高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制课堂检测

5.1.2　弧度制

基础过关练　　　　　　 　　　 　　　　　

题组一　弧度制及弧度与角度的互化

1.把-化成角度是 (　　)

A.-960° B.-480° C.-120° D.-60°

2.(2020北京人大附中高一下阶段检测)下列角α位于第三象限的是 (　　)

A.α=3        B.α=       C.α=-210° D.α=-3

3.(2021山西长治二中高一上第二次月考)角α=4,则角α终边所在的象限是 (　　)

A.第一象限   B.第二象限    C.第三象限   D.第四象限

4.时钟的分针从1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为　　　　. 

5.把下列角度化成弧度或弧度化成角度:

(1)72°;(2)-300°;(3)2;(4)- .

题组二　用弧度制表示终边相同的角

6.(2020辽宁营口二中高一下期末)下列各角中,终边相同的角是 (　　)

A.和240° B.-和314°  C.-和    D.3和3°

7.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是 (　　)

8.已知角α与β的终边关于原点对称,则α与β的关系为(　　)

A.α-β=π+2kπ(k∈Z) B.α+β=0

C.α+β=2kπ(k∈Z)     D.以上都不对

9.(多选)(2021江苏扬中高级中学等八校高一上联考)下列给出的各角中,与-终边相同的角有 (　　)

A.  B.  C.-  D.-

10.用弧度表示终边落在阴影部分内(包括边界)的角的集合.

题组三　扇形的弧长公式及面积公式的应用

11.(2020辽宁省实验中学高一下期中)若扇形的圆心角为1 rad,半径为2,则该扇形的面积为 (　　)

A.    B.1    C.2     D.4

12.在单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为 (　　)

A.   B.      C.9π    D.10π

13.(2020山东潍坊诸城高一下期中)一个扇形的圆心角为150°,面积为,则该扇形的半径为 (　　)

A.4    B.1     C.       D.2

14.一个扇形的弧长为6,面积为6,则这个扇形的圆心角为(　　)

A.1     B.2   C.3      D.4

15. (2020湖南张家界高一上期末)已知扇形的圆心角为,弧长为π,则该扇形的面积为　　　　. 

能力提升练

题组一　弧度制及其应用

1.()若-≤α<β≤,则,的取值范围分别是(　　)

A.,  B.,

C.,  D.,

2.()已知α是第三象限角,则不可能是 (　　)

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

3.()如图1是某小区的公园,它有一圆形跑道,跑道上有4个出口A、B、C、D(视为点),且将圆弧四等分(如图2).小明从A点出发,在圆形跑道上按逆时针方向做匀速圆周运动,假设他每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π),3分钟时第一次到达劣弧之间(不包括C、D点),15分钟时回到出发点A,则θ的值为　　　　　. 

4.()已知α是第二象限角.

(1)指出所在的象限,并用图形表示其变化范围;

(2)若α同时满足条件|α+2|≤4,求α的取值范围.

题组二　扇形的弧长公式及面积公式的应用

5.(2021黑龙江省实验中学高一上月考,)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面看上去形状较为美观,那么此时制作扇子的扇形的圆心角的弧度数为              (　　)

A.(3-)π   B.(-1)π   C.(+1)π  D.(-2)π

6.(2020四川攀枝花高一上质量监测,)《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元1世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=×(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得的弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长为40 m的弧田,其实际面积与按照上述经验公式计算出的面积之间的误差为　　　　m2(其中π≈3,≈1.73)              (　　) 

A.15 B.16 C.17 D.18

7.(2020吉林五地六校高一上期末联考,)如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB的长为2,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O按逆时针方向旋转至△B'OC',点C'在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为　　　　. 

8.() 已知扇形的圆心角为α,半径为r.

(1)若扇形的周长是定值C(C>0),求扇形的最大面积及此时α的值;

(2)若扇形的面积是定值S(S>0),求扇形的最小周长及此时α的值.

答案全解全析

基础过关练

1.B　-=-×°=-480°.

2.D　第三象限角的范围是2kπ+π,2kπ+,k∈Z.选项A中,α=3=3×°≈172°,是第二象限的角,故不满足题意;选项B中,α=是第二象限的角,故不满足题意;选项C中,α=-210°是第二象限的角,故不满足题意;选项D中,α=-3=-3×°≈-172°,是第三象限的角,满足题意.故选D.

3.C　角α=4,∴π<α<,则角α的终边在第三象限,故选C.

4.答案　-

解析　∵分针每分钟转-6°,∴分针从1点到3点20分这段时间里转过的度数为-6°×(2×60+20)=-840°,-840°=-840×=-.

5.解析　(1)72°=72×=.

(2)-300°=-300×=-.

(3)2=2×°=°.

(4)-=-°=-40°.

