必修 第一册5.1 任意角和弧度制同步训练题

新课程必修第一册《5.1.2弧度制》同步基础测试及答案解析

1.下列说法中,正确的是(   )

A.1弧度角的大小与圆的半径无关

B.大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大

C.圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等

D.用弧度来表示的角都是正角

答案：A

解析：由弧度的定义得,弧度的大小与圆的半径无关,它由比值唯一确定,故A正确,B错误;圆心角为1弧度的扇形的弧长,与半径有关,故C错误;正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,故D错误．答案：A．

2.下列命题中，假命题是（   ）。

A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的

C．1 rad的角比1°的角要大

D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关

答案：D。

解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C项均为真命题。

3.-300°化为弧度是(   )

A. B. C. D.

答案：B

解析：.答案：B.

4.把化成角度是(   )

A. B. C. D.

答案：D

解析：,则化成角度是.

5．　　

A． B． C． D．

答案：．

解析：．

6．化成弧度是　　

A． B． C． D．

答案：．

解析：．

7.圆的半径为r,该圆上长为的弧所对的圆心角是(   )
A. B. C. D.

答案：B

解析：由公式，得，因此所求的圆心角是.

8．已知弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长是　　

A． B． C． D．

答案：．

解析：连接圆心与弦的中点，

则由题意可得，，，

在中，半径，

由弧长公式可得所求弧长．

9.设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（   ）。

A．1 rad B．2 rad

C．3 rad D．4 rad

答案：B

解析：设扇形半径为r，弧长为l，由题意得：解得

则圆心角α＝＝2rad。

10．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为　　

A． B． C． D．

答案：．

解析：由已知可得，的外接圆半径为1，

由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，

则弓形的面积为，

外侧的圆弧以为直径，

所以半圆的面积为，

则月牙形的面积为．

二．填空题（共2小题）

11.___________弧度,弧度=_____________.

答案：；

解析：,.

12．已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为　　．

解析：由弧长公式可得．

故答案为：

13.已知扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为　 　．

解析：扇形的圆心角为2弧度，半径为，

扇形的弧长，扇形的面积为．

故答案为：1．

14.已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径_________，圆心角=_________.

答案：2；

解析：设圆心角度数为，由扇形的面积公式得，解得，由扇形的弧长公式得，解得.

三．解答题

15.将角α1＝－570°，α2＝750°用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；

解析：要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0（k ∈ Z，0≤α0<2π）的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限。

α1＝－570°＝－π＝－4π＋π，

α2＝750°＝π＝4π＋。

∴α1在第二象限，α2在第一象限。

16. 将角β1＝π，β2＝－π用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角。

解析：β1＝＝108°，设θ＝β1＋k·360°（k ∈ Z），

由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°，

∴k＝－2或k＝－1，

∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°。

同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°。

17．已知扇形的周长为8．

（1）若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长．

解析：设扇形的半径为，中心角为，则．，．

（1）由题意可得：，又．

联立解得或．

（2），

当且仅当．．

．

18．已知扇形的圆心角为，半径为．

（1）若，，求圆心角所对的弧长．

（2）若扇形的周长是，面积是，求和．

解析：（1），弧长．

（2）由题意可得：，，联立解得．

19.已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解析：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S。

则l＝20－2r，∴S＝l·r＝（20－2r）·r＝－r2＋10r＝－（r－5）2＋25（0＜r＜10）。

∴当半径r＝5cm时，扇形的面积最大，为25cm2

此时α＝＝＝2rad．

∴当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25cm2

20.用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解析：设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则

∵l＋2r＝30

∴l＝30－2r，从而S＝l·r＝（30－2r）·r＝－r2＋15r＝－2＋。

∴当半径r＝ cm时，l＝30－2×＝15 cm，扇形面积的最大值是 cm2，这时α＝＝2 rad．

∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为cm2