人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知直线与椭圆交于，两点，中点坐标为，椭圆的离心率为，若直线被圆截得的弦长为，则椭圆方程为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知椭圆与直线交于，两点，焦点，其中为半焦距，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知椭圆，斜率为的直线与椭圆相交于两点，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，，则的实轴长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线，交双曲线的渐近线于点、，为坐标原点，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长．(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线为，，若抛物线上存在一点，使、关于直线对称，则抛物线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线交轴于点，若，则点到准线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知，是椭圆：的左右焦点，是左右顶点，为椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，已知，，，设直线的斜率为，直线和直线的斜率分别为，，直线和直线的斜率分别为，，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知分别是双曲线的左、右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则(    )

A. 双曲线的离心率
B. 双曲线的渐近线方程为
C.
D. 直线与双曲线有两个公共点

11. 多选题已知动点在左、右焦点分别为、的双曲线上运动，则下列结论正确的是(    )

A. 双曲线的离心率为
B. 当在双曲线的左支上时，的最大值为
C. 点到两渐近线的距离之积为定值
D. 双曲线的渐近线方程为

12. 已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点，两点点在第一象限，与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 为中点

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 直线与椭圆相交于、两点，线段的中点在直线上，则直线在轴上的截距的取值范围是          ．
14. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为的渐近线与圆的一个交点，为坐标原点，若直线与的右支交于点，且，则双曲线的离心率为          ．
15. 双曲线：的右焦点为，直线与双曲线相交于，两点，若，则双曲线的离心率为__________．
16. 已知抛物线：的焦点为，准线为过点作倾斜角为的直线与准线相交于点，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 椭圆：的一个焦点，离心率．
    求椭圆的方程；
    求以点为中点的弦所在的直线方程．
18. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，若过点，且．

求的方程．

过点且斜率为的直线与交于点，，求的面积．

19. 双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为的一条渐近线．

求双曲线的方程．

过点的直线交双曲线于、两点，交轴于点点与的顶点不重合当，且时，求点的坐标．

20. 已知双曲线的离心率为，两条准线间的距离为．

求的标准方程；

斜率为的直线过点，且直线与的两支分别交于点，，

求的取值范围；

若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点．

21. 已知点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹是曲线．

求曲线的方程

过点，且斜率为的直线与曲线交于，两点，求线段的长．

22. 设曲线：上一点到焦点的距离为．

  Ⅰ求曲线方程；

  Ⅱ设，为曲线上不同于原点的任意两点，且满足以线段为直径的圆过原点，试问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
利用点差法即可求得的斜率，由垂径定理即可得的值，进而求得椭圆方程．

【解答】

解：设，两点的坐标分别为，，
则两式相减得：，
即，
因为椭圆离心率为，则，
故，
又，
所以，
所以直线的方程为，圆心到直线的距离，
根据垂径定理得，
所以，所以，
所以椭圆方程为．
故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义和直线与椭圆的位置关系，属于基础题．
利用已知条件求出、坐标，结合三角形是直角三角形，推出、、关系，然后求解离心率即可．
【解答】
解：因为点和即在椭圆上，
也在直线上，
而椭圆与直线交于，两点，
所以不妨设，．
又因为椭圆的焦点，而是直角三角形，
所以，因此，即，
因此，即，解得，
而椭圆离心率，所以为所求．
故选A．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的性质和中点弦问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用点差法，结合的中点坐标，以及直线的斜率为，即可求出，，从而可得椭圆的离心率．

【解答】

解：设，，
则 ，  ，
 的中点坐标为，
，，
直线的方程是，
，
两式相减可得：，
，
，
，
，
，
，
．
故答案选B．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于一般题．
设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用，即可求得结论． 

【解答】

解：设等轴双曲线的方程为，
抛物线，，，，
抛物线的准线方程为，
设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点，，
则，
，
将，代入，得，
，
等轴双曲线的方程为，即，
的实轴长为．
故选C．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的方程和性质，主要考查直线与双曲线图象的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
设点在第一象限，点在第四象限，得出，，再求出，得出的面积．

【解答】

解：不防设点在第一象限，点在第四象限，
因为，
双曲线的渐近线为，
故，
所以，
所以，
又，则，
所以，
所以，
从而的面积为，
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了双曲线的标准方程、简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等知识点，属于中档题．
求出双曲线的方程，再根据弦长公式进行求解即可．

