必修第一册章末检测：第四章　幂函数、指数函数和对数函数+Word版含解析

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章末检测(四)　幂函数、指数函数和对数函数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a>0，则a·a等于(　　)
A．a　　　　　　　　　 B．a
C．a D．a
解析：选A　a·a＝a＝a＝a.
2．已知a>1，函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象只可能是(　　)

解析：选C　当a>1时，y＝a－x＝，在R上是减函数；当a>1时，y＝logax是增函数，且函数y＝logax的图象与函数y＝loga(－x)的图象关于y轴对称，综合考虑选项C正确．
3．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是(　　)
A．m C．p 解析：选C　∵m＝0.95.1<0.90＝1，∴m∈(0，1)；又n＝5.10.9>5.10＝1，∴n∈(1，＋∞)；∵p＝log0.95.1 4．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象过点(0，0)，其反函数的图象过点(1，2)，则a＋b等于(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选C　函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象过点(0，0)，其反函数的图象过点(1，2)，则即解得则a＋b＝4.
5．由表格中的数据，可以判断方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是(　　)
x
0
1
2
3
4
ex
1
2.72
7.39
20.09
54.60
3x＋2
2
5
8
11
14

A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选C　设f(x)＝ex－3x－2，由题表知，f(0)，f(1)，f(2)均为负值，f(3)，f(4)均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为(2，3)，故选C.
6．若镭经过100年后剩留量为原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年剩留量为y，则y与x的函数关系为(　　)
A．y＝0.957 6 B．y＝0.957 6100x
C．y＝ D．y＝1－0.042 4
解析：选A　设镭每年放射掉其质量的百分比为t，则95.76%＝(1－t)100，所以t＝1－，所以y＝(1－t)x＝0.957 6.
7．已知0 A．2 B．3
C．4 D．与a的值有关
解析：选A　分别作出函数y＝a|x|和y＝|logax|的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方案a|x|＝|logax|有两个根．故选A.
8．已知函数f(x)＝e|x|＋x2(e为自然对数的底数)，且f(3a－2)>f(a－1)，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．
C.∪ D．∪
解析：选C　易知f(x)＝e|x|＋x2为偶函数，所以f(3a－2)>f(a－1)同解于f(|3a－2|)>f(|a－1|)．又因为在[0，＋∞)上，f(x)＝e|x|＋x2为增函数，所以f(|3a－2|)>f(|a－1|)⇒|3a－2|>|a－1|，两边平方得8a2－10a＋3>0，解得a<或a>，故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．若函数f(x)＝·ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是(　　)
A．a＝8 B．f(0)＝－3
C．f＝2 D．a＝4
解析：选AC　因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，所以f(0)＝1，f＝8＝2.
10．已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　)
A．f(4)＝－3
B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f(x)的最小值为－4
D．函数y＝f(x)的最大值为4
解析：选ABC　A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．
11．已知函数f(x)的定义域为D，若对任意x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“M函数”．下列所给出的函数中是“M函数”的有(　　)
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝2x－1 D．y＝ln(x＋1)
解析：选BD　依题意得，若b是f(x)的值域中的数，则－b也是值域中的数，即f(x)的值域关于原点对称，选项A中函数的值域为[0，＋∞)，不是“M函数”；选项B中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是“M函数”；选项C中函数的值域为(0，＋∞)，不是“M函数”；选项D中函数的值域为R，是“M函数”．故选B、D.
12．设函数y＝ln(x2－x＋1)，则下列命题中正确的是(　　)
A．函数的定义域为R
B．函数是增函数
C．函数的值域为R
D．函数的图象关于直线x＝对称
解析：选AD　A正确，∵x2－x＋1＝＋>0恒成立，∴函数的定义域为R；B错误，函数y＝ln(x2－x＋1)在x>时是增函数，在x<时是减函数；C错误，由x2－x＋1＝＋≥可得y＝ln(x2－x＋1)≥ln，∴函数的值域为；D正确，函数的图象关于直线x＝对称．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知集合A＝{x|y＝}，B＝，则(∁RA)∩B＝________．
解析：因为A＝{x|y＝}＝{x|x≥0}，
所以∁RA＝{x|x＜0}．
又B＝＝{x|－1＜x＜2}，
所以(∁RA)∩B＝{x|－1＜x＜0}．
答案：{x|－1＜x＜0}
14．已知函数f(x)＝则f的值为________．
解析：因为＞0，所以f＝log3＝log33－2＝－2，所以f(－2)＝2－2＝.
答案：
15．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．
(1)f的值为________；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，则实数a的值为________．
解析：(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或3.
当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，不满足题意，
∴m＝2舍去；
当m＝3时，f(x)＝x－4是偶函数，满足题意，
∴f(x)＝x－4.
∴f＝＝16.
(2)由f(x)＝x－4为偶函数及f(2a＋1)＝f(a)可得|2a＋1|＝|a|，即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，∴a＝－1或a＝－.
答案：(1)16　(2)－1或－
16.如图，已知点A，B是函数f(x)＝log216x图象上的两点，点C是函数g(x)＝log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点)，则点A的横坐标为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
则y1＝log216x1，y2＝log216x2，y3＝log2x3，x2＝x3.
因为△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点)，
所以y2－y3＝2(x2－x1)，y2＋y3＝2y1，
即log216x2－log2x3＝2(x2－x1)，
log216x2＋log2x3＝2log216x1，
化简可得x2－x1＝2，log2x2＝2＋log2x1，
解得x1＝，x2＝.
答案：
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)化简求值：
(1)0.064－＋16＋0.25；
(2)lg 25＋lg 2＋－log29×log32.
解：(1)0.064－＋16＋0.25＝0.4－1＋2＋0.5＝2.5－1＋8＋0.5＝10.
(2)lg 25＋lg 2＋－log29×log32
＝lg 5＋lg 2＋3－2(log23×log32)
＝1＋－2＝－.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．

