2021学年5.4 三角函数的图象与性质图文课件ppt

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1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期.
2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.
同学们，在生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今日圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习.我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质.
正弦函数、余弦函数的周期
问题1　正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？
提示　能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律.我们可以从两个方面来验证这种特点：①函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出[0,2π]上的函数图象，然后每次向左(右)平移2π个单位长度得到整个定义域上的函数图象.②诱导公式一，sin(α＋2kπ)＝sin α，cs(α＋2kπ)＝cs α，对任意的k∈Z都成立.
1.函数的周期性一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数. ___________叫做这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3.正弦函数是 ，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是___.4.余弦函数是 ，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是___.
f(x＋T)＝f(x)
(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立.(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期.(3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可.(4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期.
求下列三角函数的周期：(1)y＝7sin x，x∈R；
因为7sin(x＋2π)＝7sin x，由周期函数的定义知，y＝7sin x的周期为2π.
(2)y＝sin 2x，x∈R；
因为sin 2(x＋π)＝sin(2x＋2π)＝sin 2x，由周期函数的定义知，y＝sin 2x的周期为π.
(4)y＝|cs x|，x∈R.
y＝|cs x|的图象如图(实线部分)所示.
由图象可知，y＝|cs x|的周期为π.
求三角函数周期的方法(1)定义法：利用周期函数的定义求解.
(3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可.
具体过程详见下页GeGebra动画演示.
求下列三角函数的最小正周期：(1)y＝|sin x|；
由y＝|sin x|，f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)，得f(x)＝|sin x|的最小正周期为π(或通过图象判断).
(2)y＝cs 4x；
正弦函数、余弦函数的奇偶性
问题2　继续回顾正弦函数、余弦函数的图象，你还能发现什么特点？
提示　正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称.
正弦函数是 ，余弦函数是 .
判断下列函数的奇偶性.
因为∀x∈R，都有－x∈R，
(2)f(x)＝|sin x|＋cs x；
函数f(x)＝|sin x|＋cs x的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cs(－x)＝|sin x|＋cs x＝f(x)，所以函数f(x)＝|sin x|＋cs x是偶函数.
因为∀x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sin x＝－f(x)，
判断函数奇偶性的方法(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系.(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则.
判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝sin xcs x；
函数的定义域为R，关于原点对称.∵f(－x)＝sin(－x)cs(－x)＝－sin xcs x＝－f(x)，∴f(x)＝sin xcs x为奇函数.
∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称.当cs x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x).
三角函数奇偶性与周期性的综合应用
问题3　知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？
提示　通过研究一个周期内的函数图象和性质，可推导出整个函数具有的性质.
三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解.(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acs ωx(A≠0，ω>0)其中的一个.
1.知识清单： (1)周期函数的概念，三角函数的周期. (2)三角函数的奇偶性. (3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用.2.方法归纳：定义法、公式法、数形结合.
1.函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数
由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.
y＝cs(－4x)＝cs 4x.
＝－cs 2x，x∈R，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
因为y＝4sin(2x－π)＝－4sin 2x是奇函数，所以其图象关于原点对称.
3.图象为如图的函数可能是A.y＝x·cs x B.y＝x·sin xC.y＝x·|cs x| D.y＝x·2x
根据图象可看到函数为奇函数，并且与x轴交点不止一个，而y＝x·sin x是偶函数，y＝x·2x非奇非偶，由此可排除B，D；当x＞0时，y＝x·|cs x|＞0，由此可排除C；故选A.
5.函数y＝f(x)＝xsin x的部分图象是
∵f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，∴函数是偶函数，排除B，D；当x取趋近于0的正数时，f(x)>0，故选A.
A中，由y＝|cs x|的图象知，y＝|cs x|是周期为π的偶函数，所以A正确；B中，函数为奇函数，所以B不正确；
令g(x)＝x3cs x，∴g(－x)＝(－x)3cs(－x)＝－x3cs x＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，又f(x)＝g(x)＋1，∴f(a)＝g(a)＋1＝11，g(a)＝10，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9.
7.设函数f(x)＝x3cs x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝______.
∵T＝π，且f(x)为偶函数，
f(x)的定义域为R，关于原点对称，
f(x)的定义域为R，关于原点对称，∵f(－x)＝cs(－x)－(－x)3sin(－x)＝cs x－x3sin x＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
(2)f(x)＝cs x－x3sin x.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
∴f(x)的周期为6，∴f(2 023)＝f(6×337＋1)
所以正整数ω的值为4或5.