初中数学人教版八年级上册本节综合导学案

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①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②不相交的两条直线必平行；③三角形的三条高线交于一点：④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】J5：点到直线的距离；J8：平行公理及推论；JB：平行线的判定与性质；K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力．
【分析】根据三角形的高、点到直线的距离定义、平行公理、平行线定义进行分析即可．
【解答】解：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原题说法错误；
②平面内，不相交的两条直线必平行，故原题说法错误；
③三角形的三条高线交于一点，应该是三条高线所在直线交于一点，故原题说法错误：
④直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故原题说法错误；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误．
错误的说法有5个，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的高、平行线，关键是注意点到直线的距离的定义．
2．如图，在△ABC中，AB边上的高是（ ）
A．ADB．BEC．BFD．CF
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形的高的定义进行判断即可．
【解答】解：在△ABC中，AB边上的高是：CF．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CFB．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAFD．S△ABC＝2S△ABF
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【解答】解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
4．如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．5条
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据三角形的高的定义：三角形的顶点到对边的垂直距离．得到可以作为三角形的高的条数．
【解答】解：可以作为△ACD的高的有AD，CD共2条；
可以作为△BCD的高的有BD，CD共2条；
可以作为△ABC的高的有AB，AC、CD共3条．
综上所述，可以作为三角形“高”的线段有：AD，CD、BD，AB，AC共5条．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键．
5．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段
B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．锐角三角形的三条高一定交于同一点
D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．
【解答】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确；
B、三角形的三条中线都在三角形内部，故正确；
C、锐角三角形的三条高一定交于同一点，故正确；
D、三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
故选：D．
【点评】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解．
6．如图，在△ABC中，D在BC上，O在AD上，若S△AOB＝3，S△BOD＝2，S△ACO＝1，则S△COD等于（ ）
A．B．C．D．
【考点】K3：三角形的面积．
【专题】552：三角形；66：运算能力；67：推理能力．
【分析】根据题意，利用△AOB和△AOC都有公共边OA可以求得点B和点C到直线AO的距离，进而求得S△COD的值．
【解答】解：∵S△AOB＝3，S△ACO＝1，
∴＝，
设点B到OA所在直线的距离为b，点C到AO所在的直线的距离为c，
∴＝，
∴＝＝，
∵S△BOD＝2，
∴S△COD＝，
故选：D．
【点评】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用三角形的面积和数形结合的思想解答．
7．如图所示，在△ABC中，M是边AB的中点，N是边AC上的点，且，CM与BN相交于点K，若△BCK的面积等于1，则△ABC的面积等于（ ）
A．3B．C．4D．
【考点】K3：三角形的面积．
【分析】连接AK，分别求出三角形AKC的面积、三角形AKB的面积与的三角形BKC的面积的比值，求出各自的面积，再求三角形ABC的面积．
【解答】解：连接AK，知＝，于是三角形AKC的面积为1．
又因＝2，于是三角形AKB的面积为2．
故三角形ABC的面积为1+1+2＝4．
故选：C．
【点评】考查了三角形面积的应用．关键掌握同底的三角形面积之比等于对应的高之比．
8．在工程建筑中工人师傅常在窗框未安装好之前斜钉上一根木条，其运用的数学原理是（ ）
A．三角形的稳定性
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
【考点】IC：线段的性质：两点之间线段最短；J4：垂线段最短；K4：三角形的稳定性．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：在工程建筑中工人师傅常在窗框未安装好之前斜钉上一根木条，其运用的数学原理是三角形的稳定性．
故选：A．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
9．袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ）
A．10cmB．15cmC．20cmD．25cm
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】552：三角形；69：应用意识．
【分析】先设第三根木棒的长为xcm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出不符合条件的x的值即可．
【解答】解：设第三根木棒的长为xcm，
∵已经取了10cm和15cm两根木棍，
∴15﹣10＜x＜15+10，即5＜x＜25．
∴四个选项中只有D不在其范围内，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
二、填空题
10．如图，图中以BC为边的三角形的个数为 4 ．
【考点】K1：三角形．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形的定义即可得到结论．
【解答】解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，
∴以BC为公共边的三角形的个数是4个．
故答案为：4．
【点评】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．
11．一个三角形的三边分别为3、10﹣m、4，则m的取值范围是 3＜m＜9 ．
