数学湘教版（2019）2.1 相等关系与不等关系课后作业题

这是一份数学湘教版（2019）2.1 相等关系与不等关系课后作业题，共16页。试卷主要包含了下列不等式一定成立的是等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 对基本不等式及其推论的理解
1.不等式a+1≥2a中等号成立的条件是( )
A.a=0 B.a=12
C.a=1 D.a=2
2.(多选)下列条件可使ba+ab≥2成立的有( )
A.ab>0B.ab<0
C.a>0,b>0D.a<0,b<0
3.下列不等式一定成立的是( )
A.3x+12x≥6
B.3x2+12x2≥6
C.3(x2+1)+12(x2+1)≥6
D.3(x2-1)+12(x2-1)≥6
题组二 利用基本不等式比较大小
4.若0A.b>a+b2>a>ab
B.b>ab>a+b2>a
C.b>a+b2>ab>a
D.b>a>a+b2>ab
5.设M=n+1n3,N=n3+1n3+6,对于任意n>0,M,N的大小关系为( )
A.M≥NB.M>N
C.M≤ND.不能确定
6.若x>0,y>0,且x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是( )
A.1x+y≤14 B.1x+1y≥1
C.xy≥2 D.1xy≥1
7.若a>b>c,则a-c2与(a-b)(b-c)的大小关系是 .
题组三 利用基本不等式求最值(取值范围)
8.已知函数y=x+4x-1(x>1),则函数的最小值等于( )
A.42 B.42+1
C.5 D.9
9.已知实数x,y>0,则x+y+4x+1y的最小值为( )
A.42 B.6 C.210 D.36
10.(2020北京东直门中学高一期中)若对任意的x∈(0,+∞),都有x+1x≥a,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2]B.(-∞,2)
C.(2,+∞)D.[2,+∞)
11.若正数x,y满足x+4y-xy=0,则当x+y取得最小值时,x的值为( )
A.9B.8C.6D.3
12.已知x,y均为正实数,且4x+y=1,则1x+1y的最小值是 .
13.若014.(2021黑龙江鹤岗第一中学高一上月考)(1)已知a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值;
(2)已知x<54,求4x-2+14x-5的最大值.
题组四 利用基本不等式证明不等式
15.(2021安徽六安城南中学高二上开学考试)已知a,b,c是三个不全相等的正数.
求证:b+c-aa+a+c-bb+a+b-cc>3.
16.设x>0,求证:x+22x+1≥32.
17.(2021福建三明第一中学高一上月考)已知a,b均为正实数,求证:a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).
题组五 利用基本不等式解决实际问题
18.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计),在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是( )
A.4.6 mB.4.8 mC.5 mD.5.2 m
19.(2020广东广州荔湾高二期末)为满足人民日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求,某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1 000 m2,绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示).当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为( )
A.20 mB.50 m
C.1010 mD.100 m
20.2020年上半年,新冠肺炎疫情在全国蔓延,疫情暴发造成医用防护服短缺,某地政府决定为医用防护服生产企业A公司的扩大生产提供x(x∈[0,10])万元的专项补贴,并以每套72元的价格收购其生产的全部医用防护服.A公司在收到政府x万元补贴后,医用防护服产量增加到t=4-6x+2(万套),同时A公司生产t万套医用防护服需要投入成本(52+3x+45t)万元.设A公司生产医用防护服产生的总收益为y万元.当政府的专项补贴为多少万元时,A公司生产医用防护服产生的总收益最大?
(注:总收益=销售总金额+政府专项补贴-成本)
能力提升练
题组一 利用基本不等式求最值
1.(2020河南三门峡外国语高级中学高一下期中,)设正数x,y满足x2+y22=1,则x1+y2的最大值为( )
A.32 B.322C.34 D.324
2.()已知a>b>0,则a2+16b(a-b)的最小值为( )
A.8B.82 C.16D.162
3.()若x>1,则x-1x2+x-1的最大值为( )
A.16 B.14 C.15 D.13
4.(2021黑龙江大庆实验中学高一上开学考试,)已知a>0,b>0,a+b=1,则a2+4a+b2+4b的最小值为( )
A.6B.8C.15D.17
题组二 利用基本不等式证明不等式
5.()若a>b,且ab=2,求证:a2+b2a-b≥4.
6.(2021湖南长沙长郡中学高一上检测,)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)1a+1b+1ab≥8;
(2)1+1a1+1b≥9.