6.C　对于A选项,240°=,不合题意;对于B选项,-=-36°,314°-360°=-46°,不合题意;对于C选项,-=4π,符合题意;对于D选项,3=3×°≈171.9°,171.9°-3°=168.9°,不合题意.故选C.

7.C　当k为偶数时,集合对应的区域为第一象限内直线y=x的左上部分(包含边界),当k为奇数时,集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界).

8.A　由已知可得α-β=π+2kπ(k∈Z).

9.ABD　与-终边相同的角记为α,

则α=-+2kπ,k∈Z,

当k=1时,α=,故选项A正确;

当k=3时,α=,故选项B正确;

令-+2kπ=-,解得k=∉Z,故选项C错误;

当k=-2时,α=-,故选项D正确.

故选ABD.

10.解析　如题图,330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化成弧度为-,

而75°=75×=,

∴终边落在题图阴影部分内(包括边界)的角的集合为θ2kπ-≤θ≤2kπ+,k∈Z.

11.C　S扇形=αr2=×1×22=2,其中α为扇形的圆心角,r为扇形的半径,故选C.

12.B　∵单位圆的半径为1,且200°=,

∴弧长l=×1=.故选B.

13.D　扇形的圆心角α=150°=,设扇形的半径为R,面积为S,

则S=αR 2=××R 2=,解得R=2(负值舍去),故选D.

14.C　根据扇形的面积公式S=lr,可得6=×6r,解得r=2,

再根据弧长公式l=rα,可得扇形的圆心角α===3.故选C.

15.答案　2π

解析　由扇形的圆心角α=,弧长l=π,得扇形的半径r==4,

则扇形的面积S=lr=×π×4=2π.

故答案为2π.

能力提升练

1.D　∵-≤α<β≤,

∴-≤<,-<≤,

两式相加可得-<<.

∵-<≤,∴-≤-<,

则-≤<.

又α<β,∴<0,故-≤<0,故选D.

2.B　因为α是第三象限角,

所以2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,

所以kπ+<<kπ+ ,

当k=3n,n∈Z时,2nπ+<<2nπ+,为第一象限角;

当k=3n+1,n∈Z时,2nπ+π<<2nπ+,为第三象限角;

当k=3n+2,n∈Z时,2nπ+<<2nπ+,为第四象限角.

所以不可能是第二象限角.故选B.

3.答案　

信息提取　①每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π);②15分钟时回到出发点A;③3分钟时第一次到达劣弧之间(不包括C、D点).

数学建模　利用条件“15分钟时回到出发点A”列出等式,利用“3分钟时第一次到达劣弧之间”列出不等式,解不等式得出结论.

解析　每分钟转过的圆心角为θ弧度,15分钟转过的圆心角为15θ弧度,由题意得15θ=2kπ,k∈Z,所以θ=,k∈Z,

又他3分钟时第一次到达劣弧之间,所以π<3θ<,即π<<,k∈Z,解得k=3,所以θ=.

故答案为.

4.解析　(1)依题意知,2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z,所以kπ+<<kπ+,k∈Z.

若k为偶数,则是第一象限角;若k为奇数,则是第三象限角.

其变化范围如图中阴影部分所示(不含边界).

(2)因为|α+2|≤4,所以-6≤α≤2,

所以α∈∩[-6,2],k∈Z,

所以α∈∪.

5.A　易得制作扇子的扇形的圆心角(设为α)与圆面中剩余的扇形的圆心角(设为β)的比即为它们的面积比,

则==,

又α+β=2π,所以α=(3-)π.故选A.

6.B　因为圆心角为,弦长为40 m,所以圆心到弦的距离为20 m,半径为40 m,

因此根据经验公式计算出弧田的面积为×(40×20+20×20)=(400+200)m2,

实际面积等于扇形面积减去三角形面积,

为××402-×20×40=-400m2,

因此两者之差为-400-(400+200)≈16 m2,故选B.

7.答案　

解析　由题意可知OB=OA=1,OC=OC'=,BC=B'C'=,∠B'OC=∠B'OC'=,扇形AOB'的面积为,Rt△B'OC'的面积为,故题图中B'C'左边空白图形的面积S1=-,而B'C'右边三块空白图形的面积之和S2=××+=+,由此可得空白图形的总面积S=S1+S2=+=,而半圆的面积为,所以所求阴影部分的面积为-=.

8.解析　(1)由题意,可得2r+αr=C,则αr=C-2r,

则扇形的面积S=αr2=(C-2r)r=-r2+Cr=-+,

故当r=时,S取得最大值,此时α==2.

(2)由题意可得S=αr2,则αr=,

故扇形的周长C=2r+αr=2r+≥4,

当且仅当2r=,即r=时,等号成立,

即r=时,C取得最小值4,此时α==2.