资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩37页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
2021学年第十一章 三角形11.1 与三角形有关的线段本节综合学案及答案
展开
这是一份2021学年第十一章 三角形11.1 与三角形有关的线段本节综合学案及答案，文件包含111与三角形有关的线段讲义学生版docx、111与三角形有关的线段讲义教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共54页， 欢迎下载使用。
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
知识点一：三角形及其相关概念（重点）
例题1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K1：三角形．
【分析】因为三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义．
例题2．如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（ ）对．
A．8 B．16 C．24 D．32
【考点】K1：三角形．
【专题】23：新定义．
【分析】根据有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，首先确定三角形的边，然后确定三角形即可．
【解答】解：以AB为公共边的三角形有：△ABD和△ABC；
以AC为公共边的三角形有：△ACE和△ACB；
以AD为公共边的三角形有：△ADE和△ABD；
以AE为公共边的三角形有：△AED和△AEC；
以BC为公共边的三角形有：△BCO和△BCA和△BCD和△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对；
以BD为公共边的三角形有：△BDC，△BDE，BDA任何两个都是3对共边三角形；
以BE为公共边的三角形有：△BEO，△BED，△BEC任何两个都是3对共边三角形．
以OB为公共边的三角形有：△OBE和△OBC；
以CD为公共边的三角形有：△CDO和△CDB和△CDE任何两个都是3对共边三角形．
以CE为公共边的三角形有：△CED，△CEA，△CEB任何两个都是3对共边三角形；
以CO为公共边的三角形有：△COD和△COB；
以DE为公共边的三角形有：△AED和△OED和△BED和三角CED，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对；
以OD为公共边的三角形有：△ODC和△ODE；
以OE为公共边的三角形有：△OBE和△ODE．
共32对．
故选：D．
【点评】本题主要考查了共边三角形的定义，正确理解定义是解题的关键．
例题3．如图，图中三角形的个数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【考点】K1：三角形．
【专题】2A：规律型；64：几何直观．
【分析】根据三角形的定义进行判断．只要数出BC上有几条线段即可．很明显BC上有6条线段，所以有6个三角形．
【解答】解：BC上有6条线段，所以有6个三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形的定义中应注意“首尾顺次连接”这一含义．
变式1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K1：三角形．
【专题】55：几何图形．
【分析】根据三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形解答，
【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义．
变式2．在△ABC中，BC边的对角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
【考点】K1：三角形．
【专题】55：几何图形．
【分析】由对角、对边的关系可求得答案．
【解答】解：在△ABC中，BC边的对角是∠A，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．
变式3．如图，图中有 3 个三角形，以AD为边的三角形有 △ABD，△ADC ．
【考点】K1：三角形．
【专题】55：几何图形．
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
【解答】解：图中共有3个三角形；它们是△ABD；△ADC；△ABC；
以AD为边的三角形有△ABD，△ADC；
故答案为：3；△ABD，△ADC
【点评】此题主要考查了三角形中的重要元素，关键是正确理解三角形的定义．
变式4．如图，以点A为顶点的三角形有 4 个，它们分别是 △ABC，△ADC，△ABE，△ADE ．
【考点】K1：三角形．
【分析】根据三角形的定义得出答案即可．
【解答】解：以点A为顶点的三角形有4个，它们分别是△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．
故答案为：4，△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．
【点评】此题主要考查了三角形的定义，得出三角形个数是解题关键．
变式5．如图，△ABC中，AB与BC的夹角是 ∠B ，∠A的对边是 CB ，∠A、∠C的公共边是 AC ．
【考点】K1：三角形．
【分析】根据组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角进行分析即可．
【解答】解：△ABC中，AB与BC的夹角是∠B，∠A的对边是BC，∠A、∠C的公共边是AC，
故答案为：∠B；BC；AC．
【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关定义．
变式6．如图，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形，
（1）其中以AB为一边可以画出 3 个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出 6 个三角形．
【考点】K1：三角形．
【分析】（1）根据以AB为一边，分别得出符合题意的三角形即可；
（2）根据以C为顶点，分别得出符合题意的三角形即可．
【解答】解：（1）其中以AB为一边可以画出3个三角形为：△ABE，△ABD，△ABC；
（2）其中以C为顶点可以画出6个三角形为：△ABC，△BCD，△BCE，△ADC，△DEC，△ACE．
故答案为：（1）3；（2）6．
【点评】此题主要考查了三角形的定义，根据三角形定义得出是解题关键．
知识点二：三角形的分类
例题1．三角形按边分类可分为（ ）
A．不等边三角形、等边三角形
B．等腰三角形、等边三角形
C．不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
D．不等边三角形、等腰三角形
【分析】根据三角形按边的分类方法即可确定．
【解答】解：三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的分类，要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．
变式1．下列说法正确的有（ ）
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④
【分析】①根据等腰三角形及等边三角形的定义进行解答即可；
②由三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，可得结论；
③根据等腰三角形的定义进行解答；
④根据三角形按角分类情况可得答案．
【解答】解：①∵有两个边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，
∴等腰三角形不一定是等边三角形，
∴①错误；
②∵三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，
∴②错误；
③∵两边相等的三角形称为等腰三角形，
∴③正确；
④∵三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
∴④正确．
故选C．
【点评】本题主要考查了与三角形相关的知识，熟练掌握三角形的分类是解答此题的关键．
变式2．试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
【分析】根据三角形的分类方法进行分析判断．三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）．
【解答】解：A、如等腰直角三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
B、如等边三角形，既是等腰三角形，也是锐角三角形，故该选项错误；
C、如顶角是120°的等腰三角形，是钝角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
D、一个等边三角形的三个角都是60°．故该选项正确．
故选D．
【点评】此题考查了三角形的分类方法，理解各类三角形的定义．
例题2．如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（ ）
A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
【分析】因为BC边变大，∠A也随着变大，∠C在变小．所以此题的变化为：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．
【解答】解：根据∠A的旋转变化规律可知：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．
故选D．
【点评】解题时要注意三角形的变化：∠B不变，∠A变大，∠C在变小．
变式1．用集合来表示“用边把三角形分类”，下面集合正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．
【解答】解：三角形根据边分类，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
