人教版八年级上册第十一章 三角形11.1 与三角形有关的线段本节综合同步达标检测题

这是一份人教版八年级上册第十一章 三角形11.1 与三角形有关的线段本节综合同步达标检测题，共10页。试卷主要包含了1　与三角形有关的线段，按组成三角形的图形个数去数，2 cm，7等内容，欢迎下载使用。

第十一章 三角形
11.1　与三角形有关的线段
典型例题
题型一　三角形的有关概念
例1　下列说法：
①首尾相连的三条线段组成的图形是三角形；
②三角形的顶点到对边的距离是三角形的高；
③三角形的角平分线是射线；
④三角形的三条高所在的直线交于一点，这点不是在三角形内，就是在三角形外；
⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线.
其中正确的是　　　　.(只填序号)
解析：①三角形的定义要满足三个要素：(1)不在同一条直线上；(2)三条线段；
(3)首尾顺次相接.三点缺一不可，故①错误.三角形的高、角平分线都是线段，线段是几何图形，而距离是指相应线段的长，故②③错误.直角三角形的三条高的交点在三角形的直角顶点处，故④错误.只有⑤正确.　　
答案：⑤
点拨：三角形中的高、中线、角平分线都是线段，要注意高(线段)与垂线(直线)，角平分线(线段)与射线的区别；在直角三角形中，两条直角边也是三角形的两条高线.
题型二　找三角形
例2　如图11-1-1所示，(1)图中共有多少个三角形？请把它们写出来.
(2)线段AE是哪些三角形的边？
(3)∠B是哪些三角形的角？
图11-1-1
分析：(1)按照一定的顺序或规律数三角形的个数可以保证不重不
漏；(2)突破口在于由三角形定义知，除了顶点A，E外再找第三个顶点，
这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)正确找出以点B为一个顶点的三角形.
解：(1)图中共有6个三角形，它们分别是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC.
(2)线段AE分别是△ABE，△ADE和△ACE的边.
(3)∠B是△ABD，△ABE和△ABC的角.
方法归纳
在复杂图形中数三角形个数的方法有四种：
1.按图形形成的过程去数(即重新画一遍图形，按照三角形形成的先后顺序去数).
2.按组成三角形的图形个数去数.
3.可从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数.
4.先固定一个顶点，不断变换另两个顶点来数.
题型三　判断三角形的类型
例3　下列说法中，正确的有(　　)
①锐角三角形中最大的角一定小于90°；②所有的等边三角形都是锐角三角形；③所有的等腰三角形都是锐角三角形；④直角三角形一定不是等腰三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：根据三角形按边分类和按角分类的标准，准确把握各种说法中的关键字眼，并作出判断.最大的角小于90°，即三个角都为锐角，满足锐角三角形的条件，故①正确；等边三角形的三个角都是60°，所以是锐角三角形，故②正确；顶角是钝角的等腰三角形是钝角三角形，故③错误；直角三角形可能是等腰三角形，一副三角尺中就有一个三角尺既是等腰三角形，又是直角三角形，故④错误.
答案：B
题型四　判断三条线段能否构成三角形
例4　(2019·贵州毕节中考)在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是(　　)
A.2 cm，3 cm，4 cm B.3 cm，6 cm，7 cm
C.2 cm，2 cm，6 cm D.5 cm，6 cm，7 cm
解析：A.2+3>4，能组成三角形；B.3+6>7，能组成三角形；C.2+2<6，不能组成三角形；D.5+6>7，能组成三角形.
答案：C
方法指导：先找出三条线段中最长的线段，用较短的两条线段之和与最长线段作比较.大于则能组成三角形，小于或等于则不能.
例5　(江苏泰州中考)已知三角形两边的长分别为1，5，第三边长为整数，则第三边的长为　　　　.
解析：由“三角形三边关系”得5-1<第三边的长<5+1，即4<第三边的长<6.又因为第三边长为整数，所以第三边的长为5.　　
答案：5
方法归纳
通过多个条件确定三角形第三边取值(范围)的方法：

题型五　三角形三边关系的应用
例6　(广西玉林中考)在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是(　　)
A.1 cm C.4 cm 解析：设AB＝AC＝x cm，则BC＝(20-2x)cm.
