弧度制的相互转化

二
提示　因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系.
角度与弧度的互化
知识梳理
2π
360°
π
180°
(1)弧度单位rad可以省略.(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用.
注意点：
把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；
(2)－300°；
(3)2；
反思感悟
利用弧度表示角

三
将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
所以－1 125°是第四象限角.
延伸探究　若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合.
知k＝－2，－1,0,1，
反思感悟
用弧度制表示终边相同的角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.(2)注意角度制与弧度制不能混用.
√
结合图象，设终边落在阴影部分(包括边界)的角是α，满足条件的角的集合是
(2)终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合为(用弧度制表示)________________________________.
弧度制下的扇形的弧长与面积公式

四
问题3　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？
(2)扇形的面积公式：S＝______＝______.
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝ .
知识梳理
αR
已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.
设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，
整理得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8(rad)>2π rad，舍去.
延伸探究　已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，
反思感悟
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.
已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积.
半径r＝10 cm，
课堂小结
1.知识清单： (1)弧度制的概念. (2)弧度制与角度制的相互转化. (3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系. (4)扇形的弧长与面积的计算.2.方法归纳：由特殊到一般、数学运算.3.常见误区：弧度与角度混用.
随堂演练

1.(多选)下列说法中，正确的是A.半圆所对的圆心角是π radB.周角的大小等于2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
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根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误.
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2.若α＝－2 rad，则α的终边在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
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时针经过一小时，转过－30°，
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4.周长为9，圆心角为1 rad的扇形的面积为_____.
设扇形的半径为r，弧长为l，
课时对点练

C.1 rad的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
1.下列命题中，假命题是A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
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根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题.
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
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当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).
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6.(多选)下列表示中正确的是A.终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
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A，B显然正确；
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7.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为_____.
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∴R＝1，
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8.亲爱的考生，本场考试需要2个小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为________.
9.已知角α＝1 200°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
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所以角α是第二象限角.
(2)在区间[－4π，0]上找出与角α终边相同的角.
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因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1.
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10.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝10 m，OB＝x(0＜x＜10)，线段BA，CD，与弧BC，弧AD的长度之和为30 m，设圆心角为θ弧度.
(1)求θ关于x的函数解析式；
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(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
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11.如图所示的复古时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为
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因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.
13.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是
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14.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为_____.
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15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ (弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为 ，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是_____ m2(精确到1 m2).
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矢＝4－2＝2(m)，
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16.已知扇形的圆心角为α，半径为r.(1)若扇形的周长是定值C(C>0)，求扇形的最大面积及此时α的值；
由题意，可得2r＋αr＝C，即αr＝C－2r，
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(2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的最小周长及此时α的值.