人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制同步训练题

5.1.2　弧度制

基础过关练

题组一　角度与弧度的互化及应用

1.把135°化为弧度等于(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.   B. C. D.

2.把-化成角度是(　　)

A.-960° B.-480° C.-120° D.-60°

3.下列转化结果错误的是(　　)

A.60°化成弧度是

B.-化成角度是-600°

C.-150°化成弧度是-

D.化成角度是15°

4.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为　　　　. 

5.已知两角的和是1弧度,两角的差是1°,则这两个角用弧度制表示为　　　　　　　　. 

6.将下列各角转化成2kπ+α(k∈Z,且0≤α<2π)的形式,并指出它们是第几象限角.

(1)-1 725°;(2)3 840°.

题组二　用弧度制表示终边相同的角

7.与角终边相同的角是(　　)

A. B.2kπ-(k∈Z)

C.2kπ-(k∈Z) D.(2k+1)π+(k∈Z)

8.下列各对角中,终边相同的是(　　)

A., B.-,

C.,- D.-,-

9.已知角α与β的终边关于原点对称,则α与β的关系为(　　)

A.α-β=π+2kπ(k∈Z)

B.α+β=0

C.α+β=2kπ(k∈Z)

D.以上都不对

10.(2019黑龙江哈三中高一上模块检测)在0°~360°内,与角-终边相同的角是　　　　. 

11.用弧度表示终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合.

题组三　扇形的弧长公式及面积公式的应用

12.(2019安徽宿州十三所重点中学高一上期末)扇形的圆心角为,半径为,则此扇形的面积为(　　)

A. B.π

C. D.

13.已知扇形的面积为,半径是1,则扇形的圆心角是(　　)

A. B.

C. D.

14.(2020湖南张家界高一上期末)已知扇形的圆心角为,弧长为π,则扇形的面积为　　　　. 

能力提升练

题组一　用弧度制表示终边相同的角

1.()若-≤α<β≤,则,的取值范围分别是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A., B.,

C., D.,

2.()已知α是第二象限角.

(1)指出所在的象限,并用图形表示其变化范围;

(2)若α同时满足条件|α+2|≤4,求α的取值范围.

题组二　扇形的弧长公式及面积公式的应用

3.(2020湖南张家界高一上期末,)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴,一般情况下,折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图所示.

设制作扇子的扇形面积为S1,圆面中剪下丢去部分的面积为S2,当=≈0.618时,扇面看上去形状较为美观,那么此时制作扇子的扇形圆心角的度数约为(　　)

A.127.50° B.137.50°

C.147.50° D.150.50°

4.(2020四川攀枝花高一上质量监测,)《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=·(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长为40 m的弧田,其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为　　　　m2(其中π≈3,≈1.73)(　　) 

A.15 B.16 C.17 D.18

5.(2020吉林五地六校高一上期末,)如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB的长为2,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC',点C'在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为　　　　. 

6.() 已知扇形的圆心角为α,半径为r.

(1)若扇形的周长是定值C(C>0),求扇形的最大面积及此时α的值;

(2)若扇形的面积是定值S(S>0),求扇形的最小周长及此时α的值.

7.()如图所示,已知一长为 dm,宽为1 dm的长方形木框在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木块挡住,使木框的一边与桌面成30°角,求点A走过的路程及走过的弧所对应的扇形的总面积.

答案全解全析

基础过关练

1.C　因为180°=π,所以1°=,所以135°==,故选C.

2.B　-=-×180°=-480°.

3.C　A正确,60°=60×=;B正确,-=-×°=-600°;C错,-150°=-150×=-;D正确,=×°=15°.

4.答案　-

解析　∵分针每分钟转6°,∴分针在1点到3点20分这段时间里转过的度数为-6°×(2×60+20)=-840°,∴-840×=-.

5.答案　+,-

解析　设这两个角为α,β弧度,不妨设α>β,则解得

6.解析　(1)-1 725°=-5×360°+75°=-10π+.∵-1 725°与的终边相同,且是第一象限角,∴-1 725°是第一象限角.

