高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.5 增长速度的比较精品课时训练

4.5增长速度的比较人教  B版（2019）高中数学必修第二册同步练习

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程，关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：
   当时，甲走在最前面；
   当时，乙走在最前面；
   当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；
   丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
   如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
   其中，不正确的序号为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数正常情况，且教职工平均月评价分数在分左右，若有突出贡献可以高于分计算当月绩效工资元．要求绩效工资不低于元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少．则下列函数最符合要求的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是(    )

A. 投资天以内含天，采用方案一 B. 投资天，不采用方案三
C. 投资天，采用方案一 D. 投资天，采用方案二

5. 四个变量、、、随变量变化的函数值如表：

关于呈单调增加的指数型函数和线性函数变化的变量分别是(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

6. 洪泽湖是中国大湖中唯一的活水湖，水质优良，有利于优质大闸蟹生产，大闸蟹的背面有字母“”的形状，是洪泽湖天然的“地理标志”洪泽湖大闸蟹具有个大、蟹肥、肉香的特质泗洪县是洪泽湖大闸蟹的主产区，今年又喜获丰收泗洪中学数学兴趣小组进行社会调查，了解到某大闸蟹生产销售合作社为了实现万元的利润目标，准备制定激励其销售人员的奖励方案：在销售利润超过万元时，按销售利润进行奖励，且奖金单位：万元随销售利润单位：万元的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不能超过利润的同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是(    )

参考数据：

A.  B.
C.  D.

7. 有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在年约为万吨，年的年增长率约为，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从          年开始，快递业产生的包装垃圾超过万吨．参考数据：，

A.  B.  C.  D.

8. 现有某种细胞个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由个细胞分裂成个细胞，按这种规律发展下去，当细胞总数超过个时，所需时间至少为参考数据：，(    )

A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发，向同一方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，则以下结论正确的是(    )

A. 当时，甲走在最前面
B. 当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面
C. 丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D. 如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲

10. 以下四种说法中，错误的是(    )

A. 幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B. 对任意的，
C. 对任意的，
D. 不一定存在，当时，总有

11. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数解析式分别为，，，，有以下结论：

当时，甲走在最前面；当时，乙走在最前面；当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面．其中正确的为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 有一组实验数据如表所示：
     

则下列所给函数模型较不适合的有    (    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：

当时，甲在最前面

当时，乙在最前面

当时，丁在最前面，当时，丁在最后面

丙不可能在最前面，也不可能在最后面

如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲．

其中结论正确的为          填序号．

14. 某生鲜食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数，若该生鲜食品在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则该食品在常温时的保鲜时间为          小时．
15. 某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近年的产量平稳增长．记年为第年，且前年中，第年与年产量单位：万件之间的关系如下表所示，若近似符合以下三种函数模型之一：，，则你认为最适合的函数模型的序号为          ．

16. 据报道，某淡水湖的湖水在年内减少了，若按此规律，设年的湖水量为，从年起，经过年后湖水量与的函数关系为___________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

在年的全国两会上，“碳达峰”“碳中和”被首次写入政府工作报告，也进一步成为网络热词为了减少自身消费的碳排放，节省燃料经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量单位：与速度单位：的数据关系如下表：

为描述与的关系，现有以下三种模型供选择：

，，

．

请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式

选择一段长度为的平坦高速路段进行测试，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少

18. 本小题分

假设有一套住房的房价从年的万元上涨到年的万元下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是年以来经过的年数．

求函数的解析式

求函数的解析式

完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．

19. 本小题分

某种蔬菜从年月日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本单位：元与上市时间单位：天的数据如下表：

根据上表数据，从下列函数：，，，其中中，选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本与上市时间的变化关系

