2020-2021学年5.2 任意角的三角函数精练

课时跟踪检测(四十)　同角三角函数的基本关系

[A级　基础巩固]

1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　)

A．tan α＝－　　　　　 B．cos α＝－

C．sin α＝－  D．tan α＝

解析：选B　由商数关系可知A、D均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B正确．

2．若α∈且sin 3α＝，则cos 3α＝(　　)

A．－  B．

C．－  D．

解析：选B　∵α∈，∴3α∈，∴cos 3α＞0，∴cos 3α＝＝＝.

3．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)

A．－4  B．4

C．－8  D．8

解析：选C　sin α－cos α＝－⇒(sin α－cos α)2＝

⇒1－2sin αcos α＝⇒sin αcos α＝－，

∴tan α＋＝＋＝＝－8.故选C.

4．若β∈[0，2π)，且 ＋＝sin β－cos β，则β的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　∵＋＝|sin β|＋|cos β|＝sin β－cos β，∴sin β≥0且cos β≤0.又∵β∈[0，2π)，∴β∈.故选B.

5．(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)

A．θ∈  B．cos θ＝－

C．tan θ＝－  D．sin θ－cos θ＝

解析：选ABD　由题知sin θ＋cos θ＝， ①

∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，

∴2sin θcos θ＝－＜0.

又∵θ∈(0，π)，

∴＜θ＜π，sin θ－cos θ＞0.

∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝，

∴sin θ－cos θ＝.②

联立①②，得

∴tan θ＝－.故选A、B、D .

6．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________．

解析：由已知条件可得角θ的终边在第三象限，

∴cos θ＝－＝－ ＝－.

答案：－

7．已知＝－5，那么tan α＝________．

解析：易知cos α≠0，由＝－5，得＝－5，解得tan α＝－.

答案：－

8．(2021·临沂外国语学校高一月考)若θ为第四象限角，则 －化简为________．

解析：∵θ为第四象限角，∴sin θ＜0，

∴ －＝－

＝－ ＝－

＝＝

＝＝＝.

答案：

9．求证：＝.

证明：法一：∵左边＝

＝

＝

＝

＝

＝＝右边，

∴原等式成立．

法二：∵右边＝＝，

左边＝＝

＝

＝，

∴左边＝右边，原等式成立．

10．(2021·衡阳一中高一月考)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0，π)．求：

(1)m的值；

(2)＋的值．

解：(1)由根与系数的关系可得sin θ＋cos θ＝，

∴1＋2sin θcos θ＝，

∴2sin θcos θ＝.

由根与系数的关系可得sin θcos θ＝＝，∴m＝.

(2)∵＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ，

∴原式＝sin θ＋cos θ＝.

[B级　综合运用]

11．(多选)下列计算或化简结果正确的是(　　)

A.＝2

B．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝2

C．若tan x＝，则＝1

D．若α为第一象限角，则＋＝2

解析：选ABD　A正确，＝·＝2；B正确，tan θ＋＝＋＝＝2；C不正确，＝＝＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝＋＝2.故选A、B、D.

12．设tan 160°＝k，则sin 160°＝(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　∵tan 160°＝＝k，

∴sin 160°＝kcos 160°.

又∵sin2160°＋cos2160°＝1，

∴(kcos 160°)2＋cos2160°＝1，

∴cos2160°＝.

又160°是第二象限角，

∴cos 160°＜0，

∴cos 160°＝－，

∴sin 160°＝kcos 160°＝－.故选B.

13．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝________，tan2α＋＝________．

解析：∵tan α＋＝3，∴＋＝3，即＝3，∴sin αcos α＝，tan2α＋＝－2tan α·＝9－2＝7.

答案：　7

14．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.

(1)求sin Acos A的值；

(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；

(3)求tan A的值．

解：(1)∵sin A＋cos A＝， ①

两边平方，得1＋2sin Acos A＝，

∴sin Acos A＝－.

(2)由sin Acos A＝－<0，且0<A<π，

可知cos A<0，∴A为钝角，

∴△ABC是钝角三角形．

(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，

又∵sin A>0，cos A<0，

∴sin A－cos A>0，

∴sin A－cos A＝. ②

由①②可得sin A＝，cos A＝－，

∴tan A＝＝＝－.

[C级　拓展探究]

15．(1)分别计算cos4－sin4和cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？

(2)计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？

(3)证明：x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x.

(4)推测：x∈R，cos2x－sin2x与cos 2x的关系，不需证明．

解：(1)cos4－sin4

＝＝cos2－sin2

＝－＝＝cos.

(2)cos4－sin4

＝

＝cos2－sin2＝－＝0＝cos.

(3)证明：cos4x－sin4x

＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)

＝cos2x－sin2x.

(4)推测cos2x－sin2x＝cos 2x.