(2)3 840°==20π+.∵与的终边相同,且是第三象限角,∴3 840°是第三象限角.

7.B　A错,=2π+,与角的终边不同;B正确,2kπ-,k∈Z,当k=2时,得[0,2π)上的角为,与角有相同的终边;C错,2kπ-,k∈Z,当k=1时,得[0,2π)上的角为,与角的终边不同;D错,(2k+1)π+,k∈Z,当k=0时,得[0,2π)上的角为,与角的终边不同.

8.D　A错,=6π+,=10π-,终边不相同;B错,π=6π+,其终边与-的终边不同;C错,的终边在y轴的负半轴上,而-的终边在y轴的正半轴上,所以终边不相同;D正确,因为-=-2π-,所以-和-的终边相同.

9.A　由已知可得α-β=π+2kπ(k∈Z).

10.答案　300°

解析　∵-=-2π+,

∴在0到2π范围内,与角-终边相同的角是300°.

故答案为300°.

11.解析　如题图,330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化为弧度为-,

而75°=75×=,

∴终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合为θ2kπ-≤θ≤2kπ+,k∈Z.

12.B　由扇形的圆心角α=,半径r=,可得弧长l=αr=,

故扇形面积为lr=××=π.

13.C　设扇形的圆心角是α,则=α×12,解得α=,故选C.

14.答案　2π

解析　由扇形的圆心角α=,弧长l=π,得扇形的半径r==4,

则扇形的面积S=lr=×π×4=2π.故答案为2π.

能力提升练

1.D　∵-≤α<β≤,

∴-≤<,-<≤,

两式相加可得-<<.

∵-<≤,∴-≤-<,

则-≤<.

又α<β,∴<0,故-≤<0,故选D.

2.解析　(1)依题意知,2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z,

所以kπ+<<kπ+,k∈Z.若k为偶数,则是第一象限角;若k为奇数,则是第三象限角.

其变化范围如图中阴影部分所示(不含边界).

(2)因为|α+2|≤4,所以-6≤α≤2,

所以α∈∩[-6,2],k∈Z,

所以α∈∪.

3.B　设圆的半径为R,圆面中剪下扇形的圆心角为α,剪下丢去部分的圆心角为β,

依题意得===,

∴β=α.又α+β=360°,

∴α+α=360°,解得α=×360°≈137.50°.故选B.

4.B　因为圆心角为,弦长为40 m,所以圆心到弦的距离为20 m,半径为40 m,

因此根据经验公式计算出弧田的面积为×(40×20+20×20)=(400+200)m2,

实际面积等于扇形面积减去三角形面积,

为××402-×20×40=-400m2,

因此两者之差为-400-(400+200)≈16 m2,故选B.

5.答案　

解析　由题意可知OB=OA=1,OC=OC'=,BC=B'C'=,∠B'OC=∠B'OC'=,扇形AOB'的面积为,Rt△B'OC'的面积为,故B'C'左边空白图形的面积S1=-,而B'C'右边三块空白图形的面积之和S2=××+=+,由此可得空白图形的总面积S=S1+S2=+=,而半圆的面积为,所以所求阴影部分的面积为-=.

6.解析　(1)由题意,可得2r+αr=C,则αr=C-2r,

则扇形的面积S=αr2=(C-2r)r=-r2+Cr=-+,

故当r=时,S取得最大值,此时α==2.

(2)由题意可得S=αr2,则αr=,

故扇形的周长C=2r+αr=2r+≥4,

当且仅当2r=,即r=时,等号成立,

即r=时,C取得最小值4,此时α==2.

7.解析　根据题意得,所在扇形的半径是2 dm,圆心角为;所在扇形的半径是1 dm,圆心角为;所在扇形的半径是 dm,圆心角为,所以点A走过的路程是3段圆弧长之和,即2×+1×+×=π(dm),3段圆弧所对应的扇形的总面积是×π×2+××1+××=(dm2).