利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．

20. 本小题分
    某企业常年生产一种出口产品，技术革新后，该产品的产量平稳增长记年为第年，且前年中，第年与年产量万件之间的关系如下表所示：

若近似符合以下三种函数模型之一：

，，．

找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式所求或的值保留位小数

试根据所建立的函数模型，预测年的年产量．

21. 本小题分
    函数，的图象如图所示．
     

请指出曲线，分别对应的函数

比较两函数增长速度的差异以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较．

22. 本小题分

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为元，并且每件产品须向总公司缴纳元为常数，的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为为自然对数的底数万件，已知每件产品的售价为元时，该产品一年的销售量为万件．经物价部门核定每件产品的售价最低不低于元，最高不超过元．

求分公司经营该产品一年的利润万元与每件产品的售价元的函数关系式；

当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润最大，并求出的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查选择合适的模型来拟合一组数据，属于基础题．
根据所给的五组数据，在平面直角坐标系中画出五个点，观察这几个点在变化趋势上，即可排除，两个选项，当时与当时，选项不符合，由此得到结果．
【解答】
解：在直角坐标系中画出这几对数据的散点图，如图：

观察图形的变化趋势，可知这几个点在第一象限单调递增，
且递增的速度比较快，排除，两个选项，
当时，当时，选项误差都较大，故A选项不符合，
故选D．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】

根据指数型函数，幂函数，一次函数以及对数型函数的增长差异便可判断每个结论的正误，从而可写出正确结论的序号．
本题考查几种基本初等函数的变化趋势，关键是注意到对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，属于中档题．

【解答】

解：路程，关于时间的函数关系式分别为：
，，，，
它们相应的函数模型分别是指数型函数，幂函数，一次函数，和对数型函数模型；
当时，，，
该结论不正确；
指数型函数的增长速度大于幂函数的增长速度，
时，甲总会超过乙的，
该结论不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，
当时甲、乙、丙、丁四个物体重合，
从而可知当时，丁走在最前面，
当时，丁走在最后面，
该结论正确；
结合对数型和指数型函数的图象变化情况，
可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，
该结论正确；
指数型函数增长速度是最快的，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是甲物体，
该结论正确；
不正确的序号为：．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了几种类型的初等函数模型的应用问题，属于中档题．
根据题意，拟定函数应满足是单调增函数，且先慢后快；在左右增长缓慢，最小值为，根据要求判定选项中的函数是否满足即可．

【解答】

解：由题意知：函数应满足单调递增，且先慢后快，在左右增长缓慢，最小值为，
是先减后增，由指数函数知是增长越来越快，由对数函数知增长速度越来越慢，
是由经过平移和伸缩变换而得，故最符合题目要求．
故选D．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查常函数，一次函数、指数函数增长速度的差异，函数模型与函数图象的应用，属于一般题．
利用函数的图象，结合选项逐一进行判断即可．

【解答】

解：由图可知，投资天以内含天，结合图象对应的高低，可得方案一的回报最多，所以A正确；
投资天，方案一的回报约为元，方案二的回报约为元，结合图象对应的高低，可知方案一，方案二都比方案三高，所以B正确；
投资天，方案一的回报约为元，
方案二的回报约为元，
结合图象对应的高低，可知方案一的回报比方案二、方案三都高，所以 C正确；
投资天，根据图象的变化可知，方案三的回报高很多，所以采用方案三，所以不对．
故选D．

5.【答案】 

【解析】解：从题表格可以看出，三个变量、、都是越来越大，但是增长速度不同，
其中变量的增长速度最快，变量呈直线变换，一次函数类型，也类似于指数函数类型，
指数函数变化．．
是减函数．图象如图，以后变换不大，呈现直线类型，所以不是指数函数类型．
故选：．
观察题中表格，可以看出，三个变量、、都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，变量呈直线变换，一次函数类型，类似于指数函数类型，指数函数变化．是减函数．
本题考查对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不同函数的增长模型，属于中档题．
先由题意得到符合某大闸蟹生产销售合作社要求的函数模型应满足的三个条件，再逐项验证即可．

