高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质一等奖第1课时教案设计

这是一份高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质一等奖第1课时教案设计，共15页。

第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)








1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义．


2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的周期．


3．掌握函数y＝sinx，y＝csx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．





1．周期函数


(1)周期函数的概念





(2)最小正周期





温馨提示：对周期函数的三点说明


(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．


(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．


(3)并非所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期．


2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性








1．生活中，有很多“周而复始”的现象，你能举出几个常见的例子吗？


[答案] 每天的日出日落，四季更替，每周上课用的课程表等


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)由于sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,4)))＝sineq \f(π,4)，则eq \f(π,2)是函数y＝sinx的一个周期．( )


(2)因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋4π))＝sineq \f(x,3)，所以函数y＝sineq \f(x,3)的周期为4π.( )


(3)对任意实数x，若有f(x＋1)＝f(x)，则f(x)是周期函数，T＝1是f(x)的一个周期．( )


(4)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x))是奇函数．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√





题型一 正、余弦函数的周期性


【典例1】 求下列函数的最小正周期．


(1)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))；(2)f(x)＝|sinx|.


[思路导引] 求三角函数周期时可利用定义f(x＋T)＝f(x)，也可用公式T＝eq \f(2π,|ω|)，还可以利用图象求解．


[解] (1)解法一：定义法


∵f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2π))


＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋π＋\f(π,3)))＝f(x＋π)，


即f(x＋π)＝f(x)，


∴函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期为π.


解法二：公式法


∵y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，∴ω＝2.又T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,2)＝π.


∴函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期为π.


(2)解法一：定义法


∵f(x)＝|sinx|，


∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，


∴f(x)的最小正周期为π.


解法二：图象法


函数y＝|sinx|的图象如图所示，





由图象可知最小正周期为π.








求三角函数最小正周期的方法


(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．


(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq \f(2π,|ω|).


(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．


[针对训练]


1．求下列函数的周期．


(1)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋3))；


(2)y＝|csx|.


[解] (1)∵y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋3))，∴ω＝eq \f(π,2).


又T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4，


∴函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋3))的周期T＝4.


(2)∵f(x)＝|csx|，


∴f(x＋π)＝|cs(x＋π)|＝|－csx|＝|csx|＝f(x)，


∴f(x)＝|csx|的周期 T＝π.


题型二 正、余弦函数的奇偶性


【典例2】 判断下列函数的奇偶性．


(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))；


(2)f(x)＝sin|x|；


(3)f(x)＝eq \r(1－csx)＋eq \r(csx－1).


[思路导引] 首先看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)之间的关系．


[解] (1)因为函数的定义域为R，


f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))＝－cseq \f(3x,4)，


所以f(－x)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3x,4)))＝－cseq \f(3x,4)＝f(x)，


所以函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))是偶函数．


(2)因为函数的定义域为R，


f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，


所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．


(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－csx≥0，,csx－1≥0，))得csx＝1，


所以x＝2kπ(k∈Z)，


此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．











判断函数奇偶性应把握好2个关键点


关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；


关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．


对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．要特别注意化简前后式子的等价性．





[针对训练]


2．判断下列函数的奇偶性．


(1)f(x)＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))；


(2)f(x)＝eq \f(1＋sinx－cs2x,1＋sinx)；


(3)f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2))).


[解] (1)函数f(x)＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))的定义域为R.


∵f(x)＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝xcsx，


∴f(－x)＝(－x)·cs(－x)


＝－xcsx＝－f(x)，


∴f(x)是奇函数．


(2)函数应满足1＋sinx≠0，


∴函数的定义域为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠2kπ＋\f(3,2)π，k∈Z)))).


∵函数的定义域不关于原点对称，


∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．


(3)f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))＝－eq \r(2)cs2x，定义域为R.


∵f(－x)＝－eq \r(2)cs(－2x)＝－eq \r(2)cs2x＝f(x)，


∴f(x)是偶函数.


题型三 正、余弦函数周期性与奇偶性的应用


【典例3】 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sinx，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值．


[思路导引] 解决此类问题的关键是利用函数的周期性与奇偶性，将x化到可求值区间内．


[解] ∵f(x)的最小正周期是π，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))).


∵f(x)是R上的偶函数，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝eq \f(\r(3),2).


[变式] 本例中的“偶函数”改为“奇函数”其他条件不变．结果如何？


[解] ∵f(x)最小正周期为π，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))).


∵f(x)为奇函数，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝－eq \f(\r(3),2).











解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法


利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．





[针对训练]


3．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))是周期为________的________(奇或偶)函数．


[解析] ∵f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝－cs2x，


∴周期 T＝eq \f(2π,2)＝π，y＝cs2x为偶函数．


故f(x)是周期为π的偶函数．


[答案] π 偶


课堂归纳小结


1．求函数的最小正周期的常用方法


(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.


(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sinx|.


(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝eq \f(2π,ω).


2.正弦函数、余弦函数的奇偶性


(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．


(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．


(3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用.








1．函数y＝2sinx＋5的最小正周期是( )


A.eq \f(π,2) B．π


C．2π D．4π


[解析] 函数y＝2sinx＋5的最小正周期就是函数y＝sinx的最小正周期，即eq \f(2π,1)＝2π，故选C.