根据三角形的三边关系，得
解得5 答案：B
例7 (2020·浙江绍兴中考)长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
解析：①当长度分别为5(2+3)，3，4时，能构成三角形，且最长边长为5；
②当长度分别为2，6(3+3)，4时，不能构成三角形；
③当长度分别为2，3，7(3+4)时，不能构成三角形.
综上所述，得到的三角形的最长边长为5.
答案：B
例8　小刚要从长度分别为5 cm，6 cm，11 cm，16 cm的四根木棒中选出三根围成一个三角形，那么他应该选择哪三根木棒？为什么？
分析：从四根木棒中选取三根，做到不重不漏的方法可以采用列表呈现：
第一根
第二根
第三根
所抽的三根木棒
5 cm
6 cm
11 cm或16 cm
5 cm，6 cm，11 cm或
5 cm，6 cm，16 cm
5 cm
11 cm
16 cm
5 cm，11 cm，16 cm
6 cm
11 cm
16 cm
6 cm，11 cm，16 cm
因此，一共有4种情况，分别根据三角形的三边关系验证即可.
解：小刚应该选择长度为6 cm，11 cm，16 cm的三根木棒.
理由：从长度分别为5 cm，6 cm，11 cm，16 cm的四根木棒中选出三根有4种情况：
①选择长度分别为5 cm，6 cm，11 cm的三根木棒，
因为5+6＝11，所以长度为5 cm，6 cm，11 cm的三根木棒不能构成三角形；
②选择长度分别为5 cm，6 cm，16 cm的三根木棒，
因为5+6<16，所以长度为5 cm，6 cm，16 cm的三根木棒不能构成三角形；
③选择长度分别为5 cm，11 cm，16 cm的三根木棒，
因为5+11＝16，所以长度为5 cm，11 cm，16 cm的三根木棒不能构成三角形；
④选择长度分别为6 cm，11 cm，16 cm的三根木棒，
因为6+11>16，所以长度为6 cm，11 cm，16 cm的三根木棒能构成三角形.
故小刚应该选择长度分别为6 cm，11 cm，16 cm的三根木棒.
点拨：从四个数中选取三个，关键是做到不重不漏.判断三条线段能否构成三角形时，只要验证较短的两条线段长度之和是否大于最长的线段的长度即可，不必每一种情况都要验证.
题型六　利用三角形的三边关系确定三角形的个数
例9　已知在△ABC中，如果三边长a，b，c都是整数，且满足a>b>c，a＝8，那么满足条件的三角形共有多少个？
分析：首先确定b的取值范围，然后分类讨论，为了不重复、不遗漏，可用列表法.
解：由a>b>c，b+c>a可知4 进一步可得c，列表讨论如下：
a
8
8
8
b
5
6
7
c
4
5，4，3
6，5，4，3，2
∴ 满足条件的三角形共有1+3+5＝9(个).
题型七　三角形三边关系的综合应用
例10　(河北中考)如图11-1-2①所示，M是铁丝AD的中点.将这根铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图11-1-2②所示.下列说法中，正确的是(　　)

图11-1-2
A.点M在AB上 B.点M在BC的中点处
C.点M在BC上，且距点B较近 D.点M在BC上，且距点C较近
解析：由三角形的三边关系可知，AC+BC>AB，所以点M不在AB上.同理，点M不在AC上，所以点M在BC上.因为∠B＝30°，∠C＝100°，所以AC 答案：C
例11　如图11-1-3所示，点P是△ABC内一点，试判断AB+AC与PB+PC的大小关系，并说明理由.
分析：本题可添加辅助线，利用三角形三边关系来求解.
解：AB+AC>PB+PC.理由如下：
图11-1-3
延长CP交AB于点D.
在△ADC中，AD+AC>PC+PD.
在△BPD中，BD+PD>BP.
∴ BD+PD+AD+AC>BP+ PC+PD，
即AB+AC+PD>PD+PC+PB，
∴ AB+AC>PB+PC.
题型八　化简代数式
例12　已知△ABC的三边长分别为a，b，c，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.
分析：要化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|，需要知道a-b-c，b-c-a，c-a-b是正数还是负数，然后根据绝对值的性质进行化简.∵ a，b，c是△ABC的三边长，∴ 满足三角形的三边关系，即a，b，c中的任意两边的和大于第三边：a+b>c，a+c>b，b+c>a，∴ a-b-c＝a-(b+c)<0，从而可知a-b-c为负数，同样可知另外两个式子的正负性.
