人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制图片ppt课件

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1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.
2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.
3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.
同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如，我们一节课45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转了多少度？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问题，我们开始今天的新课.
问题1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？
提示　角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.
1.角的概念角可以看成一条 绕着它的端点 所成的 .2.角的表示
如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： ，终边： ，顶点： .
4.任意角我们把角的概念推广到了 ，包括 、 和 .5.相反角我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为 .
具体过程详见下页GeGebra动画演示.
若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为A.120° B.－120°C.－60° D.60°
由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，
正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样.
经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是A.60°，720° B.－60°，－720°C.－30°，－360° D.－60°，720°
问题2　现在，我们把角的概念推广到了任意角，如何更形象地表示一个角？
提示　我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限.(2)每一个象限都有正角和负角.(3)无法比较两个象限角的大小.
(多选)在①160°；②480°；③－960°；④1 530°下列四个角中，属于第二象限角的是A.160° B.480° C.－960° D.1 530°
A中，160°很显然是第二象限角；B中，480°＝120°＋360°是第二象限角；C中，－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；D中，1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.
(多选)下列叙述不正确的是A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.钝角是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大D.小于180°的角是钝角、直角或锐角
直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；由于零角和负角也小于180°，故D不正确.
问题3　给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？
提示　给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°.
终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；
因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，最小的正角为315°.
最大的负角为－45°.
(3)－360°～720°之间的角.
－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
终边相同的角的表示(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
若角2α与240°角的终边相同，则α等于A.120°＋k·360°，k∈ZB.120°＋k·180°，k∈ZC.240°＋k·360°，k∈ZD.240°＋k·180°，k∈Z
角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.
区域角以及终边在已知直线上的角的表示
已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.
终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.
(1)象限角的判定方法①根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.②将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的.
(2)表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α 已知，如图所示.(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}.
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是{α|210°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.
1.知识清单：(1)正角、负角、零角的概念.(2)终边相同的角的表示.(3)象限角、区域角的表示.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z.
1.“α是锐角”是“α是第一象限角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
因为α是锐角能推出α是第一象限角，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件.
2.2 022°是A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角
2 022°＝5×360°＋222°，所以2 022°角的终边与222°角的终边相同，为第三象限角.
3.与－460°角终边相同的角可以表示成A.460°＋k·360°，k∈Z B.100°＋k·360°，k∈ZC.260°＋k·360°，k∈Z D.－260°＋k·360°，k∈Z
因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.
4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_________________________________________.
{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}
观察图形可知，角α的集合是{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}.
1.如果角α的终边上有一点P(0，－3)，那么αA.是第三象限角 B.是第四象限角C.是第三或第四象限角 D.不是象限角
点P(0，－3)在y轴负半轴上，故α的终边为y轴的负半轴.
2.若α是第四象限角，则180°－α是A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角
可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.
3.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是A.80° B.－80° C.960° D.－960°
由于时针、分针都是顺时针旋转，∴时针走过2小时40分，分针转过的角度为－2×360°－240°＝－960°.
4.下面各组角中，终边相同的是A.390°，690° B.－330°，750°C.480°，－420° D.3 000°，－840°
因为－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，所以－330°与750°终边相同.
5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是A.{α|－45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}D.{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}.
6.(多选)下列四个角为第二象限角的是A.－200° B.100° C.220° D.420°
－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角.
∵1 112°＝360°×3＋32°，∴1 112°的终边与32°的终边相同，均为第一象限角.
7.1 112°角是第_____象限角.
8.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ____________.
与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.∵所求角在0°～360°范围内，∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，k∈Z，
∴k＝1或2.当k＝1时，β＝120°；当k＝2时，β＝300°.
9.已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角.
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角.当n＝－1时，θ＝250°－360°＝－110°；当n＝－2时，θ＝250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或θ＝－470°.
10.在平面直角坐标系中，用阴影表示下列集合：(1){α|30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}；
根据任意角的定义，画出集合{α|30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}对应的区域如图阴影部分(含边界)所示.
(2){α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.
根据任意角的定义，画出集合{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}对应的区域如图阴影部分(含边界)所示.
11.(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角.故α的终边落在第一或第三象限.
12.终边与坐标轴重合的角α的集合是A.{α|α＝k·360°，k∈Z}B.{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}C.{α|α＝k·180°，k∈Z}D.{α|α＝k·90°，k∈Z}
终边在坐标轴上的角为90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}.
13.已知α为锐角，则2α为A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第二象限角 D.小于180°的正角
因为α为锐角，所以0°<α<90°，则0°<2α<180°.
14.若α为△ABC的一个内角，且4α与120°的终边相同，则α＝__________.
∵4α＝120°＋k·360°，k∈Z，∴α＝30°＋k·90°，k∈Z，又∵0°<α<180°，∴当k＝1时，α＝120°；当k＝0时，α＝30°.
15.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为A.α＋β＝k·360°，k∈ZB.α＋β＝180°＋k·360°，k∈ZC.α－β＝180°＋k·360°，k∈ZD.α－β＝k·360°，k∈Z
方法一　(特值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.方法二　(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z.
∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z).∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上.
方法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示.