变式2.下列说法正确的有（ ）
（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形的两边之差大于第三边；（3）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；
（2）根据三角形的三边关系知，三角形的两边之差小于第三边，错误；
（3）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；
（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．
知识点三：三角形三边的关系（重难点）
例题．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．5，12，17 D．6，8，20
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+4＝7＞5，能够组成三角形，符合题意；
C、12+5＝17，不能够组成三角形，不符合题意；
D、6+8＝14＜20，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
变式1．在下列四组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，6cm，9cm B．2cm，3cm，5cm
C．3.4cm，2.7cm，6cm D．3cm，4cm，7cm
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵6+2＜9，∴不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；
B、∵2+3＝5，∴不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；
C、∵3.4+2.7＞6，∴能组成三角形，故本选项正确，符合题意；
D、∵3+4＝7，∴不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键．
例题2．现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】16：压轴题．
【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
【解答】解：四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；
只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．
故选：B．
【点评】考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．
变式1．7条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＜a7，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若a1＝1厘米，a7＝21厘米，则a6能取的值是（ ）
A．18厘米 B．13厘米 C．8厘米 D．5厘米
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】16：压轴题；2A：规律型．
【分析】此题只需根据所有的线段都是整数，且满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＜a7，运则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，据此即可确定各个数的值，从而做出判断．
【解答】解：若a1＝1厘米，则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，则一定有：a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，a6＝13，a7＝21，
故选：B．
【点评】正确理解题意，是解决本题的关键．
变式2．已知线段AB＝4，BC＝3，那么线段AC的长度的取值范围是 1≤AC≤7 ．
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：若A，B，C三点共线，则AC＝1或＝7；
若A，B，C三点不共线，则根据三角形的三边关系：第三边大于两边之差1，而小于两边之和7．
即：1＜AC＜7．
故线段AC的长度的取值范围是1≤AC≤7．
故答案为：1≤AC≤7．
【点评】此题注意考虑三点共线和不共线的情况．
知识点四：三角形的高、中线、角平分线（重点）
1.三角形的高
例题．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项A．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
变式1．如图所示，△ABC中AB边上的高是（ ）
A．线段CD B．线段CB C．线段DA D．线段CA
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形的高解答即可．
【解答】解：△ABC中AB边上的高是线段CD，
故选：A．
【点评】此题考查三角形的高问题，关键是根据三角形的高的概念解答．
变式2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC的延长线于点D，BE⊥AC交AC的延长线于点E，CF⊥BD交AB于点F．下列线段是△ABC的高的是（ ）
A．BD B．BE C．CE D．CF
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】直接利用三角形高的定义分析得出答案．
【解答】解：如图所示：只有线段BE是△ABC的边AC上的高．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的高线，正确把握相关高线定义是解题关键．
变式3．如图，已知P为直线l外一点，点A、B、C、D在直线l上，且PA＞PB＞PC＞PD，下列说法正确的是（ ）
A．线段PD的长是点P到直线l的距离
B．线段PC可能是△PAB的高
C．线段PD可能是△PBC的高
D．线段PB可能是△PAC的高
【考点】J5：点到直线的距离；K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形．
【分析】点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段，根据垂线段最短进行判断即可．
【解答】解：A．线段PD的长不一定是点P到直线l的距离，故本选项错误；
B．线段PC不可能是△PAB的高，故本选项错误；
C．线段PD可能是△PBC的高，故本选项正确；
D．线段PB不可能是△PAC的高，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高一级点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
2.三角形的中线
例题．如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AC D．BD＝CD
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形的中线的定义即可判断．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
故选：D．
【点评】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
变式1．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，有以下结论：①AD平分∠BAC；②△ABD的周长﹣△ACD的周长＝AB﹣AC；③BC＝2AD；④△ABD的面积是△ABC面积的一半．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②④ D．③④
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高；K3：三角形的面积．
【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD＝BC，等高的三角形的面积的比等于底边的比，对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD＝BC，
①只有AB＝AC时，AD平分∠BAC，故本小题错误；
②△ABD的周长﹣△ACD的周长＝（AB+AD+BC）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，故本小题正确；
③只有∠BAC＝90°时，BC＝2AD，故本小题错误；
④设点A到BC的距离为h，则△ABD的面积＝BD•h，△ABC面积＝BC•h，
所以，△ABD的面积是△ABC面积的一半，故本小题正确；
综上所述，正确的是②④．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的面积，是基础题，熟记概念并利用好等高的三角形的面积的比等于底边的比是解题的关键．
变式2．如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则AD＝（ ）
A．5 B．6 C．8 D．4
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】由三角形中线的性质得到AD＝BD＝AB．
【解答】解：∵如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，
∴AD＝BD＝AB＝5．
故选：A．
【点评】考查了三角形的中线的概念，．三角形的中线是三角形的一个顶点与对边中点连接的线段．
变式3．若线段AM、AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则（ ）
A．AM＞AN B．AM＞AN或AM＝AN
C．AM＜AN D．AM＜AN或AM＝AN
【考点】J4：垂线段最短；K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形．
【分析】根据垂线段最短即可判断．