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8﹣3＜m＜8+3，再解即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：4﹣3＜10﹣m＜4+3，
解得：3＜m＜9，
故答案为：3＜m＜9．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
12．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝ a﹣3b+c ．
【考点】15：绝对值；K6：三角形三边关系．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形三边关系得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，
∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，
|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，
故答案为：a﹣3b+c．
【点评】考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0．
13．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是 9 ．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形．
【分析】根据三角形的中线得出AD＝CD，根据三角形的周长求出即可．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为11，AB＝5，BC＝3，
∴△BCD的周长是11﹣（5﹣3）＝9，
故答案为9．
【点评】本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．
14．如图，在△ABC中有四条线段DE、BE、EF、FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是 BE ．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．
【解答】解：根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，
故答案为：BE
【点评】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
15．如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长多4cm．若AB＝16cm，那么AC＝ 12 cm．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形．
【分析】利用三角形中线的性质解决问题即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，又△ABD的周长比△ACD的周长多4cm
∴AB﹣AC＝4cm，
∵AB＝16cm，
∴AC＝12cm
故答案为12
【点评】本题考查三角形的角平分线，中线，高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝20cm2，则S△BEF＝ 5 cm2．
【考点】K3：三角形的面积．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×20＝10（cm2），
∴S△BCE＝S△ABC＝×20＝10（cm2），
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×10＝5（cm2）．
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
三、解答题
17．已知，已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，．
（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．
（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可；
（2）根据三角形周长和边的关系解答即可．
【解答】解：（1）∵，AC＝10cm，
∴AB＝15cm．
又∵△ABC的周长是33cm，
∴BC＝8cm．
∵AD是BC边上的中线，
∴．
（2）不能，理由如下：
∵，AC＝12cm，
∴AB＝18cm．
又∵△ABC的周长是33cm，
∴BC＝3cm．
∵AC+BC＝15＜AB＝18，
∴不能构成三角形ABC，则不能求出DC的长．
【点评】此题考查三角形的中线、高、角平分线，关键是根据三角形中线的性质解答．
18．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为60，BD＝5，则点E到BC边的距离为多少？
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高；K3：三角形的面积；K7：三角形内角和定理．
【分析】（1）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求∠BED的度数；
（2）△BED是钝角三角形，所以BD边上的高在BD的延长线上；
（3）先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得△BED的面积，再直接求点E到BC边的距离即可．
【解答】解：（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+35°＝50°．
（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．
（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
∴S△BED＝S△ABC＝×60＝15；
∵BD＝5，
∴EF＝2S△BED÷BD＝2×15÷5＝6，
即点E到BC边的距离为6．
【点评】本题主要考查了三角形的高、中线、角平分线，三角形的面积和三角形的内角和等知识，注意全面考虑问题，熟记三角形的中线把三角形分成的两个小三角形面积一定相等．
19．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
（1）画出△ABC中边BC上的高AD；
（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；
（3）直接写出△ABE的面积为 4 ．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高；K3：三角形的面积；N2：作图—基本作图．
【专题】13：作图题．
【分析】（1）根据三角形高线的定义画出图形即可；
（2）根据三角形中线的定义画出图形即可；
（3）根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，线段AD即为所求；
（2）如图所示，线段BE即为所求；
（3）S△ABC＝BC•AD＝4×4＝8．
∴△ABE的面积＝S△ABC＝4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了基本作图，根据题意利用网格画出符合题意的图形是解题关键．
20．如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3），解答下列问题：
