11.1与三角形有关的线段 培优--人教版八年级数学上册同步（提高+培优）练习

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11.1与三角形有关的线段 培优
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（ ）
A．12 B．10 C．9 D．6
【答案】D
【分析】
要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数．
【详解】
图1没有共用部分，要6根小木棍，
图2有共用部分，可以减少小木棍根数，
仿照图2得到图3，要7根小木棍，


同法搭建的图4，要9根小木棍，
如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍，
如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形，
∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根．


故选：D
【点睛】
此题考查的是组成图形的边的条数，解答此题需要灵活利用立体空间思维解答．
2．已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
题目由于在三角形中未确定大小，所以需要进行分类讨论：（1），作出符合题意的相应图形，由图可得：，根据角平分线的性质得：，在中，，故可得；（2）时，由图可得：，，在中，，故可得；综上可得：．
【详解】
解：（1）如图1所示：时，
图1



∵CD是AB边上的高，
∴，，
∵，，
∴，
∵CE平分，
∴，
在中，，
∴；
（2）如图2所示：时，
图2



∵CD是AB边上的高，
∴，，
∵，，
∴，
∵CE平分，
∴，
在中，，
∴；
综合（1）（2）两种情况可得：．
故选：D．
【点睛】
题目主要考查对三角形分类讨论、数形结合思想，主要知识点是三角形的角平分线、高线的基本性质及图形内角的运算，题目难点是在依据题意进行分类讨论的情况下，作出相应的三角形图形．
3．已知：如图，三条内角平分线交于点D，CE⊥BD交BD的延长线于E，则∠DCE=( )

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据角平分线的性质以及三角形的外角性质可推导出与的关系．
【详解】
由题意知，
由三角形内角和定理得，
∵点是三条内角平分线的交点
∴





∴
故答案选A.
【点睛】
本题考查角平分线的性质以及三角形的外角性质．
4．已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则化简|a－3|＋|a－7|的结果为（ ）
A．2a－10 B．10－2a
C．4 D．－4
【答案】C
【解析】
试题分析：已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则根据三角形的三边关系：可得：a-1>4-2，a-13，a0，a-73，a AB，
同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC，
以上三式左右两边分别相加得到:
2(PA+ PB+ PC)> AB+ BC+ AC,
即PA+ PB+ PC>(AB+ BC+ AC)，
∴PA+ PB+ PC>×（12+10+6）=14，
即PA+ PB+ PC>14
故选A.
【点睛】
本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论;
7．如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为40cm2，则△BEF的面积是（　　）cm2．

A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】
∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=S△ABD,S△ACE=S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×40=20cm2，
∴S△BCE=S△ABC=×40=20cm2，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=S△BCE=×20=10cm2.
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．


二、填空题
8．如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，E为CD的中点．动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A-B-C-E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当x=_______时，△APE的面积等于5．

【答案】或5
【解析】
【分析】
分P在AB上、P在BC上、P在CE上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：当P在AB上时，
∵△APE的面积等于5，
∴x•3=5，
x= ；
当P在BC上时，
∵△APE的面积等于5，
∴S矩形ABCD-S△CPE-S△ADE-S△ABP=5，
∴×（x-4）=5，
x=5；
③当P在CE上时，
（4+3+2-x）×3=5，
x=（不合题意），
故答案为或5．
【点睛】
本题考查的是三角形的面积计算，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
9．一个三角形有两边长分为3与2。若它的第三边的长为偶数。则它的第三边长为_________。
【答案】2或4
【解析】
【分析】
根据三角形的边的关系，求得第三边的取值范围，在结合偶数条件，即可确定答案。
【详解】
解：设第三边长为x
根据三角形的边的关系可得：1＜x＜5，
又由第三边为偶数，所以第三边长为2或4
故答案为：2或4
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，确定第三边的取值范围是关键。也可使用列举，但是容易因遗漏导致错误。
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的取值范围是______．

【答案】4.5≤BM≤8.5
【分析】
取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
【详解】
解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．

∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，
∴AC＝＝13，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝6.5，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝AD＝2，
∴BN﹣MN≤BM≤BN+NM，
∴6.5﹣2≤BM≤6.5+2，
∴4.5≤BM≤8.5，
故答案为：4.5≤BM≤8.5．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
11．若三角形的两边长分别为6和7，则第三边a的取值范围是_____．
【答案】1