【解答】解：如图，
∵AM⊥BC，
∴根据垂线段最短可知：AM≤AN，
故选：D．
【点评】本题考查三角形的高，中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式4．如图所示，有一条线段是△ABC（AC＞AB）的中线，该线段是（ ）
A．线段AD B．线段AE C．线段 AF D．线段MN
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形．
【分析】三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，逐一判断各选项即可．
【解答】解：由图可得，F是BC的中点，
根据三角形中线的定义，可知线段AF是△ABC的中线，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
3.三角形角平分线
例题．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【解答】解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
变式1．如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠C＝80°，则∠EOD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．10° D．15°
【考点】J3：垂线；K2：三角形的角平分线、中线和高；K7：三角形内角和定理．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠C＝80°，
∴∠B＝40°．
又∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝70°，
又∵OE⊥BC，
∴∠EOD＝20°．
故选：A．
【点评】此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义．
变式2．如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别为△ABC的高线、角平分线和中线．
（1）写出图中所有相等的角和相等的线段；
（2）当BF＝8cm，AD＝7cm时，求△ABC的面积．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高；K3：三角形的面积．
【分析】（1）角平分线平分三角形的一角；三角形高线会出现两个直角；中线平分三角形的一边；
（2）根据三角形的面积公式列式即可．
【解答】解：（1）∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF．
图中所有相等的角和相等的线段为：∠BAE＝∠CAE，∠ADB＝∠ADC＝90°，BF＝CF．
（2）∵BF＝CF，BF＝8cm，AD＝7cm，
∴BC＝2BF＝2×8＝16cm，
∴S△ABC＝BC•AD
＝×16cm×7cm
＝56cm2．
答：△ABC的面积是56cm2．
【点评】此题考查了三角形的角平分线、中线和高线，三角形的面积，是基础题，熟记概念是解题的关键．
变式3．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．
知识点五：三角形的稳定性
例题．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性这样做的道理是（ ）
A．两点之间的所有连线中线段最短
B．三角形具有稳定性
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线拉杆
D．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短
【考点】IB：直线的性质：两点确定一条直线；IC：线段的性质：两点之间线段最短；J4：垂线段最短；K4：三角形的稳定性．
【专题】552：三角形；69：应用意识．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性这样做的道理是三角形具有稳定性，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
变式1．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K4：三角形的稳定性．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【解答】解：根据三角形具有稳定性可得选项B具有稳定性，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
变式2．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
【考点】K4：三角形的稳定性．
【专题】2C：存在型．
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【解答】解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，
故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单．
变式3．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？
【考点】K4：三角形的稳定性．
【专题】552：三角形．
【分析】根据三角形的稳定性解答．
【解答】解：如图，根据三角形的稳定性可知，要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条，
要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条，
要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
拓展点一：三角形三边关系的应用（重点）
例题1．已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b+|﹣2|＝10a+2，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【考点】16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根；K6：三角形三边关系．
【专题】16：压轴题．
【分析】由于a2+b+|﹣2|＝10a+2，等式可以变形为a2﹣10a+25+b﹣4﹣2+1+|﹣2|＝0，然后根据非负数的和是0，这几个非负数就都是0，就可以求解．
【解答】解：∵a2+b+|﹣2|＝10a+2，
∴a2﹣10a+25+b﹣4﹣2+1+|﹣2|＝0
即（a﹣5）2+（﹣1）2+|﹣2|＝0
根据几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，得a＝5，b＝5，c＝5．
故该三角形是等边三角形，即正三角形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，解题时利用了：几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0．注意此题中的变形要充分运用完全平方公式．
例题2．三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】16：压轴题．
【分析】首先根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长，得到三角形的三边都不能大于5；
再结合三角形的两边之差小于第三边进行分析出所有符合条件的整数．
【解答】解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过5；
所有的情况有：1、1、1；1、2、2；1、3、3；1、4、4；1、5、5；2、2、2；2、2、3；2、3、3；2、3、4；2、4、4；2、4、5；2、5、5；3、3、3；3、3、4；3、3、5；3、4、4；3、4、5；4、4、4，
再根据两边之差小于第三边，则这样的三角形共有3，4，2；4，5，2；3，4，5三个．
故选：B．
【点评】此题要紧密结合三角形的三边关系进行分析．
变式1．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（ ）
A．19.5 B．20.5 C．21.5 D．25.5
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】12：应用题；16：压轴题．
【分析】尽量选择数据较小的路线，到达4个村庄即可．
【解答】解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D到C，
5+4+6+5.5＝20.5km．
故选：B．
【点评】找到最短路线是解决本题的关键．
变式2．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离不可能是（ ）
A．90m B．100m C．150m D．190m
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】552：三角形；64：几何直观；69：应用意识．
【分析】首先根据三角形的三边关系定理求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确．
【解答】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，
∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即10m＜AB＜190m．
故选：D．
【点评】考查了三角形的三边关系：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
变式3．在平坦的草地上有A，B，C三个小球，若已知A球和B球相距3米，A球和C球相距1米，则B球和C球可能相距 如3等（答案不惟一只需满足2米≤距离≤4米） 米．（球半径忽略不计，请填出两个符合条件的数）
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】12：应用题；16：压轴题；26：开放型．
