高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念课后练习题

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1．（3分）（2021·福建·高一阶段练习）cs-23π6的值为（ ）
A．-12B．12C．-32D．32
【解题思路】由诱导公式一即可值
【解答过程】cs-23π6=cs-23π6+4π=csπ6=32
故选：D.
2．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知P-2,y是角θ终边上一点，且sinθ=225，则y的值是（ ）
A．-225B．225C．-43417D．43417
【解题思路】根据sinθ>0，可判断点P(-2,y)位于第二象限，利用正弦函数的定义列方程求解即可.
【解答过程】解：因为P(-2,y)是角θ终边上一点，sinθ=225>0，故点P(-2,y)位于第二象限，
所以y>0，sinθ=y(-2)2+y2=225，
整理得：17y2=32，因为y>0，所以y=43417.
故选：D.
3．（3分）（2022·湖北·高三期中）已知tanα=2，则sinαcsα=（ ）
A．-25B．-52C．52D．25
【解题思路】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinαcsα的值.
【解答过程】因为tanα=2，
则sinαcsα=sinαcsαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=25 .
故选：D.
4．（3分）（2022·宁夏·高三期中（理））已知角α的终边经过点P1,3，则sinα+csαsinα-csα=（ ）
A．43B．53C．2D．83
【解题思路】根据角α的终边经过点P1,3，求得tanα=3，根据同角的三角函数关系化简sinα+csαsinα-csα，代入求值，可得答案.
【解答过程】由角α的终边经过点P1,3，则tanα=3，
故sinα+csαsinα-csα=tanα+1tanα-1=3+13-1=2，
故选:C.
5．（3分）（2022·四川·高三开学考试（文））已知csα-3sinα=0，则2csα-sinαcsα+sinα的值为（ ）
A．-54B．-45C．54D．45
【解题思路】根据给定条件，求出tanα，再利用齐次式法计算作答.
【解答过程】因csα-3sinα=0，则tanα=13，
所以2csα-sinαcsα+sinα=2-tanα1+tanα=2-131+13=54.
故选：C.
6．（3分）（2023·四川资阳·模拟预测（文））已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合．若角α终边上一点P的坐标为cs2π3,sin2π3，则sinαtanα=（ ）
A．-32B．-32C．32D．32
【解题思路】计算得到P-12,32，在根据三角函数定义计算得到答案.
【解答过程】Pcs2π3,sin2π3，即P-12,32，则sinα=yx2+y2=32，tanα=yx=-3.
故sinαtanα=-32.
故选：A.
7．（3分）如果θ是第二象限角，且满足csθ2-sinθ2=1-sinθ，那么θ2（ ）
A．是第一象限角B．是第三象限角
C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角
【解题思路】由θ是第二象限角，有2kπ+π2<θ<2kπ+π，结合csθ2≥sinθ2，即可求θ2的范围，进而确定其所在象限.
【解答过程】因为1-sinθ=cs2θ2+sin2θ2-2sinθ2csθ2=csθ2-sinθ22
=csθ2-sinθ2=csθ2-sinθ2，
所以csθ2-sinθ2≥0，即csθ2≥sinθ2，
∵θ是第二象限角，故2kπ+π2<θ<2kπ+π，k∈Z，
∴kπ+π4<θ2所以此时θ2可能在第一象限角，也可能在第三象限角
又csθ2≥sinθ2，
∴2kπ+5π4<θ2<2kπ+3π2，k∈Z.
所以θ2在第三象限角
故选：B.
8．（3分）（2022·江苏扬州·高三期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，若S1S2=5，则sinα+csα的值为（ ）
A．355B．255C．75D．85
【解题思路】设大正方形的边长为a，则直角三角形的两直角边分别为asinα,acsα，分别求出S1,S2，再根据S1S2=5可求得sinαcsα，再根据sinα+csα=1+2sinαcsα即可得解.
