5.2.1 三角函数的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

三角函数的概念要点一：三角函数定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：(1)叫做的正弦，记做，即；(2)叫做的余弦，记做，即；(3)叫做的正切，记做，即.要点诠释：三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离，那么，，。要点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：   要点三：诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，其中，其中，其中 要点四：单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点，则有向线段0M、PM、AT分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.  类型一：三角函数的定义例1．（1）已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan的值；（2）已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。 【解析】  （1），若a＞0，则r=5a，角在第二象限，则：，，。若a＜0，则r=－5a，角在第四象限，则：，，，（2）因为角的终边在直线上，所以可设为角终边上任意一点。则（a≠0）。若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以：，，。若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以：，，。 举一反三：【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.【解析】由题设知，，所以，得，从而，解得或.当时，， ；当时，， ；当时，， . 【变式2】已知角的终边落在y=|2x|上，求值。【解析】 y=|2x|，，取点P（1，2），，或 类型二：三角函数的符号例2．（1）若sin=―2cos，确定tan的符号；（2）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？（3）若sin2＞0，且cos＜0，试确定终边所在象限？ 【解析】（1）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角；当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。（2）因为sin＜0，cos＞0，所以为第四象限角。（3）因为sin2＞0，所以2kπ＜2＜2kπ+π（k∈Z），所以（k∈Z）。当k为偶数时，是第一象限；当k为奇数是，为第三象限象。所以为第一或第三象限角。又因为cos＜0，所以为第二或第三象限角，或终边在x轴的非正半轴上。综上知，角终边在第三象限。 【变式1】求函数的值域。【解析】 由题意知，角x的终边不在坐标轴上。当x是第一象限角时，；当x是第二象限角时，；当x是第三象限角时，；当x是第四象限角时，，故函数的值域为{－1，3}。  类型三：诱导公式一的应用例3．（1）；（2）sin（―1740°）·cos1470°+cos（―660°）·sin750°+tan405°。【解析】（1）原式               。（2）原式=sin(―10×180°+60°)·cos(8×180°+30°)+cos(―4×180°+60°)·sin(4×180°+30°)+tan(2×180°+45°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=. 【变式1】已知为第三象限角，．（1）化简；    （2）若，求的值．【解析】（1）∵为第三象限角，∴．（2）若，∴，∴