【分析】此题注意两种情况：
当A，B，C三个小球共线时，根据线段的和、差计算；
当A，B，C三个小球不共线时，根据三角形的三边关系进行分析．
【解答】解：当A，B，C三个小球共线时，则BC＝2或4；
当A，B，C三个小球不共线时，则2＜BC＜4．
则B球和C球可能相距2米≤BC≤4米．
如3等（答案不惟一只需满足2米≤距离≤4米）．
【点评】能够运用数学知识分析生活中的问题．注意此题中的两种情况．
拓展点二：三角形的高、中线、角平分线的应用类问题
1.中线与面积
1．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E，F分别是AD，CE的中点，且△BEF的面积为3，则△ABC的面积是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【考点】K3：三角形的面积．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC，
∴S△BCE＝S△ABC，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝S△ABC，
∵△BEF的面积为3，
∴S△ABC＝4×3＝12．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
2．如图，AD∥BC，若S1表示三角形ABC的面积，S2表示三角形DBC的面积，则下列结论正确的是（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．S1＝2S2
【考点】JC：平行线之间的距离；K3：三角形的面积．
【专题】551：线段、角、相交线与平行线；552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据平行线间的距离处处相等，可以得出△ABC和△DBC的高相等，然后根据三角形面积公式即可判断．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△ABC和△DBC的同底BC上的高相等，
∵S1＝S2，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积，明确平行线间的距离都相等是解题的关键．
3．如图，△ABC中，BD＝BC，AE＝AD，CF＝CE，S△ABC＝20，则S△DEF＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】K3：三角形的面积．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据题意先求得S△ACD＝S△ABC＝16，然后求得S△CDE＝S△ACD＝12，最后求得S△DEF＝S△CDE＝6．
【解答】解：∵BD＝BC，
∴S△ACD＝S△ABC＝20＝16；
∵AE＝AD，
∴S△CDE＝S△ACD＝16＝12；
∵CF＝CE，
∴S△DEF＝S△CDE＝12＝6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的面积的求法．
4．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，点F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，则S△ABC为（ ）
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
【考点】K3：三角形的面积．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据EF＝2BF，S△BCF＝2cm2，求得S△BEC＝3S△BCF＝6cm2，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△BDE＝S△CDE＝S△BEC＝3cm2，从而求出S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，再根据S△ABC＝2S△ABD计算即可得解．
【解答】解：如图，∵EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，
∴S△BEC＝3S△BCF＝3×2＝6cm2，
∵D是BD的中点，
∴S△BDE＝S△CDE＝S△BEC＝3cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，
∴△ABC的面积为12cm2，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记．
5．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，边AC＝8cm，BC＝10cm，点P为BC边上一动点，点P从点C向点B运动，当点P运动到BC中点时，△APC的面积是（ ）cm2．
A．5 B．10 C．20 D．40
【考点】K3：三角形的面积．
【专题】552：三角形；66：运算能力．
【分析】根据三角形的面积公式列出算式可解答．
【解答】解：∵BC＝10cm，
∴当P运动到BC中点时，CP＝BC＝5cm，
∴△APC的面积＝＝＝20（cm2）
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的面积，属于基础题，学生认真阅读题意即可作答．
6．如图，△ABC的面积为30cm2，AE＝ED，BD＝2DC，则图中四边形EDCF的面积等于（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2
【考点】K3：三角形的面积．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】连接DF．可知三角形AEF的面积等于三角形EFD的面积，三角形ABE的面积等于三角形BED的面积，三角形BDF的面积等于三角形FDC的面积的2倍．通过各个面积之间的关系，求出各自区域的面积即可得出所求面积．
【解答】解：如图，连接DF，
∵AE＝ED，BD＝2DC，
∴△AEF的面积等于△EFD的面积，△ABE的面积等于△BED的面积，△BDF的面积等于△FDC的面积的2倍，△ABD的面积等于△ADC面积的2倍．
设△AEF面积为x，△BDE面积为y，
则x+x+y+y+（x+y）＝30；①
2y＝2[2x+②
得出x+y＝12．
解得x＝2．y＝10，
故四边形CDEF的面积等于x+（x+y）＝8cm2，
故选：B．
【点评】考查三角形面积的计算．关键弄清各部分面积之比．
2.三角形的高
1．用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A，B，C都不是△ABC的边BC上的高．
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
2．如图，AC为BC的垂线，CD为AB的垂线，DE为BC的垂线，点D和E分别在△ABC的边AB和BC上，下列说法：①△ABC中，AC是BC边上的高；②△BCD中，DE是BC边上的高；③△ABE中，DE是BE边上的高；④△ACD中，AD是CD边上的高．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形高的定义分别进行判断．
【解答】解：△ABC中，AC为BC的垂线，则AC是BC边上的高，所以①正确；
△BCD中，DE为BC的垂线，则DE是BC边上的高，所以②正确；
△ABE中，DE为BC的垂线，AC是BE边上的高，所以③错误；
△ACD中，CD为AB的垂线，则AD是CD边上的高，所以④正确．
故其中正确的个数有3个．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
3．如图，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，GA⊥AC于A，则△ABC中，AC边上的高为（ ）
A．AD B．GA C．BE D．CF
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据垂线的定义去分析，AD、CF等都不是AC所对顶点向AC所在直线所作的垂线，由此即可判定．
【解答】解：∵AC边上的高是指过AC所对顶点B向AC所在直线所作的垂线
∴在AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，GA⊥AC于A中，
只有BE符合上述条件．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对三角形的高这一知识点的理解和掌握，难度不大，要求学生应熟练掌握．
拓展点三：三角形的稳定性的应用类问题
1．下列图形中不具有稳定性是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K4：三角形的稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
【解答】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
显然B选项中有四边形，不具有稳定性．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．
二、填空题
2．木工师傅为加固损坏的木门，在木门的背面加钉了一根木条（如图）这样做的根据是 三角形具有稳定性 ．
【考点】K4：三角形的稳定性．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】用木条固定矩形门框，即是分割为两个三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：加上木条后矩形门框分割为两个三角形，
而三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
3．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是 三角形的稳定性 ．
【考点】K4：三角形的稳定性．
【分析】根据三角形的稳定性，可直接填空．
【解答】解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
知识点一：三角形及其相关概念（重点）
