4.3 对数及对数运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

对数及对数运算

【要点梳理】

要点一、对数概念

1.对数的概念

如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

要点诠释：

对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR.

2.对数具有下列性质：

(1)0和负数没有对数，即；

(2)1的对数为0，即；

(3)底的对数等于1，即.

3．两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， .

4．对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.

要点二、对数的运算法则

2.对数的运算性质

如果，且，，，那么：

1. ·＋；

2. －；

3.   ．

注意：换底公式

4.     （，且；，且；）．

利用换底公式推导下面的结论:

5.       6.     

7.

对数的性质:

8.             9. （，且）

【典型例题】

类型一、指数式与对数式互化及其应用

例1.将下列指数式与对数式互化：

(1)；         (2)；         (3)；

(4)；           (5)；              (6).

【解析】(1)；       (2)；    (3)；

(4)；   (5)；    (6).

举一反三：

【变式1】求下列各式中x的值：

(1)      (2)      (3)lg1000=x      (4)

【解析】(1)；

(2)；

(3)10x=1000=103，于是x=3；

(4)由.

【变式2】计算：并比较．

【解析】

    ．

类型二、利用对数恒等式化简求值

例2．求值：

【解析】.

举一反三：

【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)

【解析】.

类型三、积、商、幂的对数

例3. 表示下列各式

【解析】（1）；

（2）；

（3）；

（4）=．

举一反三：

【变式1】求值

(1)      (2)lg2·lg50+(lg5)2      (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2

【解析】(1)

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1

(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

【变式2】（1）已知，则        ．

 （2）已知，求．

【解析】（1）∵ ，∴，，

∴．故答案为：1．

（2），，又，故

  故，又，从而，

  故．

类型四、换底公式的运用

例4.求值：(1) ；

(2)  ；

(3) .

【解析】(1)

(2)；

(3)

类型五、对数运算法则的应用

例5.（1）计算：

（2）

（3）

（4）若，求x的值．

【解析】（1）

（2）原式=

=

（3）原式=

（4）∵，∴，∴

∴ ，解得x=－1或x=2，∵x＞0，∴x=2

举一反三：

【变式1】求值：

【解析】

例6．设函数

（1）当a=0.1，求f（1000）的值．

（2）若f（10）=10，求a的值；

【解析】（1）当a=0.1时，

∴

（2）∵

∴ ，∴

∴ 或，∴ 或

举一反三：

【变式1】若是方程的两个实根，求的值．

【解析】原方程可化为，设，

则原方程化为．．

由已知是原方程的两个根，则，即，

=

==．

即．