5.2.2 同角三角函数的基本关系式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

同角三角函数基本关系

要点一：同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：

(2)商数关系：

(3)倒数关系：，，

要点二：同角三角函数基本关系式的变形

1．平方关系式的变形：

，

2．商数关系式的变形

。

【典型例题】

类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值

例1．已知tan=－2，求sin，cos的值。

【解析】 ∵tan=－2，∴sin=－2cos   ①  ，    又sin2+cos2=1    ②

由①②消去sin得(－2cos)2+cos2=1，即。

当为第二象限角时，，代入①得。

当为第四象限角时，，代入①得。

举一反三：

【变式1】已知是的一个内角，且，求

【解析】为钝角，

由平方整理得：

类型二：利用同角关系求值

例2．已知：（备注：）求：

（1）的值；（2）的值；

（3）的值；（4）及的值

【解析】（1）由已知，，

（2），

（3），

（4）由，解得或

举一反三：

【变式1】已知0＜x＜π，sin、cos是方程的两实根，求：

（1）m的值；

（2）求sin、cos、tan的值；

（3）的值．

【解析】（1）∵0＜＜π，sin、cos是方程的两实根，∴，，∵，解得：；

（2）∵  ①，，

∴，

∴  ②，  联立①②解得：，，；

（3）∵，，

∴原式

      ．

例3．已知tan=3，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【解析】（1）∵原式

∴分子分母都除以cos，得原式

（2）∵原式

∴将分子化成1=sin2+cos2，可得原式

再将分子分母都除以cos2，得

原式

举一反三：

【变式1】（1）已知tan=3，求sin2－3sincos+1的值；

（2）已知，求的值。

【解析】（1）∵tan=3，1=sin2+cos2，

∴原式

      。

（2）由，得，解得：

∴

。

类型三：利用同角关系化简三角函数式

例4．化简：（1）；

（2）；

（3）；

（4）

【解析】（1）原式=

（2）原式=

（3）原式=

（4）原式= =

=，