例题1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K1：三角形．
【分析】因为三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义．
例题2．如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（ ）对．
A．8 B．16 C．24 D．32
【考点】K1：三角形．
【专题】23：新定义．
【分析】根据有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，首先确定三角形的边，然后确定三角形即可．
【解答】解：以AB为公共边的三角形有：△ABD和△ABC；
以AC为公共边的三角形有：△ACE和△ACB；
以AD为公共边的三角形有：△ADE和△ABD；
以AE为公共边的三角形有：△AED和△AEC；
以BC为公共边的三角形有：△BCO和△BCA和△BCD和△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对；
以BD为公共边的三角形有：△BDC，△BDE，BDA任何两个都是3对共边三角形；
以BE为公共边的三角形有：△BEO，△BED，△BEC任何两个都是3对共边三角形．
以OB为公共边的三角形有：△OBE和△OBC；
以CD为公共边的三角形有：△CDO和△CDB和△CDE任何两个都是3对共边三角形．
以CE为公共边的三角形有：△CED，△CEA，△CEB任何两个都是3对共边三角形；
以CO为公共边的三角形有：△COD和△COB；
以DE为公共边的三角形有：△AED和△OED和△BED和三角CED，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对；
以OD为公共边的三角形有：△ODC和△ODE；
以OE为公共边的三角形有：△OBE和△ODE．
共32对．
故选：D．
【点评】本题主要考查了共边三角形的定义，正确理解定义是解题的关键．
例题3．如图，图中三角形的个数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【考点】K1：三角形．
【专题】2A：规律型；64：几何直观．
【分析】根据三角形的定义进行判断．只要数出BC上有几条线段即可．很明显BC上有6条线段，所以有6个三角形．
【解答】解：BC上有6条线段，所以有6个三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形的定义中应注意“首尾顺次连接”这一含义．
变式1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K1：三角形．
【专题】55：几何图形．
【分析】根据三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形解答，
【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义．
变式2．在△ABC中，BC边的对角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
【考点】K1：三角形．
【专题】55：几何图形．
【分析】由对角、对边的关系可求得答案．
【解答】解：在△ABC中，BC边的对角是∠A，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．
变式3．如图，图中有 3 个三角形，以AD为边的三角形有 △ABD，△ADC ．
【考点】K1：三角形．
【专题】55：几何图形．
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
【解答】解：图中共有3个三角形；它们是△ABD；△ADC；△ABC；
以AD为边的三角形有△ABD，△ADC；
故答案为：3；△ABD，△ADC
【点评】此题主要考查了三角形中的重要元素，关键是正确理解三角形的定义．
变式4．如图，以点A为顶点的三角形有 4 个，它们分别是 △ABC，△ADC，△ABE，△ADE ．
【考点】K1：三角形．
【分析】根据三角形的定义得出答案即可．
【解答】解：以点A为顶点的三角形有4个，它们分别是△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．
故答案为：4，△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．
【点评】此题主要考查了三角形的定义，得出三角形个数是解题关键．
变式5．如图，△ABC中，AB与BC的夹角是 ∠B ，∠A的对边是 CB ，∠A、∠C的公共边是 AC ．
【考点】K1：三角形．
【分析】根据组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角进行分析即可．
【解答】解：△ABC中，AB与BC的夹角是∠B，∠A的对边是BC，∠A、∠C的公共边是AC，
故答案为：∠B；BC；AC．
【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关定义．
变式6．如图，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形，
（1）其中以AB为一边可以画出 3 个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出 6 个三角形．
【考点】K1：三角形．
【分析】（1）根据以AB为一边，分别得出符合题意的三角形即可；
（2）根据以C为顶点，分别得出符合题意的三角形即可．
【解答】解：（1）其中以AB为一边可以画出3个三角形为：△ABE，△ABD，△ABC；
（2）其中以C为顶点可以画出6个三角形为：△ABC，△BCD，△BCE，△ADC，△DEC，△ACE．
故答案为：（1）3；（2）6．
【点评】此题主要考查了三角形的定义，根据三角形定义得出是解题关键．
知识点二：三角形的分类
例题1．三角形按边分类可分为（ ）
A．不等边三角形、等边三角形
B．等腰三角形、等边三角形
C．不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
D．不等边三角形、等腰三角形
【分析】根据三角形按边的分类方法即可确定．
【解答】解：三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的分类，要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．
变式1．下列说法正确的有（ ）
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④
【分析】①根据等腰三角形及等边三角形的定义进行解答即可；
②由三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，可得结论；
③根据等腰三角形的定义进行解答；
④根据三角形按角分类情况可得答案．
【解答】解：①∵有两个边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，
∴等腰三角形不一定是等边三角形，
∴①错误；
②∵三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，
∴②错误；
③∵两边相等的三角形称为等腰三角形，
∴③正确；
④∵三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
∴④正确．
故选C．
【点评】本题主要考查了与三角形相关的知识，熟练掌握三角形的分类是解答此题的关键．
变式2．试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
【分析】根据三角形的分类方法进行分析判断．三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）．
【解答】解：A、如等腰直角三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
B、如等边三角形，既是等腰三角形，也是锐角三角形，故该选项错误；
C、如顶角是120°的等腰三角形，是钝角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
D、一个等边三角形的三个角都是60°．故该选项正确．
故选D．
【点评】此题考查了三角形的分类方法，理解各类三角形的定义．
例题2．如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（ ）
A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
【分析】因为BC边变大，∠A也随着变大，∠C在变小．所以此题的变化为：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．
【解答】解：根据∠A的旋转变化规律可知：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．
故选D．
【点评】解题时要注意三角形的变化：∠B不变，∠A变大，∠C在变小．
变式1．用集合来表示“用边把三角形分类”，下面集合正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．
【解答】解：三角形根据边分类，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
变式2.下列说法正确的有（ ）
（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形的两边之差大于第三边；（3）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；
（2）根据三角形的三边关系知，三角形的两边之差小于第三边，错误；
（3）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；
（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．
知识点三：三角形三边的关系（重难点）
例题．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．5，12，17 D．6，8，20