解：(1)先作出当x≥0时，f(x)＝的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．

(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．
19．(本小题满分12分)已知幂函数f(x)＝x (m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)讨论g(x)＝a－的奇偶性．
解：(1)由f(x)＝x (m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，得(m－2)＜0，∴m＜2.
∵m∈N，∴m＝0，1.
∵f(x)是偶函数，
∴只有当m＝0时符合题意，故f(x)＝x.
(2)于是g(x)＝－，g(－x)＝＋，且g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当a≠0且b≠0时，g(x)既不是奇函数也不是偶函数；
当a＝0且b≠0时，g(x)为奇函数；
当a≠0且b＝0时，g(x)为偶函数；
当a＝0且b＝0时，g(x)既是奇函数又是偶函数．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)－g(x)＝.
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)若f(2x)>ag(x)在x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围；
解：(1)∵f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，f(x)－g(x)＝，
将x换成－x可知：f(－x)－g(－x)＝ex，
化简可得：f(x)＋g(x)＝ex，
联立方程组
解得f(x)＝，g(x)＝.
(2)由f(2x)>ag(x)，∴>a，
令ex－＝t，
∵x>1可知t∈，
∴at，
∴a<.
21．(本小题满分12分)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．
当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，45]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．
(1)试求p＝f(t)的函数关系式；
(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．
解：(1)由题意知，当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为(12，82)，且曲线过点(14，81)，则可得f(t)＝－(t－12)2＋82，t∈(0，14]．
又当t∈[14，45]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分，且曲线过点(14，81)，则易得a＝，
则f(t)＝log(t－5)＋83，t∈[14，45]．
则p＝f(t)＝
(2)由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，
当t∈(0，14]时，令f(t)＝－(t－12)2＋82>80，
解得12－2 当t∈[14，45]时，令f(t)＝log(t－5)＋83>80，
解得14≤t<32.
综上可得，12－2 故老师在(12－2，32)这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(kx2－2x＋6)(a>0，a≠1)．
(1)若函数的定义域为R，求实数k的取值范围；
(2)若函数f(x)在[1，2]上恒有意义，求k的取值范围；
(3)是否存在实数k，使得函数f(x)在区间[2，3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵函数的定义域为R，
则kx2－2x＋6>0在R上恒成立，
当k＝0时，－2x＋6>0，得x<3，不合题意舍去；
当k≠0时，解得k>，
综上可得k的取值范围为.
(2)函数f(x)在[1，2]上恒有意义，即kx2－2x＋6>0在[1，2]上恒成立
∴kx2>2x－6，∴k>－恒成立，
令t＝，t∈，则y＝－6t2＋2t，当t＝时，
ymax＝－6×＋2×＝－，
∴k>－，
即k的取值范围为.
(3)当a>1时，
或
解得k＝，k>.
当0 或
解得k＝，0 故存在实数k＝，使得函数f(x)在区间[2，3]上为增函数，且最大值为2.