高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示同步达标检测题

平面向量基本定理

【概念认知】

1．平面向量基本定理

2.正交分解

对于分解a＝λ1e1＋λ2e2，当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．

【自我小测】

1．若{e1，e2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(　　)

A．{e1－e2，e2－e1}       B．

C．{2e2－3e1，6e1－4e2}      D．{e1＋e2，e1－e2}

【解析】选D.对于选项A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B，2e1＋e2＝2，所以(2e1＋e2)∥，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C，2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1＋e2与e1－e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底．

2．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则||∶||＝(　　)

A．1∶3　    B．3∶1    C．1∶2　    D．2∶1

【解析】选D.因为＝＋，所以－＝－，即＝，也就是＝2，所以||∶||＝2∶1.

3．如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以a，b为基底时，可表示为________，以a，c为基底时，可表示为________．

【解析】以a，b为基底时，由平行四边形法则得＝a＋b.以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则得＝2a＋c.

答案：a＋b　2a＋c

4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________．

【解析】由平面向量基本定理，

得　所以所以x－y＝3.

答案：3

5．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，

(1)如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，.

(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示.

【解析】(1)＝＋＝＋

＝－＝－a＋b.

＝＋＝－＝a－b.

(2)＝－＝b－a，

因为O是BD的中点，G是DO的中点，

所以＝＝(b－a)，

所以＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.

【基础全面练】　

一、单选题

1．{e1，e2}为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　)

A．2    B．－3    C．－2    D．3

【解析】选A.根据题意得＝e1－ke2，＝－＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，因为A，B，D三点共线，

所以＝λ，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，

所以所以k＝2.

2．在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)

A．x＝，y＝      B．x＝，y＝

C．x＝，y＝      D．x＝，y＝

【解析】选A.因为＝2，所以＋＝2＋

2，即3＝2＋，所以＝＋，

即x＝，y＝.

3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记，分别为a，b，则＝(　　)

A．a－b       B．a＋b

C．－a＋b       D．－a－b

【解析】选B.设＝λ，＝μ.

因为F为CD的中点，所以＝(＋).

所以＝(＋)＝(＋2)＝＋

λ.＝＋＝＋μ＝＋μ(－)

＝(1－μ)＋μ(＋)＝μ＋(1－).

根据平面向量基本定理有＝μ，λ＝1－.

解得μ＝，λ＝.

因此有＝a＋b.

4．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝(　　)

A．＋       B．＋

C．＋       D．＋

【解析】选D.根据题意得：＝(＋)，

又＝＋，＝，

所以＝＝＋.

5．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC 于点E，则＝(　　)

A．－      B．＋

C．－      D．＋

【解析】选A.因为CD＝DA，DE⊥AC，所以E是AC 的中点，所以＝＋

＝＋＝－，

又因为DC∥AB，DC＝AB，所以＝，

所以＝－.

6．如图所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若＝，且点P落在第Ⅰ部分，则实数a，b满足(　　)

A．a>0，b>0       B．a>0，b<0

C．a<0，b>0       D．a<0，b<0

【解析】选C.当点P落在第Ⅰ部分时，按向量与分解时，一个与反向，一个与同向，故a<0，b>0.

二、填空题

7．如图所示，在6×4的方格中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B，C均为格点(格点是指每个小正方形的顶点)，则·＝________．

【解析】设水平向右和竖直向上的单位向量为e1和e2，则|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，

由题图可知，＝3e1＋2e2，＝6e1－3e2，·＝(3e1＋2e2)·(6e1－3e2)＝18e12＋3e1·e2－6e22＝12.

答案：12

8．已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有＝＋λ，则λ＝______．

【解析】因为A，B，D三点共线，

所以存在实数t，使＝t，

则－＝t(－)，

即＝＋t(－)＝(1－t)＋t，

所以即λ＝－.

答案：－

9．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________；＝________．

【解析】＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b＋b－a＝a＋b.

＝＋＝b－a.

答案：a＋b　b－a

10．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(x－2)e1＋(y－1)e2＝5e1＋2e2，则x＝________，y＝________．

【解析】因为向量e1，e2不共线，所以根据平面向量基本定理可得x－2＝5，y－1＝2，解得x＝7，y＝3.

答案：7　3

三、解答题

11．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.