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+4＝7＞5，能够组成三角形，符合题意；
C、12+5＝17，不能够组成三角形，不符合题意；
D、6+8＝14＜20，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
变式1．在下列四组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，6cm，9cm B．2cm，3cm，5cm
C．3.4cm，2.7cm，6cm D．3cm，4cm，7cm
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵6+2＜9，∴不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；
B、∵2+3＝5，∴不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；
C、∵3.4+2.7＞6，∴能组成三角形，故本选项正确，符合题意；
D、∵3+4＝7，∴不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键．
例题2．现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】16：压轴题．
【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
【解答】解：四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；
只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．
故选：B．
【点评】考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．
变式1．7条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＜a7，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若a1＝1厘米，a7＝21厘米，则a6能取的值是（ ）
A．18厘米 B．13厘米 C．8厘米 D．5厘米
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】16：压轴题；2A：规律型．
【分析】此题只需根据所有的线段都是整数，且满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＜a7，运则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，据此即可确定各个数的值，从而做出判断．
【解答】解：若a1＝1厘米，则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，则一定有：a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，a6＝13，a7＝21，
故选：B．
【点评】正确理解题意，是解决本题的关键．
变式2．已知线段AB＝4，BC＝3，那么线段AC的长度的取值范围是 1≤AC≤7 ．
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：若A，B，C三点共线，则AC＝1或＝7；
若A，B，C三点不共线，则根据三角形的三边关系：第三边大于两边之差1，而小于两边之和7．
即：1＜AC＜7．
故线段AC的长度的取值范围是1≤AC≤7．
故答案为：1≤AC≤7．
【点评】此题注意考虑三点共线和不共线的情况．
知识点四：三角形的高、中线、角平分线（重点）
1.三角形的高
例题．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项A．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
变式1．如图所示，△ABC中AB边上的高是（ ）
A．线段CD B．线段CB C．线段DA D．线段CA
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形的高解答即可．
【解答】解：△ABC中AB边上的高是线段CD，
故选：A．
【点评】此题考查三角形的高问题，关键是根据三角形的高的概念解答．
变式2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC的延长线于点D，BE⊥AC交AC的延长线于点E，CF⊥BD交AB于点F．下列线段是△ABC的高的是（ ）
A．BD B．BE C．CE D．CF
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】直接利用三角形高的定义分析得出答案．
【解答】解：如图所示：只有线段BE是△ABC的边AC上的高．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的高线，正确把握相关高线定义是解题关键．
变式3．如图，已知P为直线l外一点，点A、B、C、D在直线l上，且PA＞PB＞PC＞PD，下列说法正确的是（ ）
A．线段PD的长是点P到直线l的距离
B．线段PC可能是△PAB的高
C．线段PD可能是△PBC的高
D．线段PB可能是△PAC的高
【考点】J5：点到直线的距离；K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形．
【分析】点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段，根据垂线段最短进行判断即可．
【解答】解：A．线段PD的长不一定是点P到直线l的距离，故本选项错误；
B．线段PC不可能是△PAB的高，故本选项错误；
C．线段PD可能是△PBC的高，故本选项正确；
D．线段PB不可能是△PAC的高，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高一级点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
2.三角形的中线
例题．如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AC D．BD＝CD
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形的中线的定义即可判断．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
故选：D．
【点评】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
变式1．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，有以下结论：①AD平分∠BAC；②△ABD的周长﹣△ACD的周长＝AB﹣AC；③BC＝2AD；④△ABD的面积是△ABC面积的一半．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②④ D．③④
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高；K3：三角形的面积．
【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD＝BC，等高的三角形的面积的比等于底边的比，对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD＝BC，
①只有AB＝AC时，AD平分∠BAC，故本小题错误；
②△ABD的周长﹣△ACD的周长＝（AB+AD+BC）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，故本小题正确；
③只有∠BAC＝90°时，BC＝2AD，故本小题错误；
④设点A到BC的距离为h，则△ABD的面积＝BD•h，△ABC面积＝BC•h，
所以，△ABD的面积是△ABC面积的一半，故本小题正确；
综上所述，正确的是②④．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的面积，是基础题，熟记概念并利用好等高的三角形的面积的比等于底边的比是解题的关键．
变式2．如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则AD＝（ ）
A．5 B．6 C．8 D．4
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】由三角形中线的性质得到AD＝BD＝AB．
【解答】解：∵如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，
∴AD＝BD＝AB＝5．
故选：A．
【点评】考查了三角形的中线的概念，．三角形的中线是三角形的一个顶点与对边中点连接的线段．
变式3．若线段AM、AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则（ ）
A．AM＞AN B．AM＞AN或AM＝AN
C．AM＜AN D．AM＜AN或AM＝AN
【考点】J4：垂线段最短；K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形．
【分析】根据垂线段最短即可判断．
【解答】解：如图，
∵AM⊥BC，
∴根据垂线段最短可知：AM≤AN，
故选：D．
【点评】本题考查三角形的高，中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式4．如图所示，有一条线段是△ABC（AC＞AB）的中线，该线段是（ ）
A．线段AD B．线段AE C．线段 AF D．线段MN
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形．
【分析】三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，逐一判断各选项即可．
【解答】解：由图可得，F是BC的中点，
根据三角形中线的定义，可知线段AF是△ABC的中线，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
