高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质多媒体教学ppt课件

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5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
第五章　§5.4　三角函数的图象与性质
学习目标
1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.
2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.
导语
同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数无形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数.
内容索引
正弦函数、余弦函数图象的初步认识

一
问题1　结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？
提示　先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质.
问题2　绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0,2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)?
提示　在[0,2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0).
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
问题3　我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝ sin x，x∈[0,2π]的图象？你能想到什么方法？
提示　借助单位圆，在x轴上[0,2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象.
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
1.正弦函数的图象叫做正弦曲线.
知识梳理
2.余弦函数的图象叫做余弦曲线.
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
　　下列叙述正确的个数为①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围.A.0 B.1 C.2 D.3
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分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象(略)，由图象观察可知①，②，③均正确.
解决正弦、余弦函数图象的注意点：对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
反思感悟
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
　　　下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是A.都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到B.都是对称图形C.都与x轴有无数个交点D.y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
√
由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确.
“五点(画图)法”画函数的图象

二
问题4　如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的简图？
知识梳理
“五点(画图)法”
(0,0)
(π，0)
(2π，0)
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
　　用“五点法”作下列函数的图象：(1)y＝1－2sin x，x∈[0,2π]；
列表：
描点连线，画图如下.
列表：
描点连线，画图如下.
作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
反思感悟
　　　用“五点法”在同一坐标系下画出下列函数在[－π，π]上的图象：(1)y＝－sin x；(2)y＝2－cos x.
列表：
正弦函数、余弦函数图象的应用

三
　　不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]的解集为
√
在同一平面直角坐标系下，作出函数y＝sin x，
延伸探究　1.在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集.
反思感悟
利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤：(1)作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0,2π]上的图象.(2)确定在[0,2π]上sin x＝a(cos x＝a)的x值.(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集.(4)根据诱导公式一写出定义域内的解集.
　　　方程x2－cos x＝0的实数解的个数是___，所有的实数解的和为___.
2
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作出函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，两函数图象有两个交点，故方程实数解的个数是两个；两个交点关于y轴对称，故原方程有两个实数解，且两个实数解之和为0.
课堂小结
1.知识清单： (1)正弦函数、余弦函数的图象. (2)“五点法”作图. (3)函数图象的应用.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象.
随堂演练

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画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的简图，如图所示.
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4.函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________________.
课时对点练

1.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象A.重合 B.形状相同，位置不同C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同
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根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同.
2.利用“五点法”画y＝sin x－1，x∈[0,2π]的图象时，第三个点为
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3.函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是A.1 B.2 C.3 D.4
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将y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝1的函数图象绘制在同一直角坐标系上，如图所示，数形结合可知，只有1个交点.
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6.(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是
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在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，如图，
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设余弦函数为y＝cos x，
函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝sin x＋x的零点转化为y＝ex，y＝ln x，y＝sin x与y＝－x的图象的交点的横坐标，因为零点分别为a，b，c，在同一坐标系中画出y＝ex，y＝ln x，y＝sin x与y＝－x的图象如图，可知a＜0，b＞0，c＝0，满足a＜c＜b.
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8.已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝sin x＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为________.(用“＜”连接)
a＜c＜b
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
9.画出下列函数的简图：(1)y＝1－sin x，x∈[0,2π]；
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描点连线，画图如下.
(2)y＝3cos x＋1，x∈[0,2π].
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10.分别作出函数y＝|sin x|和y＝sin |x|，x∈[－2π,2π]的图象.
y＝|sin x|的图象为将y＝sin x在x轴下方的图象沿x轴翻折所得；y＝sin |x|的图象为y＝sin x在y轴右侧的图象不变，再将y轴右侧的图象沿y轴翻折所得.
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11.函数f(x)＝lg x与g(x)＝cos x的图象的交点个数为A.1 B.2 C.3 D.不确定
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在同一坐标系中，作出函数f(x)＝lg x与g(x)＝cos x的图象，如图所示，由图可知，两函数的交点个数为3.
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
12.关于函数f(x)＝1＋cos x，x∈ 的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况，下列说法正确的是A.当t<0或t≥2时，有0个交点B.当t＝0或 ≤t≤2时，有1个交点C.当0√
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根据图象，进行判断：对于A，当t＝2时，有1个交点，故A错误；
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13.已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f(x)cos x<0的解集是________________.
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15.函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________.
如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
4π
16.求方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0的解的个数.
由方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0，得sin x＋2|sin x|＝|log2x|.
g(x)＝|log2x|，在同一平面直角坐标系内，作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图象，如图所示，知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解.
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