高中人教B版 (2019)4.4 幂函数精品课堂检测

4.4幂函数人教  B版（2019）高中数学必修第二册同步练习

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设，则使为奇函数且在上单调递减的的值的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知幂函数在上单调递减，则(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

3. 已知幂函数的图像过，则下列结论正确的是(    )

A. 的定义域为 B. 在定义域上为减函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数

4. 已知函数是幂函数，对任意，且，满足，若，，且，则的值(    )

A. 恒大于 B. 恒小于 C. 等于 D. 无法判断

5. 设，则，，的大小顺序是．(    )

A.  B.  C.  D.

6. 幂函数的图象过点，则它的单调增区间是(    )

A.  B.   C.  D.

7. 已知，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知幂函数为偶函数，则(    )

A.  B.  C. 或 D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知幂函数互质，下列关于的结论正确的是(    )

A. 当，都是奇数时，幂函数是奇函数
B. 当是偶数，是奇数时，幂函数是偶函数
C. 当是奇数，是偶数时，幂函数是偶函数
D. 当时，幂函数在上是减函数

10. 若幂函数且互素的图象如下图所示，则下列说法中正确的是(    )

A.   B. 是偶数，是奇数
C. 是偶数，是奇数，且 D. 、是偶数，且

11. 关于函数的描述错误的命题是(    )

A. ，
B. ，
C. ，，
D. ，，

12. 下列说法正确的有(    )

A. 命题：若，则的否定为命题：若，则
B. 幂函数在上为增函数的充要条件为
C. “正方形是平行四边形”是一个全称量词命题
D. 至少有一个整数，使得为奇数

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 幂函数的图象过点，则______．
14. 不等式的解集为          ．
15. 已知函数，则的解集是          ．
16. 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足的实数的值构成的集合为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 若，试求实数的取值范围．
18. 已知幂函数的图象经过点．

求幂函数的解析式；

试求满足的实数的取值范围．

19. 已知函数为偶函数，且，求的值，并确定的解析式．
20. 已知幂函数的图象关于轴对称，且．

求的值及函数的解析式；

若，求实数的取值范围．

21. 已知幂函数，且在上是减函数．
    求的解析式；
    若，求的取值范围．
22. 已知幂函数为偶函数一次函数满足，．

Ⅰ求和的解析式；

Ⅱ求函数在区间上的最大值和最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了幂函数的性质，同时考查了函数的奇偶性．
根据为奇函数，所以，幂函数的指数小于，则在区间上单调递减，可排除，的可能，所以，所以只有一个符合题意．

【解答】

解为奇函数，
，
又在上为减函数，则，
仅有符合，
所以使为奇函数且在上单调递减的的值的个数是个．
故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是中档题．
根据幂函数的定义与性质，列方程求出的值，再判断是否满足条件．

【解答】

解：幂函数在单调递减，
，
解得或；
又，即
时满足条件，
则实数的值为．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了幂函数的性质，是中档题．
先利用已知点求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质解题即可．

【解答】

解：设幂函数，
幂函数的图象过点，
，，
，
的定义域为，且在其定义域上是减函数，故选项A错误，选项B正确，
函数定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误，
故选B．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的性质，单调性，幂函数的定义，属于拔高题．
由题意，判断出函数的单调性及奇偶性，再根据幂函数的性质求解．

【解答】

解：对任意，且，满足，得函数单调递增．
函数是幂函数，
则．
又函数单调递增，故，，
所以，
，且，，
所以．
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用函数的性质比较大小的问题，属于中档题．
先判断，再化简、，利用幂函数的性质判断、的大小．即可得解．

【解答】

解：因为，，；
且，函数在上是单调增函数，
所以，所以；
综上知，．
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查求幂函数的解析式，幂函数的单调性，是基础题．
利用点在幂函数的图象上，求出的值，然后求出幂函数的单调增区间．

【解答】

解：幂函数的图象过点，
所以，即，所以幂函数为
它的单调递增区间是：．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

利用指数函数的单调性可得，再利用幂函数的单调性得到，从而得到，，的大小关系．
本题主要考查了指数函数和幂函数的单调性，是中档题．

【解答】

解：，，
又幂函数在上单调递增，且，
，
，
，
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
根据幂函数的定义和性质建立方程关系即可求解．

【解答】

解：幂函数为偶函数，
，即，
解得或，
当时，幂函数为为偶函数，满足条件，
当时，幂函数为为奇函数，不满足条件．
故，
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查幂函数的定义和性质，属于中档题．
利用幂函数的定义和性质及奇偶函数的定义可判断，利用幂函数在上的单调性可判断．

【解答】

解：幂函数互质，
故，都是奇数时，，则幂函数是奇函数，故A正确；
当是偶数，是奇数时，，则幂函数是偶函数，故B正确；
当是奇数，是偶数时，幂函数定义域为，一定不是偶函数，
如，它的定义域为，不是偶函数，故C错误．
当 时，幂函数在上是增函数，故D错误，
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了幂函数的图象，掌握幂函数性质是解题关键．
由图象，结合幂函数的性质可得结果．