解：∵ a ∴ |a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|
＝-(a-b-c)-(b-c-a)-(c-a-b)
＝-a+b+c-b+c+a-c+a+b
＝a+b+c.
方法归纳
绝对值化简的方法：
1.定符号：先要判断出绝对值符号里面的式子的正负性.
2.去绝对值符号：根据绝对值的意义将绝对值符号去掉.
3.整理化简：最后合并化简式子.
解决此类问题的关键是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简.
题型九　求解等腰三角形的问题
例13 (2020·黑龙江齐齐哈尔中考)等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　　　　.
解析：(1)当3是腰长时，三角形的三边长分别为3，3，4，能组成三角形，周长＝3+3+4＝10；
(2)当3是底边长时，三角形的三边长分别为3，4，4，能组成三角形，周长＝3+4+4＝11.
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11.
答案：10或11
例14　用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm.
根据题意，得2x+2x+x＝18，解得x＝3.6，
∴ 三边长分别为7.2 cm，7.2 cm，3.6 cm.
(2)如果4 cm长的边为底边，那么可得腰长为7 cm，
∴ 此时三边的长分别为7 cm，7 cm，4 cm.
如果4 cm长的边为腰，那么可得底边长为10 cm.
∵ 4+4＝8<10，∴ 此时三角形不存在.
方法归纳
解决等腰三角形有关边长问题常见两种题型的方法：
1.已知等腰三角形的两边长，求周长.
方法：先根据底和腰进行分类讨论，再利用三角形的三边关系作出判断，最后计算周长.
2.已知等腰三角形的周长和一边长，求另两边长.
方法：先对已知边长进行分类讨论(底、腰)并计算，最后利用三角形的三边关系作判断，并作出结论.
例15　已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求这个等腰三角形的底角.
解：(1)如图11-1-4所示，高BD在△ABC内部.
∵ BD⊥AC，∴ ∠BDC＝90°.
由题意，得∠DBA＝40°.
在△BDA中，∠A＝180°-90°-40°＝50°.
∵ ∠ABC＝∠C，
∴ ∠C＝(180°-50°)÷2＝65°.
　　
图11-1-4　 　图11-1-5　 　 图11-1-6
(2)如图11-1-5所示，高BD与BA重合.此时∠DBC＝45°，∠DBA＝0°，这与已知条件矛盾，故这种情况不存在，舍去.
(3)如图11-1-6所示，高BD在△ABC外部.
∵ BD⊥AC，∴ ∠D＝90°.
由题意，得∠DBA＝40°.
在△BDA中，∠BAD＝180°-90°-40°＝50°.
∵ ∠ABC＝∠C，∠BAD＝∠ABC+∠C，
∴ ∠C＝50°÷2＝25°.
综上所述，等腰三角形的底角为65°或25°.
点拨：涉及计算等腰三角形的角度的问题时，要根据顶角和底角进行分类讨论.在顶角中还要考虑顶角的类型，即锐角、直角和钝角三种情况.
题型十　三角形高的问题
例16　(四川广安中考)下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是(　　)
　　　　 　　
A　 　 　 B　　 　 C　 　 D
解析：过点B作BE⊥AC，E为垂足，则线段BE是△ABC的高.　　
答案：D
例17　分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并描述所看到的现象.
分析：本题主要考查三角形高的定义及画法.
解：如图11-1-7所示.
　 　
锐角三角形　 直角三角形 　钝角三角形
图11-1-7
结论：锐角三角形的三条高的交点在三角形内，直角三角形的三条高的交点为直角顶点，钝角三角形的三条高的延长线的交点在三角形外.
点拨：检查画出的高是否正确，可检查是否满足下面两个条件：①看这条高的一端是不是三角形的顶点；②看另一端是否垂直于三角形的边.
题型十一　三角形的高的计算问题
例18　如图11-1-8所示，AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，且AC与BD交于点E.那么：
(1)△ADE的边DE上的高为　　　　，边AE上的高为　　　　　；(2)若AE＝5，DE＝2，CD＝，则AB＝　　　　.
图11-1-8
解析：△ADE是钝角三角形，在三角形外部有两条高：边DE上的高为AB，边AE上的高为DC.又S△ADE＝DE·AB＝AE·DC，即×2AB＝×5×，
解得AB＝.
答案：(1)AB　DC　(2)
点拨：当已知三角形的两条高求其他边长或已知一高与其他边长求另一高时，常用面积作为中间量，也就是说当题中出现高较多时，根据同一个三角形的面积相等构造方程来解决问题.