【解答过程】解：设大正方形的边长为a，则直角三角形的两直角边分别为asinα,acsα，
故S1=a2,S2=a2-4×12asinα⋅acsα=a21-2sinαcsα，
则S1S2=11-2sinαcsα=5，所以sinαcsα=25，
又α为锐角，则sinα>0,csα>0，
所以sinα+csα=1+2sinαcsα=355.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·福建省高三阶段练习）给出下列各三角函数值：①sin-100∘；②cs-220∘；③tan-10；④csπ3．其中符号为负的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【解题思路】根据三角函数在各象限的符号即可判断.
【解答过程】解：对①：因为-180∘<-100∘<-90∘是第三象限角，所以sin-100∘<0；
对②：因为-270∘<-220∘<-180∘是第二象限角，所以cs-220∘<0；
对③：因为-7π2<-10<-3π是第二象限角，所以tan-10<0；
对④：因为π3是第一象限角，所以csπ3>0.
所以符号为负的是①②③，
故选：ABC.
10．（4分）（2022·广西钦州·高一期末）已知θ∈(0,π)，sinθ+csθ=55，则下列结论正确的是（ ）
A．sinθcsθ<0B．sinθ-csθ=355C．csθ=55D．sinθ=255
【解题思路】考虑角θ 所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可.
【解答过程】由sinθ+csθ=55 …①，以及sin2θ+cs2θ=1 ，
对等式①两边取平方得1+2sinθcsθ=15 ，sinθcsθ=-25 …②，
∵θ∈0,π ，∴sinθ＞0，由②，csθ＜0 ，
由①②sinθ ，csθ 可以看作是一元二次方程x2-55x-25=0 的两个根，
解得sinθ=255 ，csθ=-55 ，
故A正确，B正确，C错误，D正确；
故选：ABD.
11．（4分）（2021·江苏·高一课时练习）阅读下列命题：其中正确的命题为（ ）
A．终边落在x轴上的角的集合αα=180°k,k∈Z
B．同时满足sinα=12，csα=32的角有且只有一个
C．设tanα=12且π<α<3π2，则sinα=-55
D．1-sin2440°=cs80°
【解题思路】A,利用终边相同的角即可判断；B,利用特殊角的三角函数值及诱导公式判断即可得到结果；C,由tanα的值及α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出csα的值，进而求出sinα的值，即可做出判断;D,利用同角三角函数及诱导公式变形即可判断.
【解答过程】对于A, 终边落在x轴上的角的集合αα=180°k,k∈Z,故A正确；
对于B, 同时满足sinα=12，csα=32的角有无数个，此时α=2kπ+π6，故B错误；
对于C. 设tanα=12且π<α<3π2，则csα=-21+tan2α=-255,则sinα=-1-cs2α=-55，故C正确；
对于D, 1-sin2440°=cs2440°=cs280°=cs80°,故D正确.
故选：ACD.
12．（4分）（2022·辽宁·高一期中）下列四个选项，正确的有（ ）
A．Ptanα,csα在第三象限，则α是第二象限角
B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为12
C．若角α的终边经过点a,2aa≠0，则sinα=255
D．sin3cs4tan5>0
【解题思路】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【解答过程】对A：由题可得tanα<0，则α属于第二或者第四象限；
csα<0，则α属于第二或者第三象限或角度终边落在x轴的负半轴上；故α属于第二象限，A正确；
对B：设扇形OAB的圆心角为α(α>0)，半径为R，圆心角对的弧长为l，
则12lR=4，l+2R=10，解得l=2,R=4，又l=αR，即2=4α，解得α=12，B正确；
对C：根据题意可得sinα=2a2a2+a2=2a5|a|=±255，故C错误；
对D：因为3∈(π2,π)，4∈π,32π,5∈(3π2,2π)，故sin3>0,cs4<0,tan5<0，
故sin3cs4tan5>0，D正确.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·黑龙江·高二期中）若角α的终边过点P(m,-1)，且csα=-255，则m= -2 .
【解题思路】根据已知条件及三角函数的定义即可求解.