(1)用a，b表示，，，，；

(2)求证：B，E，F三点共线．

【解析】(1)如图所示，延长AD到点G，使＝2，

连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，则＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a).

(2)由(1)知，＝，所以，共线，又，有公共点B，所以B，E，F三点共线．

12．在△ABC中，＝，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示．设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示.

【思路导引】设＝λ，＝μ，

根据，，不共线，列方程组求λ，μ.

【解析】因为M为BC的中点，所以＝＝(－)＝(b－a)，＝＋＝a＋(b－a)＝(a＋b).因为DN∥BM，AN与AM共线，

所以存在实数λ，μ，使得＝λ＝λ(b－a).＝μ＝μ(a＋b)＝a＋b.

因为＝＋＝a＋λ(b－a)＝a＋b，

所以根据平面向量基本定理，得

所以λ＝μ＝，所以＝(b－a)＝－a＋b.

【综合突破练】

一、选择题

1．若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝(　　)

A.     B.     C.     D.

【解析】选C.3e2－2e1＝ －＝ － ＝ ＝.

2．如图，在平行四边形ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，G为EF的中点，则＝(　　)

A．－      B．－

C．－      D．－

【解析】选A.在平行四边形ABCD中，

AE＝AB，CF＝CD，G为EF的中点，

＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋

＝＋＝－.

3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是(　　)

A．x＋y－2＝0       B．2x＋y－1＝0

C．x＋2y－2＝0      D．2x＋y－2＝0

【解析】选A.由＝λ，

得－＝λ(－)，

即＝(1＋λ)－λ.

又2＝x＋y，

所以

消去λ得x＋y＝2.

【加固训练】

 设a，b为平面内所有向量的一组基底，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于(　　)

A．2　　　B．－2　　　C．10　　　D．－10

【解析】选A.＝＋＋＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b.因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ使得＝λ，即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b.因为a，b为基底向量，所以解得λ＝，k＝2.

4．(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是(　　)

A． 与      B．与

C．与       D．与

【解析】选AC.对于A，与不共线；对于B，＝－，则与共线；对于C，与不共线；对于D，＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知A、C中的向量组可以作为平面的基底．

【加固训练】

 若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)

A．＝a－b　　　　 B．＝－a＋b

C．＝－a－b       D．＝a＋b

【解析】选BC.因为点D为边BC的中点，

所以＝＋＝＋＝a＋b，

所以＝－a－b；因为点E为边CA的中点，所以＝＝－a＋b；

因为点F为边AB的中点，

所以＝＋＝－－

＝－a－b；因为＝＋＝a＋b，

所以＝－＝－a－b.

二、填空题

5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且＝x，＝y，则3x＋y的最小值为________．

【解析】因为G是△ABC的重心，

所以＝＋，

又＝x，＝y，

所以＝＋，

因为M，G，N三点共线，

所以＋＝1，

所以3x＋y＝(3x＋y)＝1＋＋＋≥＋2＝.

当且仅当＝，

即x＝，y＝时，等号成立，故3x＋y的最小值为.

答案：

6．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．

【解析】设＝a, ＝b，则＝a＋b, ＝a＋

b.又因为＝a＋b，

所以 ＝(＋)，即λ＝μ＝.

所以λ＋μ＝.

答案：

7．如图，在平行四边形OPQR中，S是对角线的交点，若＝2e1，＝3e2，以e1，e2为基底，表示与，则＝________，＝______．

【解析】平行四边形OPQR中，＝＋＝2e1＋3e2，

＝－＝3e2－2e1.

因为点S是OQ，PR的中点．

所以＝PR＝e2－e1，

＝－＝－e1－e2.

答案：e2－e1　－e1－e2

8．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为______．

【解析】如图，分别在，上取点E，F，使＝，＝，

在上取点G，使＝，

则EG∥AC，FG∥AE，

所以＝＋＝，

所以M与G重合，所以＝＝.

答案：

三、解答题

9．P是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令＝p，用p表示.

【解析】因为＝＋，＝＋，

所以(＋)＋2(＋)＋3＝0，

所以＋3＋2＋3＝0.

又因为A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，

所以＝λ，＝μ，

所以λ＋3＋2＋3μ＝0，

所以(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.

而，为不共线向量，

所以

所以λ＝－2，μ＝－1，

所以＝－＝，

故＝＋＝2＝2p.