例19　已知AD是△ABC的高，∠BAD＝62°，∠CAD＝28°，则△ABC是什么三角形？
分析：由于题目没有给出图形，而三角形的高AD可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，不可能同边重合，所以本题应分两种情况讨论.
解：如图11-1-9①所示，当AD在△ABC的内部时，
∵ ∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝62°+28°＝90°，∴ △ABC是直角三角形.
　　　　
①　　　　 　　 　②
图11-1-9
如图11-1-9②所示，当AD在△ABC的外部时，
∵ ∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝62°-28°＝34°，∠ABC＝90°-∠BAD＝90°-62°＝28°，
∴ ∠ACB＝180°-∠ABC-∠BAC＝180°-28°-34°＝118°.
∴ △ABC为钝角三角形.
综上可知，△ABC是直角三角形或钝角三角形.
题型十二　有关三角形中线计算问题
例20　如图11-1-10所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长比△ACD的周长大6 cm，则AB与AC的差为(　　)
图11-1-10
A.2 cm B.3 cm C.6 cm D.12 cm
解析：本题直接考查三角形中线的定义，因为AD是△ABC的中线，所以
BD＝CD，△ABD的周长为AB+AD+BD，△ACD的周长为AC+AD+CD，由题
意可知(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)＝AB-AC，故AB与AC的差为6 cm.　　
答案：C
点拨：解决三角形周长问题要灵活运用中线.
例21　如图11-1-11所示，已知△ABC的周长为16 cm，AD是BC边上的中线，AD＝AB，AD＝4 cm，△ABD的周长是12 cm，求△ABC各边的长.
图11-1-11
解：因为AD＝4 cm，AD＝AB，所以AB＝AD＝5 cm.
又因为△ABD的周长是12 cm，所以BD＝12-5-4＝3(cm).
因为AD是BC边上的中线，所以BC＝2BD＝6 cm.
因为△ABC的周长为16 cm，所以AC＝16-5-6＝5(cm).
点拨：首先利用线段关系和三角形的周长求出相关线段长度，再结合中线有关的结论求得结果.
例22　如图11-1-12所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长.
分析：由题意可知，中线BD将△ABC的周长分成AB+AD和BC+CD两部分(注意不是AB+AD+BD和BC+DC+BD两部分)，故有两种可能：(1)AB+AD＝12且BC+CD＝6；(2)AB + AD＝6且BC+CD＝12.由AB＝AC＝2AD＝2CD及三角形三边关系知(1)成立，(2)不成立.
图11-1-12
解：设AB＝AC＝2x，则AD＝CD＝x.
(1)当AB+AD＝12，BC+CD＝6时，有2x+x＝12，
所以x＝4，2x＝8，BC＝6-4＝2.
(2)当BC+CD＝12，AB+AD＝6时，有2x+x＝6，所以x＝2，2x＝4，所以BC＝10.
因为4+4<10，所以此种情况不能组成三角形.
故这个三角形的腰长为8，底边长为2.
点拨：涉及求等腰三角形的边长问题时，常要先分情况讨论，然后看它们是否满足三边关系，不满足的要舍去.

题型十三　利用中线求解面积问题
例23　如图11-1-13所示，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，CE边上的中点，且S△ABC＝4 cm2，则S△BEF的值为(　　)
A.2 cm2 B.1 cm2
图11-1-13
C.cm2 D.cm2
解析：∵点E是AD的中点，∴ S△BCE＝S△ABC .
∵点F是CE的中点，∴ S△BEF＝S△BCE，
∴ S△BEF＝×S△ABC＝S△ABC .
∵ S△ABC＝4 cm2，∴ S△BEF＝×4＝1(cm2)，故选B.　　
答案：B
方法归纳
巧用三角形的中线
三角形中任一条中线，都将三角形分成等底同(等)高的两个面积相等的三角形.当高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比.
例24　如图11-1-14所示，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，记△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF-S△BEF＝　　　　.
图11-1-14
解析：求解有关三角形的面积问题时，如果出现中线，则利用中线分成的两个三角形等底同高的性质进行转化求解.设S△ADF＝x，S△BEF＝y，连接CF.