【解答】

解：函数的图象关于轴对称，因此函数为偶函数，为偶数，为奇数，
从图象上知，当时，图象在的下方，，所以．
故选ABC．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

由函数的定义域与值域判断与；再由函数的单调性判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查幂函数的性质，是中档题．

【解答】

解：函数的定义域为，值域为，故A错误，B正确；
函数在上单调递增，
则对，且，都有，故C错误；
当时，，不存在，，故D错误．
故选ACD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

命题的否定只否定结论，否命题是同时否定条件和结论，属于基础题．
利用命题的否定可判断；利用幂函数数的性质可判断；由全称量词判断；分为奇数和偶数进行讨论．

【解答】

解：命题：若，则的否定为命题：若，则，故A正确；
B.幂函数在上为增函数，
，解得，故B正确；
C.”正方形是平行四边形”即“所有的正方形是平行四边形”是一个全称量词命题，故C正确；
D.因为为整数，当为偶数时，为偶数，
当为奇数时，也为偶数，故D错误；
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：幂函数的图象过点，
，解得，
，
．
故答案为：．
由幂函数的图象过点，求出，由此能求出．
本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了不等式的解法，涉及幂函数的性质，属于中档题．
根据函数为上偶函数，且在上单调递增，列不等式即可求解．

【解答】

解：因为为上偶函数，在上单调递增，
所以由得到，
两边平方得，
解得， 
所以不等式的解集为．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的性质以及应用，注意分析函数的定义域奇偶性以及单调性，属于中档题．
根据题意，由幂函数的性质分析可得函数的定义域为，且在其定义域上为增函数，进而原不等式可以变形为，解可得的取值范围，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数，函数的定义域为，
且在其定义域上为增函数，
若，则有，
解得或，
即不等式的解集为．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是中档题．
由幂函数的定义和性质求出的值，再求对应不等式的解集．

【解答】

解：由幂函数的定义知，，解得或．
因为是奇函数，所以，
所以不等式为，
 整理得，
解得，
所以的取值范围是．
故答案为：．

17.【答案】解：设，，，
当图象位于第一象限时，函数为单调减函数，
，解得，
当图象位于第三象限时，函数为单调减函数，
 解为空集，
当图象位于第一和第三象限时，，解得，
综上所述，实数的取值范围是 

【解析】本题主要考查了幂函数的性质，需要分类讨论，属于中档题．
根据幂函数的性质，需要分类讨论，和分别在第一或第三象限．
 

18.【答案】解：由题意，，
故 ；
由已知，且在上单调递增，
可得，解得，
故的取值范围是． 

【解析】本题考查了幂函数及其性质、利用函数单调性求解不等式问题，属于中档题．
将点代入幂函数解析式，求得可得幂函数的解析式；
由函数的单调性将不等式转化为，可解得实数的取值范围．
 

19.【答案】解：幂函数为偶函数，且，
幂函数在上单调递增，

，

即，解得．
又，
或．

当时，，，为奇函数，不满足题意．

当时，，，为偶函数，满足题意．

，．

【解析】 本题考查了求幂函数的解析式的问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，属于中档题．
根据函数为偶函数，限定了必为偶数，且，所以在为增函数，根据条件分类讨论便可求得的值，从而确定的解析式．
 

20.【答案】解：由题意，函数的图象关于轴对称，且，

所以在区间上单调递增，

所以，解得，

由，得，

又函数的图象关于轴对称，

所以为偶数，

所以，所以．

因为函数图象关于轴对称，且在区间上单调递增，

所以不等式，等价于，

解得或，

所以实数的取值范围是．

【解析】本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
由函数的图象关于轴对称，且，得到函数在区间上单调递增，即，再由且为偶数求得的值．

根据函数图象关于轴对称，且在区间上单调递增，将不等式，转化为求解．

21.【答案】解：函数是幂函数，
，
即，
解得或，
幂函数在上是减函数，
，
即，
，
令，因为的定义域为，且在和上均为减函数，
，
或或，
解得或，
故的取值范围为：或． 

【解析】根据幂函数的定义和单调性建立条件关系即可得到结论，
令，根据其单调性即可求解结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，利用幂函数的单调性是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：Ⅰ因为函数为幂函数，所以，

即，解得：或．

当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不满足题意；

所以，．

因为为一次函数，所以，设，由，，

得：，解得：所以．

Ⅱ，
令，因为，所以，

而在上单调递增，

所以，当，即时，取得最小值．
当，即时，取得最大值．

所以，函数在区间上的最小值为，最大值为．

【解析】本题考查了幂函数及一次函数的概念，考查了利用函数的单调性求最值，属于中档题．
Ⅰ由幂函数的概念可知：，再结合偶函数的性质可得出的解析式再由为一次函数，用待定系数法，代点，列出方程组求解即可得到解析式
Ⅱ由Ⅰ得：，令，，利用换元法结合函数的单调性即可求出最值．