【解答】

解：双曲线：的一条渐近线方程是，
，
即，
左焦点，
，
，
，，
双曲线的方程为，
可得直线的方程为，
设，，
由，
消可得，
可知：，
，，

．
故选C．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单几何性质，属于中档题．
由直线与抛物线的位置，以及抛物线的定义得以，，求得点的坐标，由直线的斜率求得，得抛物线方程．

【解答】

解：因为、关于过点且斜率为的直线对称，
则，且，
又由抛物线定义知等于点到准线的距离，
所以，而，
即，解得，
代入抛物线方程得，
则，
解得，
所以抛物线的方程为．
故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义和性质，属于中档题．
由三角形相似可知，，可得点到准线的距离．

【解答】

解：由抛物线，可知，即为坐标原点，
过点作轴的垂线，垂足为，
由三角形相似可知，
所以，所以点到准线的距离为．
故选C．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想、计算能力，解题的关键是利用好几何关系、椭圆的定义，属于中档题．
过点作的平行线，交于点，设，，可得，由椭圆定义可得，，在中，由勾股定理可得：，，即可判断的正误；设，则．，即可判断正误．
【解答】
解：，，
过点作的平行线，交于点，．
设，由，可知，
又，，，
，由勾股定理可知，
三角形的周长为，．
，
，
在中，，，，

，
，，
椭圆离心率，故A正确，
直线的斜率，故B错，
设，易得，，
则，故C正确，
，故D错．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的性质和几何意义、定义、直线与双曲线的位置关系，余弦定理，属于一般题．
利用双曲线的几何性质及定义等逐一判断即可．

【解答】

解：因为， ，所以，．
又，所以，
所以，所以，
所以，解得，A正确
因为，所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，B正确
因为，所以，所以，所以．
又 ，，所以，
所以，C错误
联立得方程组，所以，
所以，
所以，
所以直线与双曲线有两个公共点，D正确．
故选ABD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

在双曲线中，实半轴长，虚半轴长，半焦距，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A中结论正确，中结论错误当在双曲线的左支上时，，，故 ，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故B中结论错误设，则，即，又渐近线方程为和，故到渐近线的距离之积为 ，为定值，故C中结论正确．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系的相关知识，属于中档题．
由题意，设出直线的方程，联立抛物线，从而得出，两点的横坐标，再结合抛物线的性质逐一分析各选项即可．

【解答】

解：如图，，直线的斜率为，

过交点、作准线的垂线，垂足为和，
倾斜角为，则直线方程为
联立

得，解得：，．

由，得．
所以抛物线方程为．

则，故B正确；
所以．
在中，

，，故C正确；
所以，则为中点， ，故A错误，D正确．
故选BCD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查考生分析和解决问题的能力，考查逻辑推理、数学运算，属于中档题．
解法一：设出直线的方程与联立消元，求出交点横坐标之和为，找出直线中与的关系，结合不等式求出纵坐标的取值范围．
解法二：设直线与的交点为，，，进一步得到，为坐标原点的斜率，结合，在椭圆上列方程组，化简求解可得直线的方程，结合点在椭圆的内部列式子求解即可．

【解答】

解：解法一：设，，
直线的方程为由于直线与轴相交，故斜率存在，
由，
得．
，在椭圆上，
，
即，，
又线段的中点在直线上，
，，即，
又，，即，
或，
即直线在轴上的截距的取值范围是

解法二：设直线与的交点为，

，，则，，

，为坐标原点的斜率分别为，，

又，在椭圆上，
，
两式相减可得，
即，

，，
直线的方程为，
于是直线在轴上的截距为，
又在椭圆的内部，
且，
所以，当且仅当时，取等号，
所以或．
即直线在轴上的截距的取值范围是．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的定义及几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
由题设结合双曲线的定义可得到，继而可求出双曲线的离心率．

