数学必修 第二册4.3 指数函数与对数函数的关系精品同步测试题

4.3指数函数与对数函数的关系人教  B版（2019）高中数学必修第二册同步练习

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 某商店同时卖出两件外套，售价均为元，以成本计算，一套盈利，另一套亏损，此时商店(    )

A. 不亏不盈 B. 盈利元 C. 亏损元 D. 盈利元

2. 设正实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，分别是函数，的零点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知圆弧与函数和函数的图象分别相交于，其中且，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

5. 若函数与函数互为反函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知是函数，的一个零点，是函数的一个零点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊利用碳测年确认是世界上最古老的铸币作坊已知样本中碳的质量随时间单位：年的衰变规律满足表示碳原有的质量经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年参考数据：(    )

A. 年 B. 年 C. 年 D. 年

8. 若是方程的解，是方程的解，则等于．(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下面结论中正确的是(    )

A. 函数的最大值为
B. 函数在上是减函数，则实数的取值范围是
C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于直线对称
D. ，则

10. 下列命题正确的是(    )

A. 函数为偶函数
B. 函数在上单调递增
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数与的图像关于直线对称

11. 给出下列结论，其中不正确的结论是(    )

A. 函数的最大值为
B. 已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是
C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D. 已知定义在上的奇函数在内有个零点，则函数的零点个数为

12. 已知函数的零点为，则(    )

A. 的值为 B. 的值为
C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为          ．
14. 给出下列命题：
    函数与函数的图象关于直线对称；
    函数的最小正周期；
    函数的图象关于点成中心对称图形；
    函数的单调递减区间是．
    其中正确的命题序号是          ．
15. 已知函数，是周期为的偶函数且当，，则函数的零点个数是          ．
16. 给出下列命题：
    函数与互为反函数，其图象关于直线对称；
    当且时，函数的图象必过定点；
    若函数在区间上满足函数零点存在性定理，则此函数在区间内的零点个数是奇数个；
    用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到；
    函数的零点有个．
    其中所有正确命题的序号是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知函数，函数若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．

18. 本小题分

声强级单位由公式给出，其中为声强单位

若航天飞机发射时的最大声强是，求其声强级；

一般正常人的听觉声强级的范围为单位，求其声强的取值范围．

19. 本小题分

张同学在函数章节学习中遇到过许多形形色色的函数，其中有很多函数的形态是具有共性的，于是张同学提出了下面个猜想，请同学们选择下面的任意一个问题回答或反驳张同学的猜想．

已知函数的零点是，的零点是，证明：．

已知函数的零点是，证明：．

20. 本小题分

求出的反函数，并求出与的值

如果存在反函数，写出与的值．

21. 本小题分
    已知函数
    当时，求函数的定义域；
    当时，若，使得不等式有解，求实数的取值范围．
22. 本小题分

已知函数．

若函数是上的奇函数，求的值；

若函数的定义域是，求的取值范围；

若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了函数与方程的综合运用．解题的思路就是那成本和售价之间的关系来探讨亏损或盈利的问题．
分别设出每套衣服的成本，以具体以建立等式分别求得两套衣服的成本，进而用售价减去成本可分别计算出盈利和亏损的部分，二者相减即可求得问题的答案．

【解答】
解：分别设每套衣服的成本为元和元，
，，
，，
商贩盈利为，亏损为：，
综合可知，
所以亏了元．
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数、对数函数的图象与反比例函数的图象，比较大小，属于中档题．
由题意，画出指数函数、对数函数及反比例函数的图象，即可得出结果．

【解答】

解：由题意，正实数分别满足，，，
在同一坐标系下作出，，，的图象，

则，，分别为函数的图象与，，的图象交点的横坐标．
由图可知， 
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是函数的零点与方程根的关系，函数图象的应用，反函数，函数的对称性，属于中档题．
由零点的概念可得，，又由于与互为反函数，且关于对称，求出与的交点坐标，利用对称性求解即可．

【解答】
解：
由题，，分别是函数，的零点，则，，即，，且
由于与关于直线对称，且也关于对称，
所以，关于对称，故，，
易求得与的交点坐标为，
所以，又，
所以．