3.三角形角平分线
例题．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【解答】解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
变式1．如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠C＝80°，则∠EOD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．10° D．15°
【考点】J3：垂线；K2：三角形的角平分线、中线和高；K7：三角形内角和定理．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠C＝80°，
∴∠B＝40°．
又∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝70°，
又∵OE⊥BC，
∴∠EOD＝20°．
故选：A．
【点评】此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义．
变式2．如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别为△ABC的高线、角平分线和中线．
（1）写出图中所有相等的角和相等的线段；
（2）当BF＝8cm，AD＝7cm时，求△ABC的面积．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高；K3：三角形的面积．
【分析】（1）角平分线平分三角形的一角；三角形高线会出现两个直角；中线平分三角形的一边；
（2）根据三角形的面积公式列式即可．
【解答】解：（1）∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF．
图中所有相等的角和相等的线段为：∠BAE＝∠CAE，∠ADB＝∠ADC＝90°，BF＝CF．
（2）∵BF＝CF，BF＝8cm，AD＝7cm，
∴BC＝2BF＝2×8＝16cm，
∴S△ABC＝BC•AD
＝×16cm×7cm
＝56cm2．
答：△ABC的面积是56cm2．
【点评】此题考查了三角形的角平分线、中线和高线，三角形的面积，是基础题，熟记概念是解题的关键．
变式3．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．
知识点五：三角形的稳定性
例题．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性这样做的道理是（ ）
A．两点之间的所有连线中线段最短
B．三角形具有稳定性
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线拉杆
D．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短
【考点】IB：直线的性质：两点确定一条直线；IC：线段的性质：两点之间线段最短；J4：垂线段最短；K4：三角形的稳定性．
【专题】552：三角形；69：应用意识．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性这样做的道理是三角形具有稳定性，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
变式1．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K4：三角形的稳定性．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【解答】解：根据三角形具有稳定性可得选项B具有稳定性，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
变式2．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
【考点】K4：三角形的稳定性．
【专题】2C：存在型．
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【解答】解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，
故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单．
变式3．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？
【考点】K4：三角形的稳定性．
【专题】552：三角形．
【分析】根据三角形的稳定性解答．
【解答】解：如图，根据三角形的稳定性可知，要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条，
要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条，
要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
拓展点一：三角形三边关系的应用（重点）
例题1．已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b+|﹣2|＝10a+2，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【考点】16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根；K6：三角形三边关系．
【专题】16：压轴题．
【分析】由于a2+b+|﹣2|＝10a+2，等式可以变形为a2﹣10a+25+b﹣4﹣2+1+|﹣2|＝0，然后根据非负数的和是0，这几个非负数就都是0，就可以求解．
【解答】解：∵a2+b+|﹣2|＝10a+2，
∴a2﹣10a+25+b﹣4﹣2+1+|﹣2|＝0
即（a﹣5）2+（﹣1）2+|﹣2|＝0
根据几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，得a＝5，b＝5，c＝5．
故该三角形是等边三角形，即正三角形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，解题时利用了：几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0．注意此题中的变形要充分运用完全平方公式．
例题2．三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】16：压轴题．
【分析】首先根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长，得到三角形的三边都不能大于5；
再结合三角形的两边之差小于第三边进行分析出所有符合条件的整数．
【解答】解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过5；
所有的情况有：1、1、1；1、2、2；1、3、3；1、4、4；1、5、5；2、2、2；2、2、3；2、3、3；2、3、4；2、4、4；2、4、5；2、5、5；3、3、3；3、3、4；3、3、5；3、4、4；3、4、5；4、4、4，
再根据两边之差小于第三边，则这样的三角形共有3，4，2；4，5，2；3，4，5三个．
故选：B．
【点评】此题要紧密结合三角形的三边关系进行分析．
变式1．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（ ）
A．19.5 B．20.5 C．21.5 D．25.5
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】12：应用题；16：压轴题．
【分析】尽量选择数据较小的路线，到达4个村庄即可．
【解答】解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D到C，
5+4+6+5.5＝20.5km．
故选：B．
【点评】找到最短路线是解决本题的关键．
变式2．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离不可能是（ ）
A．90m B．100m C．150m D．190m
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】552：三角形；64：几何直观；69：应用意识．
【分析】首先根据三角形的三边关系定理求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确．
【解答】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，
∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即10m＜AB＜190m．
故选：D．
【点评】考查了三角形的三边关系：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
变式3．在平坦的草地上有A，B，C三个小球，若已知A球和B球相距3米，A球和C球相距1米，则B球和C球可能相距 如3等（答案不惟一只需满足2米≤距离≤4米） 米．（球半径忽略不计，请填出两个符合条件的数）
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】12：应用题；16：压轴题；26：开放型．
【分析】此题注意两种情况：
当A，B，C三个小球共线时，根据线段的和、差计算；
当A，B，C三个小球不共线时，根据三角形的三边关系进行分析．
【解答】解：当A，B，C三个小球共线时，则BC＝2或4；
当A，B，C三个小球不共线时，则2＜BC＜4．
则B球和C球可能相距2米≤BC≤4米．
如3等（答案不惟一只需满足2米≤距离≤4米）．
【点评】能够运用数学知识分析生活中的问题．注意此题中的两种情况．
拓展点二：三角形的高、中线、角平分线的应用类问题
1.中线与面积
1．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E，F分别是AD，CE的中点，且△BEF的面积为3，则△ABC的面积是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【考点】K3：三角形的面积．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC，