【解答】

解：由题意得，符合公司要求的函数模型应满足：当时，函数为增函数；；．
选项A：满足条件，但当时，不满足条件，所以选项A错误；
选项B：满足条件，但当时，有，不符合条件，所以选项B错误；
选项C：当时，不满足条件，所以选项C错误；
选项D：满足条件
当时，有，满足条件
而恒成立，满足条件，故选项D正确．

故选D．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了指数函数模型的应用及对数运算，属于中档题．
由题意可知快递行业产生的包装垃圾与从年开始增加的年份的数量之间具有指数函数关系，由此列方程，求出即可．
【解答】
解：设快递行业产生的包装垃圾为万吨，
表示从年开始增加的年份的数量，
由题意可得 ，
令 ，
 ，
两边取对数可得，
，
解得，
解得，
从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过万吨，
故选C．  

8.【答案】 

【解析】

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数、对数、幂函数模型以及对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异．
观察题目即可发现：、、、所对应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数函数模型，结合这些函数模型特点，即可判断正误．

【解答】

解： 甲、乙、丙、丁的路程关于时间的函数关系式分别为
，，，，
它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当时，，，所以不正确
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，
又当时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，
从而可知，当时，丁走在最前面，当时，丁在最后面，所以 B正确
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，
最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确；
结合对数型和指数型函数的图象变换情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，故C正确．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数、指数函数和对数函数以及一次函数的性质应用问题，是一般题．
通过举例说明幂函数、指数函数和对数函数以及一次函数的性质，判断选项中的命题是否正确即可．

【解答】

解：对于，幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快，如和在时，所以A错误；
对于，当时，由幂函数和对数函数的图象知，存在时，，所以B错误；
对于，当时，由指数函数和对数函数的图象知，存在时，，所以C错误；
对于，当时，由幂函数和指数函数、对数函数的图象知，
不一定存在，当时，总有，所以D正确．
故选ABC．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查指数、对数、幂函数模型以及对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，属于中档题．
观察题目即可发现：、、、所对应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数函数模型，结合这些函数模型特点，当时，取特殊值即可发现开始的时候乙在甲前面，但因为指数型的增长速度大于幂函数的增长速度，甲总会超过乙的，据此可判断的正误；结合四种函数模型图象的变化特点分别分析、、时的情况，即可判断的正误．
【解答】
解：由题路程关于时间的函数关系式分别为：，，，，它们相应的函数模型分别是指数函数、幂函数、一次函数和对数函数模型．
当时，，，，所以时，乙在甲的前面，故该结论不正确；
当时，，，，所以时，甲在乙的前面，故该结论不正确；
当时，，的图象在图象的下面，的图象在图象的上方，故此时丁走在最前面；当时，的图象在最下方，故丁走在最后面所以说法正确；
当时，丙在甲乙前面，在丁后面；当时，丙在丁前面，在甲乙后面；当时，甲、乙、丙、丁四个物体并驾齐驱所以说法正确；
即说法正确；
故选CD．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数模型的应用，熟记基本初等函数的单调性即可，属于常考题型．
通过所给数据可知随增大，其增长速度越来越快，由此进行判断即可．
【解答】
解：由表中数据可知 随 增大，其增长速度越来越快，
而、中的函数增长速度越来越慢，
而中的函数增长速度保持不变，
故选ABD．  

13.【答案】 

【解析】 在同一平面直角坐标系中作出这四个函数的图象图略，易得

错误，因为，，所以，所以当时，乙在甲的前面．

错误，因为，，所以，所以当时，甲在乙的前面．

正确，当， ， 的图象在图象的下方，的图象在图象的上方，即丁在最前面当时， 的图象在最下方，即丁在最后面．

正确，当时，丙在甲、乙前面，在丁后面当时，丙在丁前面，在甲、乙后面当时，甲、乙、丙、丁四个物体并驾齐驱

正确，当充分大时，指数函数的增长速度越来越快，的图象必定在、、图象的上方，所以最终在最前面的是甲．

综上，结论正确的为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查待定系数法求解析式，指数函数的应用．
根据题意得到，，当，直接代入，解出即可．