【解答过程】因为角α的终边过点P(m,-1)，
所以csα=mm2+1，
又csα=-255<0，所以m<0，
所以mm2+1=-255，即m2=4，解得m=2或m=-2，
又m<0，所以m=-2.
故答案为：-2.
14．（4分）（2022·陕西·高一期中）比较大小：cs-174π > cs-235π．
【解题思路】化简可得cs-174π=22>0，cs-235π=cs75π<0，即可得答案.
【解答过程】cs-174π=cs4π-174π=cs-π4=csπ4=22>0，
cs-235π=cs6π-235π=cs75π<0，
所以cs-174π> cs-235π.
故答案为：>.
15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）若A∈0,π，且sinA+csA=713，则5sinA+4csA15sinA-7csA= 843 .
【解题思路】根据题中条件，利用同角三角函数基本关系，先求出sinA-csA，进而求得sinA和csA，代入所求式子，即可得出结果.
【解答过程】由sinA+csA=713得，sinA+csA2=49169，即1+sin2A=49169，
所以sin2A=-120169.
因为A∈0,π，所以A∈π2,π，
则sinA-csA>0，
所以sinA-csA2=1-sin2A=289169，
因此sinA-csA=1713.
联立sinA+csA=713sinA-csA=1713解得sinA=1213csA=-513，
所以5sinA+4csA15sinA-7csA=843.
故答案为：843.
16．（4分）（2022·辽宁·高一期中）若α，β∈0,π2，且1+sin2αsinβ=sinαcsαcsβ，则tanβ的最大值为 24 ．
【解题思路】由题意结合商数关系及平方关系可得tanβ=tanα2tan2α+1，再利用基本不等式即可得出答案.
【解答过程】解：由1+sin2αsinβ=sinαcsαcsβ，
得tanβ=sinαcsα1+sin2α=sinαcsα2sin2α+cs2α=tanα2tan2α+1，
因为α∈0,π2，所以tanα∈0,+∞，
则tanβ=tanα2tan2α+1=12tanα+1tanα≤122tanα⋅1tanα=24，
当且仅当2tanα=1tanα，即tanα=22时，取等号，
所以tanβ的最大值为24.
故答案为：24.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合的角α的终边上有一点P-3,m，且sinα=24mm≠0，求m的值，并求csα与tanα的值．
【解题思路】根据三角函数定义可由sinα=m3+m2=24mm≠0求得m的值；结合m的值，由三角函数定义可求得csα,tanα.
【解答过程】∵sinα=m3+m2=24mm≠0，∴m=±5；
当m=5时，csα=-33+m2=-64，tanα=-m3=-153；
当m=-5时，csα=-33+m2=-64，tanα=-m3=153.
18．（6分）（2022·湖南·高一课时练习）确定下列各三角函数值的符号：
(1)sin4π3；
(2)cs3；
(3)tan250∘；
(4)sin5π3⋅cs5π3．
【解题思路】（1）（2）（3）（4）确定角的终边所在的象限，结合三角函数值的符号与象限角的关系可判断各三角函数式的符号.
【解答过程】(1)
解：∵π<4π3<3π2，则4π3为第三象限角，则sin4π3<0.
(2)
解：∵π2<3<π，则3为第二象限角，则cs3<0.
(3)
解：∵180∘<250∘<270∘，则250∘为第三象限角，则tan250∘>0.
(4)
解：∵3π2<5π3<2π，则5π3为第四象限角，则sin5π3<0，cs5π3>0，
故sin5π3⋅cs5π3<0.
19．（8分）（2021·全国·高一课时练习）用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）：
(1)-17π3；
(2)21π4；
(3)-23π6；
(4)1500°．
【解题思路】对于各个角，直接利用诱导公式一和三角函数定义化简求解三个三角函数值即可．
【解答过程】(1)
解：sin-17π3=sin-6π+π3=sinπ3=32；
cs-17π3=cs-6π+π3=csπ3=12；
tan-17π3=sin-17π3cs-17π3=3212=3．
(2)
解：sin21π4=sin6π-3π4=sin-3π4=-22；
cs21π4=cs6π-3π4=cs-3π4=-22；
tan21π4=sin21π4cs21π4=-22-22=1；
(3)
解：sin-23π6=sin-4π+π6=sinπ6=12 ；
cs-23π6=cs-4π+π6=csπ6=32；
tan-23π6=sin-23π6cs-23π6=1232=33.