依题意，S△CDF＝x，S△CEF＝2y，而S△ABC＝12，EC＝2BE，所以S△AEC＝S△ABC ＝×12＝8＝S△ADF+S△FDC+S△EFC＝2x+2y.又因为D是AC的中点，所以S△BDC＝S△ABC＝×12＝6＝x+3y，故有方程组解得所以S△ADF-S△BEF＝x-y＝3-1＝2.　　
答案：2
点拨：在解答含有中线的三角形面积问题时，突破口是等底同高的三角形的面积相等.本题中正确建立方程组是关键的一步.
题型十四　三角形角平分线性质的应用
例25　如图11-1-15所示，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝40°，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，则∠DAE的度数为　　　　.
图11-1-15
解析：因为∠B＝80°，∠C＝40°，所以∠BAC＝60°.因为AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，所以∠ADB＝90°，∠BAE＝∠CAE＝30°，所以∠DAE＝∠BAE-∠BAD＝30°-(90°-∠B)＝30°-(90°-80°)＝20°.　　
答案：20°
点拨：有三角形的高这一条件时，要联想到90°的角；有三角形的角平分线这一条件时，要联想到角相等.
题型十五　三角形的稳定性的应用
例26　如图11-1-16所示，具有稳定性的图形是(　　)
　　　
①　　　 　②　 ③　 　④
图11-1-16
A.只有①② B.只有③④
C.只有②③ D.有①②③
解析：根据三角形的稳定性，图中具有稳定性的有②③，而④虽然含有三角形，但右侧的四边形不具有稳定性，所以整体也就不具有稳定性.故选C.　　
答案：C
点拨：本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥等.因此，要使一些图形具有稳定性的结构，往往通过作辅助线将其转化为三角形的形状.
拓展资料
学会把握三角形的支撑
三角形具有稳定性.古埃及法老就利用了三角形的稳固、坚定、耐压的特点，建造出了金字塔(如图11-1-17所示)这一世界奇迹.金字塔依三角形的定律以其独特的构造，支撑起了那永久的压力.参天大树挺拔耸立，枝繁叶茂，正是来自深扎大地的根与干构成的三角形的支撑.所以，根死树必枯.凌云高楼巍峨壮观，气势撼人，正因为那来自坚实基石构成的三角形稳固的支撑，所以，基陷楼必危.刚强的柱石支撑起了百年不倒的大桥，坚韧的钢轨支撑起了呼啸奔驰的列车，是因为它们都得益于三角形结构的强大支撑.台下十年功，支撑起台上一分钟；读书十年苦，支撑起一朝天下名.这里面难道就没有“三角形”的支撑吗？若没有意志、目标和追求这三点组成的“三角形”的支撑，谈何成功；失去意志、目标和追求这一“三角形”的支撑，耀眼的光辉怎么不会黯然失色？司马迁在遭受宫刑这一奇耻大辱后，正是因为有了信念、毅力和追求的支撑，才使他完成了《史记》这一历史巨著.越王勾践卧薪尝胆，受尽了屈辱，但是志向、决心和毅力支撑着他，最终以少胜多，大败吴军，名垂千古.

图11-1-17
一位打破了世界纪录的举重运动员说：“我撑得起世界纪录，但我举不起平时留下的汗水.”噢，原来那世界纪录也是由意志、信念和汗水来支撑的.
能支撑起惊人奇迹的，同样也是惊人的平凡与简单，普通做到极致也就不再普通了.把简单坚持到了尽头也就不再简单了.
“三角形定理”教会我们：要立足于这个竞争日益激烈的社会，只有把握住我们自己人生中的“三点三线”，才能成功.人生没了信念、梦想、自信的支撑，哪里能换来生命的绚丽？
支撑的力量是伟大的，支撑的过程是困难的，支撑的结果也是沉默的.我们只有把握好人生的“三角形”，才能支撑住我们自己的光彩人生.
我是小博士
一天数学小博士听到三角形和四边形在一起争论：具有稳定性好还是没有稳定性好.
三角形：“具有稳定性的我最好，因为我牢固，不易变形，所以我最受欢迎，不像你没有坚定的立场！”
四边形：“灵活性强，可伸可缩，我的这些优点比起你那呆板、简单、一成不变的形式不知有多优越！”
三角形：“我广泛应用于人类的生产生活中，如三角尺、钢架桥、起重机、屋顶的钢架，我的用途大！”
四边形：“我的用途广，像活动衣架、缩放尺、活动铁门等，人类的生活因为我而丰富多彩！”
……
假如你是数学小博士，你会如何来调解它们的争论？