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查圆的方程的应用，反函数与原函数的对称关系，考查计算能力以及转化思想的应用，属于一般题．
解本题关键在于通过函数与反函数的对称关系，判断，的坐标关系，然后利用基本不等式求解即可．

【解答】
因为函数和函数互为反函数，所以它们的图象关于直线对称，又因为圆弧的图像也关于直线对称，所以它们的交点关于直线对称，所以，因为在上，所以，即有
所以当且仅当时取
故选B  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查反函数，属于基础题．
先求出，再计算即可．

【解答】

解：因为函数与函数互为反函数，
所以，
则．
故选D．

6.【答案】 

【解析】

 【分析】
本题考查函数的零点与方程根的关系，以及反函数，属于一般题．
由函数与互为反函数，知为点的纵坐标，从而求得．
【解答】

解：如图：

是曲线与曲线交点的横坐标，是曲线与曲线交点的横坐标，
函数与互为反函数，
与关于直线对称  即为点的纵坐标，
， 
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了指数函数的简单应用，考查了指对互化．
令，两边同时取以为底的对数，结合对数的运算性质和换底公式即可求出的范围，即可得解．
【解答】
解：由题意可知：，
两边同时取以为底的对数得：，
，解得，
故选A．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，属于中档题．
首先根据题意得，再根据与关于直线对称，最后求出结果．

【解答】

解：由已知，
而函数与关于直线对称，
设函数与函数的交点为，
函数与函数的交点为，
而，两点关于直线对称，所以，
故选D．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是中档题．
根据指数函数的单调性二次函数的最值，求得的最小值为
根据对数函数的图象与性质，求得的取值范围是
根据反函数的性质可判断
由对数运算性质即可判断．

【解答】

解：对于，函数的最大值为，
的最小值为，A错误；
对于，函数且在上是减函数，
，解得的取值范围是，B正确；
对于，在同一坐标系中，函数与互为反函数，两个函数的图象关于轴对称，C正确；
对于，，，
则，，，故D正确．
故选BCD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的奇偶性，单调性及反函数的性质，属于中档题．
由函数的奇偶性的判断可得A正确，由单调函数的单调性的定义的证明可得的真假，由互为反函数的图象关于对称可得D正确．
【解答】
解：函数的定义域为，令，对于任意，则，
所以函数为偶函数，即A正确
，定义域为，令，在上任意取，，且，
则，
因为在上单调递增，且，所以，，
所以，即函数在上单调递增，所以B正确
函数在区间上为，所以函数在区间上单调递增，所以不正确
因为，所以与互为反函数，故函数与的图象关于对称，故D正确，
故选ABD．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了指数函数的性质，对数函数的性质，函数的零点个数以及复合函数的单调性，属于中等题．
由指数函数的性质可判断；由对数函数的性质及复合函数的单调性可判断；由反函数的定义可判断；由奇函数的性质可判断．
【解答】
解：对于，令，则的最大值为，
的最小值为，故A错误；
对于，函数在上是减函数，
，解得，B错误；
对于，函数与互为反函数，
函数与的图像关于直线对称，故C正确；
对于，定义在上的奇函数在内有个零点，
在在内有个零点，又，
函数的零点个数为，故D正确．
故选AB  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数零点的定义，将函数的零点代入函数解析式后，整理，变形，进而通过构造函数，研究零点的范围，综合性较强，属于中档题．
由函数的零点为，得到，变形为，由为增函数，得到判断，再结合零点存在定理判断．

【解答】

 解：，，
．
令，易知函数为增函数，
由，得，．，
由，，又由，，
有，有．

故选AD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了互为反函数的函数图象的对称性，导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，转化化归的思想方法．
考虑到两曲线关于直线对称，求丨丨的最小值可转化为求到直线的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为的切线方程，由点到直线的距离公式即可得到最小值