（1）点C到x轴的距离是 3 ，△ABC的面积为 18 ；
（2）点P在y轴上，当△ABP的面积为12时，求点P的坐标．
【考点】D5：坐标与图形性质；K3：三角形的面积．
【专题】552：三角形；64：几何直观；66：运算能力．
【分析】（1）直接利用C点坐标得出点C到x轴的距离，根据三角形的面积求解可得；
（2）利用△ABP的面积为12，得出P到AB的距离进而得出答案．
【解答】解：（1）如图∵A（﹣2，3），B（4，3），C（﹣1，﹣3），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到x的距离是|﹣3|＝3；
△ABC的面积是：＝18；
故答案为3，18
（2）∵点P在y轴上，
∴设P（0，m），
∵△ABP的面积为12时，
∴×|m﹣3|＝12
∴|m﹣3|＝4，
∴m＝﹣1或7
故点P的坐标为：（0，﹣1），（0，7）．
【点评】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质等知识点，能求出AB的长和分别求出点C、P到直线AB的距离是解此题的关键．
21．在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，﹣2），C（a，b），且+|a+2b﹣7|＝0．
（1）求点C的坐标；
（2）画出△ABC并求△ABC的面积；
（3）若BC与x轴交点为点M，求点M坐标．
【考点】16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根；98：解二元一次方程组；D5：坐标与图形性质；K3：三角形的面积．
【专题】531：平面直角坐标系；552：三角形；64：几何直观；69：应用意识．
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性得：2a﹣b+1＝0，a+2b﹣7＝0，列方程组，解出即可得解；
（2）根据坐标确定点A，B，C，并画出△ABC，作辅助线，构建长方形，根据面积差即可得解；
（3）根据三角形面积和列等式即可得解．
【解答】解：（1）∵+|a+2b﹣7|＝0，
∴，
解得：，
∴C（1，3）；
（2）如图，△ABC为所作，
如图，分别过点B，点C作x轴的平行线BF，DE，过点A，点B作y轴的平行线DF，EB，
∴S△ABC＝S四边形DFBE﹣S△ADC﹣S△BCE﹣S△ABF，
＝4×5﹣﹣﹣，
＝8；
（3）设点M的坐标为（m，0），
∵S△ABC＝S△AMC+S△ABM，S△ABC＝8，
∴，
∴AM＝，
∴m﹣（﹣1）＝，
∴m＝，
∴M（，0）．
【点评】本题考查了非负数的性质，坐标和图形的性质，三角形的面积，利用加减法解二元一次方程组，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．（1）下列图中具有稳定性是 ①④⑥ （填序号）
（2）对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
（3）图5所示的多边形共 9 条对角线．
【考点】K4：三角形的稳定性．
【分析】（1）根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性；
（2）将不具有稳定性的图形分割成三角形即可具有稳定性；
（3）n边形共有条对角线，代入求解即可．
【解答】解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个．
（2）如图所示：
（3）六边形的对角线有＝9条，
故答案为：①④⑥，9．
【点评】本题主要考查三角形的稳定性．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
23．若△ABC的三边分别为a，b，c，其中a，b满足+（b﹣8）2＝0．
（1）求边长c的取值范围，
（2）若△ABC是直角三角形，求△ABC的面积．
【考点】1F：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根；K3：三角形的面积；K6：三角形三边关系．
【专题】552：三角形；554：等腰三角形与直角三角形；64：几何直观．
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）分b是直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求出另一直角边，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵a，b满足+（b﹣8）2＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，
∴a＝6，b＝8，
∴8﹣6＜c＜8+6，即2＜c＜14．
故边长c的取值范围为：2＜c＜14；
（2）b＝8是直角边时，6是直角边，△ABC的面积＝×6×8＝24；
b＝8是斜边时，另一直角边＝＝2，
△ABC的面积＝×6×2＝6．
综上所述，△ABC的面积为24或6．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．同时考查了勾股定理，难点在于要分情况讨论．
24．如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，
求证：AB+AC＞BP+CP．
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】由三角形的三边关系可得AB+AD＞BD，CD+PD＞PC，即可得结论．
【解答】证明：在△ABD中，AB+AD＞BD，
在△PDC中，CD+PD＞PC，
∴AB+AD+CD+PD＞BD+PC
∴AB+AC＞BP+CP．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练运用三角形的三边关系是本题的关键．
25．（1）在△ABC的两条边的长度分别为4和5，若第三条边也为整数，求第三条边的长度．
（2）在△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，求第三条高的长度．
（3）某工程，甲队单独做完所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，求的值．
【考点】6C：分式的混合运算；K3：三角形的面积；K6：三角形三边关系．
【专题】513：分式；552：三角形．
【分析】（1）根据三角形的三边关系求出第三边c的范围即可解决问题．
（2）设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么a＝，b＝，c＝，利用三边关系构建不等式求解即可．
（3）分别设出甲、乙、丙单独做完成工程所需天数，利用工作时间＝工作总量÷工作效率解答即可
【解答】解：（1）由题意第三边c的范围：1＜c＜9，
∵c为整数，
∴c的值为2或3和4或5或6或7或8．
（2）设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么
a＝，b＝，c＝，
又∵a﹣b＜c＜a+b，
∴﹣＜c＜+，
即 ＜＜，
解得3＜h＜6，
∵h是整数，
∴h＝4或h＝5，
（3）设甲、乙、丙单独完成这项工程各需x天、y天、z天，根据题意得，
x＝a•＝，
由此得出a＝，a+1＝，＝；
同理可得＝；＝；
所以＝＝1．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，分式方程在工程问题中的应用及分式的加法运算，有一定难度．根据工作时间＝工作总量÷工作效率列出方程是解题的关键，根据比例的性质及分式的运算法则进行变形是本题的难点．