(4)
解：sin1500°=sin4×360°+60°=sin60°=32；
cs1500°=cs4×360°+60°=cs60°=12；
tan1500°=sin1500°cs1500°=3212=3.
20．（8分）（2022·辽宁·高一期中）已知sinα+csα=12，0<α<π.
(1)求sinαcsα的值.
(2)求sinα-csα的值.
(3)求1-sinα1+sinα-1-csα1+csα的值.
【解题思路】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；
（2）由（1），可得sinα>0,csα<0，则sinα-csα=sinα-csα2，从而可得出答案；
（3）根据1-sinα1+sinα-1-csα1+csα=1-sinα21+sinα1-sinα-1-csα21+csα1-csα结合正余弦得符号去掉根号，化简，从而可求出答案.
【解答过程】(1)
解：因为sinα+csα=12，
所以sinα+csα2=sin2α+cs2α+2sinαcsα=1+2sinαcsα=14，
所以sinαcsα=-38；
(2)
解：因为0<α<π，sinαcsα=-38，
所以sinα>0,csα<0，
所以sinα-csα=sinα-csα2=1-2sinαcsα=72；
(3)
解：由（2）得sinα>0,csα<0，
则1-sinα1+sinα-1-csα1+csα=1-sinα21+sinα1-sinα-1-csα21+csα1-csα
=1-sinα2cs2α-1-csα2sin2α
=1-sinα-csα-1-csαsinα
=-sinα1-sinα+csα1-csαsinαcsα
=-sinα+csα-1sinαcsα
=-12-1-38
=-43.
21．（8分）（2022·全国·高一课时练习）已知fβ=sinπ-βcs2π-βtanβ+πtan-β-πsin-π-β.
(1)若角β是第三象限角，且sinβ-π=15，求fβ的值；
(2)若β=2220°，求fβ的值.
【解题思路】（1）利用诱导公式化简f(β)，由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求得csβ，则答案可求；
（2）由β=2220°=6×360°+60°，再由诱导公式求得求f(β)的值．
【解答过程】（1）
解：fβ=sinπ-βcs2π-βtanβ+πtan-β-πsin-π-β=sinβcsβtanβ-tanβsinβ=-csβ.
因为sinβ-π=-sinβ=15，所以sinβ=-15，
又角β是第三象限角，所以csβ=-1-sin2β=-265，
所以fβ=-csβ=265.
（2）
解：因为β=2220°=6×360°+60°，所以fβ=-csβ=-cs2220°=-cs60°=-12.
22．（8分）（2022·湖南·高一课时练习）证明：
(1)csα1-sinα=1+sinαcsα；
(2)tan2β⋅sin2β=tan2β-sin2β．
【解题思路】利用同角三角函数的基本关系证明可得；
【解答过程】(1)
证明：左边=csα1-sinα=csα1+sinα1-sinα1+sinα=csα1+sinα1-sin2α=csα1+sinαcs2α=1+sinαcsα=右边；
即csα1-sinα=1+sinαcsα
(2)
证明：右边=tan2β-sin2β
=tanβ-sinβtanβ+sinβ
=sinβcsβ-sinβsinβcsβ+sinβ
=sinβcsβ-sinβcsβcsβsinβcsβ+sinβcsβcsβ
=sin2β1csβ-11csβ+1
=sin2β1-csβcsβ1+csβcsβ
=sin2β⋅1-cs2βcs2β
=sin2β⋅sin2βcs2β
=sin2β⋅tan2β=左边，
即tan2β⋅sin2β=tan2β-sin2β.