【解答】

解：由题意可知
，．
．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数模型的判断，考查函数性质、函数值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
若模型为，推导出，求出，，，与表格中的数据相差太大；若模型为，求出，，，与表格中的数据相差太大；若模型为，求出，，经检验是最适合的函数模型．
【解答】
解：若模型为，则，解得，于是，

此时，，，
与表格中的数据相差太大，不符合；
若模型为，则，解得，于是，
，，此时，与表格中的数据相差太大，不符合；
若模型为，则根据表中数据得
解得，，经检验是最适合的函数模型．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】本题主要考查了对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，属于一般题．
设每年湖水量为上一年的，列方程求解即可．

【解答】解：设每年湖水量为上一年的，则，所以，所以年后的湖水量为．  

17.【答案】解该函数模型应为增函数，故第一种函数模型不符合

若选择第二种模型，代入得，解得，

，此时，，，与实际数据相差较大，故第二种不符合经观察，第三种函数模型最符合实际，

代入，可得 ，即，解得，

 ，

此时，，，，，符合题意，

．

设总耗油量为，

，，

当时，取得最小值为，

这辆车应以的速度行驶才能使总耗油量最少．

【解析】略
 

18.【答案】解：设，．
由，，
可得，，
即，．
设，．
由，，可得，，
即，．
填表如下：

作函数图象如下：

根据两个函数的图象，房价按函数呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；
按函数呈指数增长，每年的增加量越来越大，开始增长慢，然后会越来越快，但保持相同的增长比例． 

【解析】本题考查了函数模型的应用及一次函数、指数函数增长速度的差异，属于中档题．
设，，由，，求解即可得；
设，，由，，求解即可得；
由可计算填表，再画出图象，比较两种价格增长方式的差异即可．
 

19.【答案】解析以上市时间单位：天为横坐标，种植成本单位：元为纵坐标，画出散点图如图

根据点的分布特征知函数模型与题表所提供的数据拟合得最好，

所以选取函数模型描述该蔬菜种植成本与上市时间的变化关系．

将题表中所提供的三组数据分别代入 ，

得解得

所以描述该蔬菜种植成本与上市时间的变化关系的函数为．

由知，所以当时，的最小值为，即该蔬菜上市天时，该蔬菜种植成本最低，最低种植成本为元．

【解析】略
 

20.【答案】解符合条件的是，

若模型为，

则由，得，即，

此时，，，

与已知相差太大，不符合．

若模型为，则是减函数，与已知不符合．

由已知得解得

所以，

年预计年产量为万件

【解析】略
 

21.【答案】解：由题中函数图象特征及变化趋势，知曲线对应的函数为，曲线对应的函数为

当时，
当 时，
当  ， 时，．
呈直线增长，其增长速度不变，随着的增大而逐渐增大，其增长速度越来越慢．

【解析】略
 

22.【答案】解：由题意，该产品一年的销售量为，
将，代入得，
故该产品一年的销售量为，
故L
，
由得，

，，
当时，，
当且仅当，时取等号，
故L在上单调递减， 
故L的最大值为，
当时，，
，  
故L在上单调递增，
在上单调递减，
故L的最大值为，
综上所述，当时，每件产品的售价为元时，该产品一年的利润最大，最大利润为万元；
当时，每件产品的售价为元时，该产品一年的利润最大，最大利润为万元； 

【解析】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中求出函数的解析式是解答的关键，利用导数法分析函数的单调性是解答的关键，属于中档题．
由每件产品的售价为元时，该产品一年的销售量为万件，代入可得值，进而根据利润单件利润销售量得到该产品一年的利润万元与每件产品的售价元的函数关系式；
由中所得函数的解析式，求导后分析函数的单调性，进而分析出该产品一年的利润的最大值．