【解答】

解：如图，因为双曲线的一条渐近线为，
与圆联立解得，
则，
则直线与圆相切于点，且，

由双曲线定义可知：
，且，
，，
．
又，，．
双曲线的离心率．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
根据题意，可得右焦点坐标为，联立，整理得可得，由与关于原点对称，设，，由，可得，从而得出，则，即，从而得出，进而得出双曲线的离心率．
【解答】
解：由题意可知：双曲线：焦点在轴上，右焦点，
则，整理得：，即，
与关于原点对称，设，，
，，
，
，
整理得：，
，即，
可得，
解得，负值舍去，
，
，可得，
故，
即，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，考查了抛物线的定义，考查了运算求解能力，属于中档题．
解法一几何法，根据题意画出图形，结合图形，利用抛物线的定义和直角三角形的边角关系，求出，即可写出抛物线的标准方程；
解法二代数法，设出直线的方程，得出点的坐标，再将直线方程与抛物线方程联立，消去解得点的坐标，由两点间距离公式列出关于的方程，解方程求得的值，再写出抛物线的标准方程．

【解答】

解：解法一几何法如图所示，
设，过点作与点，
由抛物线的定义知，，，；

在中，，
，
从而；
在中，，
，
所以，所以抛物线的标准方程为．
解法二代数法，直线的方程为，从而；
由消去，
得，
解得或舍去，从而；
由得，，
解得，所以抛物线的标准方程为．
故答案为．

17.【答案】解：设椭圆的方程为，
由题意，又，得，
．
椭圆的标准方程为；
设，代入椭圆的方程得：
   ，   ，
得：，
点为的中点，得，
由题可知直线斜率存在，
．
即，
点为中点的弦所在直线的方程为，
化为一般式方程：． 

【解析】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单性质，中点弦问题，属于中档题．
由题意设出椭圆的标准方程，并求得，再由离心率求得，结合隐含条件求得，则椭圆方程可求；
设出、的坐标，代入椭圆方程，作差求得所在直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．
 

18.【答案】解：因为，所以，
又因为，所以，
所以椭圆的方程为．
因为，
所以，
所以直线方程为，
代入得，．
，
设，，则，，不妨设在第一象限，
解得，，则，，
所以，
点到直线的距离为，
所以的面积为． 

【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
由题意求出，，即可得到椭圆方程；
求出，再利用点到直线距离公式求出点到直线的距离，代入三角形面积公式即可．
 

19.【答案】解：设双曲线方程为
由椭圆，
求得两焦点为，，
对于双曲线：，又为双曲线的一条渐近线，
解得，，
双曲线的方程为










由题意知直线得斜率存在且不等于零，
设的方程：，，，
则，
，
，

同理，
所以，
即，
又以及，
消去得，
当时，则直线与双曲线的渐近线平行，不合题意，，
由韦达定理有：


代入式得，，经检验此时，
所求点的坐标为． 

【解析】本题综合考查了直线与双曲线的位置关系以及向量共线问题，考查了综合分析和运算能力，属于较难题．
先求出椭圆的焦点找到双曲线中的，再利用直线为的一条渐近线，求出和的关系进而求出双曲线的方程；
先把直线的方程以及、两点的坐标设出来，利用，找到和与、两点的坐标和直线的斜率的关系，再利用、两点是直线和双曲线的交点以及，求出直线的斜率进而求出点的坐标．
 

20.【答案】解：由已知得   可得     ，
又双曲线中，所以的标准方程为：．
设直线，，，
由，消去可得，，
则，，，
因为直线与双曲线交于两支，所以且，即
解得：；
设，令，
，即直线过定点． 

【解析】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，需要注意根与系数的关系的运用，属于中档题．
根据题意可列出两个关于的方程，解出，再根据的关系求出，即可得到的标准方程；
设直线，，，联立直线方程与椭圆方程，由且，即可求出的取值范围；设，令，将的值代入即可求出，从而可知直线过定点，
从而得证．
 

21.【答案】解析由题意可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，

设方程为，则，

曲线的方程为．

由题意得直线的方程为，

联立得消去得，

设，，则，

则由抛物线的定义可得， ，

．

【解析】略
 

22.【答案】解：Ⅰ由抛物线定义得，
解得，
所以曲线方程为；
Ⅱ因为以线段为直径的圆过原点，
所以．
设直线的方程为，
与曲线方程联立，得，
解得，于是．
又直线的方程为，
同理：．
又直线斜率存在，
所以的直线方程为，
即．
故直线恒过定点． 

【解析】本题考查抛物线的标准方程以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
Ⅰ根据抛物线的定义即可求解；
Ⅱ可设直线的方程为，与抛物线方程联立，解得，同理可得，由两点式方程形式写出直线的方程，即可求出定点．