题组三 基本不等式在实际问题中的应用
7.(多选)()某公司一年购买某种货物800吨,现分次购买,设每次购买x吨,运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和y最小,则下列说法正确的是( )
A.当x=40时,y取得最小值
B.当x=45时,y取得最小值
C.ymin=320
D.ymin=360
8.()近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资80万元,根据行业规定,每座城市至少要投资20万元,由前期市场调研可知甲城市收益y1(单位:万元)与投入成本x(单位:万元)满足y1=-450x+40,20≤x<40,25,40≤x≤60,乙城市收益y2(单位:万元)与投入成本x(单位:万元)满足y2=12x+20.
(1)当甲城市的投入成本为25万元时,求甲、乙两座城市的投资的总收益;
(2)试问如何安排投入成本,才能使甲、乙两座城市的投资的总收益最大?
答案全解全析
基础过关练
1.C 根据基本不等式的推论a+b2≥ab(a,b≥0),当且仅当a=b时,等号成立,得a+1≥2a中,当且仅当a=1时,等号成立.
2.ACD 根据基本不等式的条件知ba>0,ab>0,a,b同号即可.
3.B 对于A,x可能是负数,不成立;对于B,由基本不等式可知,3x2+12x2≥6,当且仅当3x2=12x2,即x4=16时取等号,故成立;对于C,当3(x2+1)=12(x2+1)时,(x2+1)2=16,x无解,不成立;对于D,x2-1可能是负数,不成立.故选B.
4.C ∵0a+b,∴b>a+b2>ab.
∵b>a>0,∴ab>a2,∴ab>a.
故b>a+b2>ab>a.
5.A M-N=n+1n3-n3-1n3-6
=n3+1n3+3n·1n2+3n2·1n-n3-1n3-6
=3n+1n-6.
∵n>0,∴n+1n≥2n·1n=2,当且仅当n=1时,等号成立,
∴3n+1n-6≥0,∴M≥N.
故选A.
6.B 解法一:取x=1,y=2,满足x+y≤4,排除A、C、D.故选B.
解法二:∵0∵4≥x+y≥2xy,∴xy≤2(当且仅当x=y时,等号成立),故C不成立;
又01x+1y=x+yxy≥2xyxy=2xy,∵07.答案 a-c2≥(a-b)(b-c)
解析 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,所以a-c2=(a-b)+(b-c)2≥(a-b)(b-c),当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立.
8.C 因为x>1,所以y=x+4x-1=(x-1)+4x-1+1≥2(x-1)·4x-1+1=5,
当且仅当x-1=4x-1,即x=3时,等号成立.故选C.
9.B ∵x,y>0,∴x+y+4x+1y≥2x·4x+2y·1y=4+2=6,当且仅当x=4x且y=1y,即x=2,y=1时等号成立.
故选B.
10.A 因为x∈(0,+∞),
所以x+1x≥2x·1x=2,
当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,
所以a≤2.故选A.
11.C ∵x>0,y>0,x+4y=xy,∴4x+1y=1,
∴x+y=(x+y)4x+1y=5+xy+4yx≥5+2xy·4yx=9,当且仅当x=2y时,等号成立,此时x=2y,x+4y=xy,解得x=6,y=3.故选C.
12.答案 9
解析 1x+1y=1x+1y(4x+y)=4+1+yx+4xy≥5+24=9,当且仅当yx=4xy,且4x+y=1,即x=16,y=13时,等号成立.
故1x+1y的最小值是9.
13.解析 ∵00.
∴x1-4x2=12·4x2·1-4x2≤12·4x2+1-4x22=14,当且仅当x=24时取等号,∴x1-4x2的最大值为14.
14.解析 (1)∵1=4a+b≥24ab=4ab,
∴ab≤14,∴ab≤116,
当且仅当4a=b,即a=18,b=12时取等号,
故ab的最大值为116.
(2)∵x<54,∴5-4x>0,
∴4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3≤-2(5-4x)×15-4x+3=1,
当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时,等号成立,故4x-2+14x-5的最大值为1.
15.证明 ∵a,b,c是三个不全相等的正数,
∴三个不等式ba+ab≥2,ca+ac≥2,cb+bc≥2的等号不能同时成立,
则ba+ab+ca+ac+cb+bc>6,
∴ba+ca-1+cb+ab-1+ac+bc-1>3,
即b+c-aa+a+c-bb+a+b-cc>3.
16.证明 因为x>0,所以x+12>0,
所以x+22x+1=x+1x+12=x+12+1x+12-12≥2x+12·1x+12-12=32,
当且仅当x+12=1x+12,即x=12时,等号成立.故x>0时,x+22x+1≥32.
17.证明 由基本不等式得a2b2+a2≥2a2b,a2b2+b2≥2ab2,b2+a2≥2ab,
三式相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab(a+b+1).
所以a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).
18.C 设直角三角形两直角边长分别为x m,y m,则12xy=1,即xy=2.
