高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示一课一练

平面向量基本定理

【基础全面练】　(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．设{e1，e2}是平面内一个基底，则下面四组向量中，能作为基底的是(　　)

A．e1－e2与e2－e1

B．2e1＋3e2与－4e1－6e2

C．e1＋2e2与2e1－e2

D．－e1＋e2与e1－e2

【解析】选C.因为只有不共线的两个向量才能作为基底，选项A、B、D中的两个向量都是共线的，不可以作为基底．选项C中的两个向量不共线，可作为基底．

2．(2021·成都高一检测)如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a＝λe1＋μe2，则λ＋μ＝(　　)

A．－1    B．3    C．1    D．－3

【解析】选A.根据图象可知a＝－3e1＋(e2＋e1)＝－2e1＋e2，所以λ＝－2，μ＝1，λ＋μ＝－2＋1＝－1.

3.在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F，设＝a，＝b，则等于(　　)

A．－a＋b    B．a－b

C．a－b    D．a＋b

【解析】选A.因为＝，

所以＝－.

又因为EF∥BC，所以＝＝(－)，

所以＝＋＝－＋(－)＝－＝－a＋b.

【加固训练】

如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝(　　)

A．＋    B．＋

C．＋    D．＋

【解析】选D.根据题意得：＝(＋)，

又＝＋，＝，

所以＝

＝＋.

4．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.因为＝4＝r＋s，

所以＝＝(－)＝r＋s，

所以r＝，s＝－.

所以3r＋s＝－＝.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以{a，b}为基底时，可表示为________，在以{a，c}为基底时，可表示为________．

【解析】以{a，b}为基底时，由平行四边形法则得＝a＋b.以{a，c}为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则得＝2a＋c.

答案：a＋b　2a＋c

6．已知e1，e2不共线，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作为基底，则实数k等于________．

【解析】因为a，b不能作为基底，所以a，b共线，可设a＝λb，λ∈R，则ke1－e2＝λ，即ke1－e2＝λe2－λe1，因为e1，e2不共线，所以所以k＝1.

答案：1

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．(2021·大连高一检测)如图，已知M，N，P是△ABC三边BC，CA，AB上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，.

【解答】因为＝，

所以＝，

所以＝－＝－＝a－b，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.

8．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，＝a，＝b.试以{a，b}为基底表示，.

【解析】连接FA，DF.

因为AD∥BC，且AD＝BC，

所以＝＝b，所以＝＝b.

因为＝，所以＝b，

所以＝－＝a－b.

所以＝＋＝－－

＝－b－＝b－a，

＝＋＝－(＋)

＝－＝b－a.　

【综合突破练】　(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是(　　)

A．x＋y－2＝0    B．2x＋y－1＝0

C．x＋2y－2＝0    D．2x＋y－2＝0

【解析】选A.由＝λ，

得－＝λ(－)，

即＝(1＋λ)－λ.

又2＝x＋y，

所以消去λ得x＋y＝2.

2．(多选题)(2021·岳阳高一检测)如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．＝＋    B．＝＋

C．＝＋    D．＝－

【解析】选ABD.＝＋＝＋，A正确；＝＋＝＋＝＋＝＋，B正确；＝＋＋＝－＋＋＝－，C错误；＝＋＋＝－＋＋＝－，D正确．

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．方格纸中向量a，b，c如图所示，若c＝λa＋μb，则λ＋μ＝________．

【解析】设水平向右，竖直向上的单位向量分别为e1，e2，

则a＝e1＋3e2，b＝3e1－e2，c＝5e1＋5e2，

又c＝λa＋μb，所以

所以即λ＋μ＝3.

答案：3

4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ(λ＞0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，则λ＝________，μ＝________．

【解析】依题意得＝b－a，＝a＋b，且＝＝(a－b)＝a－b，＝＋＝＝(a＋b)，

所以＝＋＝b＋＝a＋b，＝＋＝a＋b＋＝a＋b，即＝(a＋b)＝a＋b，

由平面向量基本定理，得

解得

答案：3　

三、解答题(每小题10分，共20分)

5．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.

(1)用a，b表示，，，，；

(2)求证：B，E，F三点共线．

【解析】(1)延长AD到点G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，则＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a).

(2)由(1)知，＝，所以，共线．

又，有公共点B，所以B，E，F三点共线．

6．(2021·六盘山高一检测)如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．

(1)若点F是CD上靠近C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值．

(2)若AB＝2，当·＝1时，求DF的长．

【解析】(1)因为点E是BC边上中点，点F是CD上靠近C的三等分点，

所以＝－＝－，＝＝，

所以＝＋＝－＋，

所以λ＝－，μ＝，

故λ＋μ＝－＋＝.

(2)设＝λ，则＝＋＝－λ，又＝＋＝＋，·＝0，

所以·＝(＋)·(－λ)＝－λ2＋2＝－4λ＋2＝1，

故λ＝，所以DF＝(1－λ)×2＝.