【解答】

解：为自然对数的底数与互为反函数，其图象关于对称，
故可先求点到直线的最近距离，
设曲线上斜率为的切线为，
，由，得，
故切点坐标为，即，
，
丨丨的最小值为．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的对称性、单调性、周期性等基本性质，属于中档题．
指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线对称；
绝对值三角函数，周期减半，得知最小正周期为；
当时，函数值为，即可判断．
利用诱导公式使自变量的系数为正，然后根据正弦函数的单调性求解即可．

【解答】

解：函数与函数互为反函数，故它们的图象关于直线对称，正确；
函数的最小正周期，错误；
函数过点，图象关于点成中心对称图形，正确；
，
的单调递增区间满足，．
又，所以，
函数的单调递减区间是，正确．
故答案为 ．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了利用数形结合的思想解决函数零点个数的判断问题，同时考查了函数的零点，方程的根以及函数图象的交点之间关系的理解．函数的零点就是函数与图象的交点横坐标，因此分别作出这两个函数的图象，然后据图判断即可．
【解答】
解：函数的零点就是函数与图象的交点横坐标．
在同一坐标系中画出这两个函数的图象：

由图可得这两个函数的交点共个．
所以原函数共有个零点．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判定，涉及到反函数，指数函数的性质，二分法求函数的近似值，函数的零点，属于中档题．
根据函数的性质逐一判断可得．

【解答】

解：对于，根据反函数的定义可得，互为反函数的图象关于直线对称，故正确； 
对于，当时，，即图象必过定点，故正确； 
对于，若函数在区间上满足函数零点存在性定理，
则此函数在区间内的零点一定存在，但个数是不一定是奇数个，还可以是偶数个，故错误； 
对于，区间的长度为，每经过一次操作区间长度变为原来的一半，
经过次操作后，区间长度为，故，即，，
故至少经过次二分后精确度达到，故错； 
对于，函数的零点个数为，时有一个，
还有，，故错 
故答案为： 

17.【答案】解：不等式对任意实数恒成立，
，
，
实数
，
在上为增函数，
，
，
，
，
，
解得，
故的取值范围为 

【解析】本题考查了指数函数和对数函数的性质，以及函数恒成立的问题，属于中档题．
先求出的最小值，再得到，解得即可．
 

18.【答案】解：由题意可知，当航天飞机发射时的最大声强是时，

，

故其声强级为；

由题意可知，，即
所以．

．
故其声强的取值范围为单位
答：声强级为；声强的取值范围为单位

【解析】本题考查了指数与对数函数的综合应用，涉及指数、对数的运算和利用对数函数的单调性解对数不等式，属基础题．

把代入计算即可得到结果；

由题意可知，利用对数函数的单调性解不等式可得到声强的取值范围．

19.【答案】证明选择令，

得，

令，

得，

则，可转化为，的图象与图象交点的横坐标，

与是一对反函数，

与关于对称，

，解得，

，

，

又，．

选择易知在上单调递增，

又，，

存在一个零点，

此时，，

，当且仅当时等号成立，

由于，．

【解析】略
 

20.【答案】解：一次函数的反函数为，
则，
；
若函数存在反函数，
则． 

【解析】本题考查反函数，属于中档题．
先求出函数的反函数，再计算与
由反函数的性质得出．
 

21.【答案】解：当时，，
故：，解得：，
故函数的定义域为；
设，，
设，，
故，，
故：，
又因为存在成立，
故：． 

【解析】本题主要考查对数函数有关的定义域、值域的问题，也考查了不等式求解和存在性问题，属于中档题．
由题意知，解不等式可得定义域；
令，通过求，的范围，再结合对数函数的单调性求的最大值即可．
 

22.【答案】解：若函数是上的奇函数，则，求得，

又此时是上的奇函数，符合题意．

若函数的定义域是，

则对恒成立，

即对恒成立．

因为，所以

所以的取值范围为

由题意，知函数在上是减函数，

所以在区间上的最大值是，最小值是．

由题意，知，
所以，

解得，

故的取值范围为

【解析】本题主要考查对数函数的单调性、奇偶性以及函数最值问题，属中档题．
由奇函数的性质可得，即可得出答案；
将函数的定义域是，转化为对恒成立，即可求得的取值范围；
利用函数在区间上的最大值与最小值的差不小于，得到，即可求出的取值范围．