周长l=x+y+x2+y2≥2xy+2xy=22+2≈4.83(m),
当且仅当x=y时等号成立.结合实际问题,可知选C.
19.B 设BC=x m,则CD=1 000x m,
所以S矩形A1B1C1D1=(x+10)1 000x+4
=1 040+4x+10 000x
≥1 040+24x·10 000x=1 440,
当且仅当4x=10 000x,即x=50时,等号成立,
所以当BC的长度为50 m时,整个项目占地面积最小.故选B.
20.解析 由题意可得y=72t+x-(52+3x+45t).
因为t=4-6x+2,
所以y=72t+x-(52+3x+45t)=-2x+27t-52=-2x+27×4-6x+2-52=-2x-162x+2+
56,x∈[0,10].
因为-2x-162x+2+56=-2(x+2)-162x+2+60≤-2324+60=24,当且仅当2(x+2)=162x+2,即x=7时取等号,
所以当政府的专项补贴为7万元时,A公司生产医用防护服产生的总收益最大.
能力提升练
1.D ∵正数x,y满足x2+y22=1,
∴2x2+y2=2,
∴x1+y2=22×2x×1+y2≤22×(2x)2+(1+y2)22=22× 2x2+y2+12=324,
当且仅当2x2+y2=2,2x=1+y2,即x=32,y=22时取等号,
∴x1+y2的最大值为324.
2.C ∵a>b>0,∴由基本不等式的变形可得b(a-b)≤b+a-b22=a24,∴a2+16b(a-b)≥a2+16a24=a2+64a2≥2a2×64a2=16,当且仅当a-b=b,a2=64a2,即a=22,b=2时,等号成立.
3.C 令t=x-1,则x=t+1,t>0,
x-1x2+x-1=t(t+1)2+(t+1)-1=tt2+3t+1=1t+1t+3≤12t·1t+3=15,
当且仅当t=1,即x=2时,等号成立.故选C.
4.D 易得a2+4a+b2+4b=a+b+4a+4b=1+4(a+b)ab=1+4ab.
又ab≤a+b22=14,∴1ab≥4,∴1+4ab≥17,
∴a2+4a+b2+4b≥17,当且仅当a=b=12时取等号.故选D.
5.证明 a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)2+4a-b=(a-b)+4a-b≥2(a-b)·4a-b=4,当且仅当a=1+3,b=-1+3或a=1-3,b=-1-3时等号成立.
所以a2+b2a-b≥4.
6.证明 (1)∵a+b=1,a>0,b>0,
∴1a+1b+1ab=1a+1b+a+bab=21a+1b,
1a+1b=a+ba+a+bb=2+ab+ba≥2+2=4,当且仅当a=b=12时等号成立,
∴1a+1b+1ab≥8.
(2)证法一:∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+1a=1+a+ba=2+ba,
同理,1+1b=2+ab,
∴1+1a1+1b=2+ba2+ab
=5+2ba+ab≥5+4=9,当且仅当a=b=12时等号成立,
∴1+1a1+1b≥9.
证法二:1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab.
由(1)知,1a+1b+1ab≥8,
故1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab≥9,当且仅当a=b=12时,等号成立.
7.AC 一年购买某种货物800吨,每次购买x吨,则需要购买800x次,又运费是8万元/次,一年的总存储费用为4x万元,
所以一年的总运费与总存储费用之和y=800x×8+4x万元.
因为y=800x×8+4x≥26 400x×4x=2×160=320,当且仅当6 400x=4x,即x=40时,等号成立,所以当x=40时,y取得最小值,ymin=320.故选AC.
8.解析 (1)当甲城市的投入成本为25万元时,乙城市的投入成本为80-25=55(万元),
则甲城市收益y1=-45025+40=22(万元),
乙城市收益y2=12×55+20=952(万元),
所以甲、乙两座城市的投资的总收益为22+952=1392(万元).
(2)设甲城市的投入成本为x万元,则乙城市的投入成本为(80-x)万元.
当20≤x<40时,甲、乙两座城市的投资的总收益y=-450x+40+12×(80-x)+20=100-450x+x2≤100-2450x·x2=70,当且仅当450x=x2,即x=30时取等号,故当x=30时,y有最大值,最大值为70.
当40≤x≤60时,甲、乙两座城市的投资的总收益y=25+12×(80-x)+20=85-x2,
当x=40时,y=85-x2有最大值,最大值为65.
因为70>65,所以当x=30时,甲、乙两座城市的投资的总收益最大.
所以当甲城市的投入成本为30万元,乙城市的投入成本为50万元时,甲、乙两座城市的投资的总收益最大.