∴S△BCE＝S△ABC，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝S△ABC，
∵△BEF的面积为3，
∴S△ABC＝4×3＝12．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
2．如图，AD∥BC，若S1表示三角形ABC的面积，S2表示三角形DBC的面积，则下列结论正确的是（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．S1＝2S2
【考点】JC：平行线之间的距离；K3：三角形的面积．
【专题】551：线段、角、相交线与平行线；552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据平行线间的距离处处相等，可以得出△ABC和△DBC的高相等，然后根据三角形面积公式即可判断．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△ABC和△DBC的同底BC上的高相等，
∵S1＝S2，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积，明确平行线间的距离都相等是解题的关键．
3．如图，△ABC中，BD＝BC，AE＝AD，CF＝CE，S△ABC＝20，则S△DEF＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】K3：三角形的面积．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据题意先求得S△ACD＝S△ABC＝16，然后求得S△CDE＝S△ACD＝12，最后求得S△DEF＝S△CDE＝6．
【解答】解：∵BD＝BC，
∴S△ACD＝S△ABC＝20＝16；
∵AE＝AD，
∴S△CDE＝S△ACD＝16＝12；
∵CF＝CE，
∴S△DEF＝S△CDE＝12＝6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的面积的求法．
4．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，点F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，则S△ABC为（ ）
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
【考点】K3：三角形的面积．
【专题】552：三角形；67：推理能力．
【分析】根据EF＝2BF，S△BCF＝2cm2，求得S△BEC＝3S△BCF＝6cm2，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△BDE＝S△CDE＝S△BEC＝3cm2，从而求出S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，再根据S△ABC＝2S△ABD计算即可得解．
【解答】解：如图，∵EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，
∴S△BEC＝3S△BCF＝3×2＝6cm2，
∵D是BD的中点，
∴S△BDE＝S△CDE＝S△BEC＝3cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，
∴△ABC的面积为12cm2，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记．
5．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，边AC＝8cm，BC＝10cm，点P为BC边上一动点，点P从点C向点B运动，当点P运动到BC中点时，△APC的面积是（ ）cm2．
A．5 B．10 C．20 D．40
【考点】K3：三角形的面积．
【专题】552：三角形；66：运算能力．
【分析】根据三角形的面积公式列出算式可解答．
【解答】解：∵BC＝10cm，
∴当P运动到BC中点时，CP＝BC＝5cm，
∴△APC的面积＝＝＝20（cm2）
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的面积，属于基础题，学生认真阅读题意即可作答．
6．如图，△ABC的面积为30cm2，AE＝ED，BD＝2DC，则图中四边形EDCF的面积等于（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2
【考点】K3：三角形的面积．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】连接DF．可知三角形AEF的面积等于三角形EFD的面积，三角形ABE的面积等于三角形BED的面积，三角形BDF的面积等于三角形FDC的面积的2倍．通过各个面积之间的关系，求出各自区域的面积即可得出所求面积．
【解答】解：如图，连接DF，
∵AE＝ED，BD＝2DC，
∴△AEF的面积等于△EFD的面积，△ABE的面积等于△BED的面积，△BDF的面积等于△FDC的面积的2倍，△ABD的面积等于△ADC面积的2倍．
设△AEF面积为x，△BDE面积为y，
则x+x+y+y+（x+y）＝30；①
2y＝2[2x+②
得出x+y＝12．
解得x＝2．y＝10，
故四边形CDEF的面积等于x+（x+y）＝8cm2，
故选：B．
【点评】考查三角形面积的计算．关键弄清各部分面积之比．
2.三角形的高
1．用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A，B，C都不是△ABC的边BC上的高．
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
2．如图，AC为BC的垂线，CD为AB的垂线，DE为BC的垂线，点D和E分别在△ABC的边AB和BC上，下列说法：①△ABC中，AC是BC边上的高；②△BCD中，DE是BC边上的高；③△ABE中，DE是BE边上的高；④△ACD中，AD是CD边上的高．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】根据三角形高的定义分别进行判断．
【解答】解：△ABC中，AC为BC的垂线，则AC是BC边上的高，所以①正确；
△BCD中，DE为BC的垂线，则DE是BC边上的高，所以②正确；
△ABE中，DE为BC的垂线，AC是BE边上的高，所以③错误；
△ACD中，CD为AB的垂线，则AD是CD边上的高，所以④正确．
故其中正确的个数有3个．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
3．如图，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，GA⊥AC于A，则△ABC中，AC边上的高为（ ）
A．AD B．GA C．BE D．CF
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据垂线的定义去分析，AD、CF等都不是AC所对顶点向AC所在直线所作的垂线，由此即可判定．
【解答】解：∵AC边上的高是指过AC所对顶点B向AC所在直线所作的垂线
∴在AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，GA⊥AC于A中，
只有BE符合上述条件．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对三角形的高这一知识点的理解和掌握，难度不大，要求学生应熟练掌握．
拓展点三：三角形的稳定性的应用类问题
1．下列图形中不具有稳定性是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K4：三角形的稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
【解答】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
显然B选项中有四边形，不具有稳定性．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．
二、填空题
2．木工师傅为加固损坏的木门，在木门的背面加钉了一根木条（如图）这样做的根据是 三角形具有稳定性 ．
【考点】K4：三角形的稳定性．
【专题】552：三角形；64：几何直观．
【分析】用木条固定矩形门框，即是分割为两个三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：加上木条后矩形门框分割为两个三角形，
而三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
3．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是 三角形的稳定性 ．
【考点】K4：三角形的稳定性．
【分析】根据三角形的稳定性，可直接填空．
【解答】解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
相关学案
人教版八年级上册15.3 分式方程学案： 这是一份人教版八年级上册15.3 分式方程学案，文件包含153分式方程讲义学生版docx、153分式方程讲义教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共34页， 欢迎下载使用。
八年级上册15.1 分式综合与测试导学案： 这是一份八年级上册15.1 分式综合与测试导学案，文件包含151分式讲义学生版docx、151分式讲义教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共36页， 欢迎下载使用。
初中数学人教版八年级上册14.2 乘法公式综合与测试学案及答案： 这是一份初中数学人教版八年级上册14.2 乘法公式综合与测试学案及答案，文件包含142乘法公式讲义学生版docx、142乘法公式讲义教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共30页， 欢迎下载使用。