[答案] C


2．函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))的奇偶性为( )


A．奇函数


B．偶函数


C．非奇非偶函数


D．既是奇函数，又是偶函数


[解析] 函数的定义域为R，且y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))＝sineq \f(1,2)x，故所给函数是奇函数．


[答案] A


3．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx－\f(π,2)))－1，则下列命题正确的是( )


A．f(x)是周期为1的奇函数


B．f(x)是周期为2的偶函数


C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数


D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数


[解析] ∵f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx－\f(π,2)))－1


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－πx))－1


＝－cs(πx)－1


∴T＝eq \f(2π,π)＝2，而f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．


[答案] B


4．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))的值为( )


A．1 B．－1


C．0 D．2


[解析] 由题意得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))


＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－1.


[答案] B


5．函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,4)x＋\f(π,3)))(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是________．


[解析] 由题意得eq \f(2π,\f(k,4))＝eq \f(8π,k)≤2，∴k≥4π.


∴正整数k的最小值为4π.


[答案] 4π


课后作业(四十四)


复习巩固


一、选择题


1．下列函数中，周期为eq \f(π,2)的是( )


A．y＝sinx B．y＝sin2x


C．y＝cseq \f(x,2) D．y＝cs4x


[解析] ∵T＝eq \f(π,2)＝eq \f(2π,|ω|)，∴|ω|＝4，而ω>0，∴ω＝4.


[答案] D


2．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于( )


A．x轴对称 B．原点对称


C．y轴对称 D．直线x＝eq \f(π,2)对称


[解析] y＝4sin(2x＋π)＝－4sin2x，奇函数图象关于原点对称．


[答案] B


3．函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋\f(15π,2)))是( )


A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的偶函数


C．周期为3π的奇函数 D．周期为eq \f(4π,3)的偶函数


[解析] ∵f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋6π＋π＋\f(π,2)))


＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(2x,3)))))


＝－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(2,3)x))＝－3cseq \f(2,3)x


∴T＝eq \f(2π,\f(2,3))＝3π，而f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．


[答案] A


4．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x), f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( )





[解析] 由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．


由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.


故选B.


[答案] B


5．函数y＝eq \f(|sinx|1－sinx,1－sinx)的奇偶性为( )


A．奇函数 B．既是奇函数也是偶函数


C．偶函数 D．非奇非偶函数


[解析] 由题意知，当1－sinx≠0，


即sinx≠1时，


y＝eq \f(|sinx|1－sinx,1－sinx)＝|sinx|，


所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，


由于定义域不关于原点对称，


所以该函数是非奇非偶函数．


[答案] D


二、填空题


6．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))的最小正周期为eq \f(π,5)，其中ω>0，则ω＝________.


[解析] 依题意得eq \f(π,5)＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝10.


[答案] 10


7．f(x)＝sinxcsx是________(填“奇”或“偶”)函数．


[解析] x∈R时，f(－x)＝sin(－x)cs(－x)


＝－sinxcsx＝－f(x)，即f(x)是奇函数．


[答案] 奇


8．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为eq \f(3π,2)，且满足f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csx，－\f(π,2)≤x<0,sinx，0≤x<π，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝________.


[解析] ∵T＝eq \f(3π,2)，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)＋\f(3π,2)×3))


＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝sineq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2).


[答案] eq \f(\r(2),2)


三、解答题


9．判断下列函数的奇偶性．


(1)f(x)＝eq \r(3)cs2x；


(2)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,3)＋\f(π,2)))＋2；


(3)f(x)＝x·csx.


[解] (1)因为x∈R，


f(－x)＝eq \r(3)cs(－2x)＝eq \r(3)cs2x＝f(x)，


所以f(x)＝eq \r(3)cs2x是偶函数．


(2)因为x∈R，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,3)＋\f(π,2)))＋2＝cseq \f(2x,3)＋2，所以f(－x)＝cseq \f(2－x,3)＋2＝cseq \f(2x,3)＋2＝f(x)，所以函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,3)＋\f(π,2)))＋2是偶函数．


(3)因为x∈R，f(－x)＝－x·cs(－x)＝－x·csx＝－f(x)，


所以f(x)＝xcsx是奇函数．


10．已知函数y＝eq \f(1,2)csx＋eq \f(1,2)|csx|.


(1)画出函数的图象；


(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．


[解] (1)y＝eq \f(1,2)csx＋eq \f(1,2)|csx|


＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csx，x∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))k∈Z,0，x∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))k∈Z，))


函数图象如图所示．





(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.


综合运用


11．若函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－φ))是偶函数，则φ的一个取值为( )


A．2010π B．－eq \f(π,8)


C．－eq \f(π,4) D．－eq \f(π,2)


[解析] 当φ＝－eq \f(π,2)时，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,2)))＝cseq \f(1,2)x为偶函数，故选D.


[答案] D


12．函数y＝cs(sinx)的最小正周期是( )


A.eq \f(π,2) B．π


C．2π D．4π


[解析] ∵y＝cs[sin(x＋π)]＝cs(－sinx)


＝cs(sinx)


∴函数y＝cs(sinx)的最小正周期为π.


[答案] B


13．函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋2x))＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y轴”)．


[解析] f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋2x))＋1


＝eq \r(2)cs2x＋1，


∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．


∵偶函数图象关于y轴对称，


∴f(x)图象关于y轴对称．


[答案] y轴


14．函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，则


sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(πf5＋\f(π,2)))＝________.


[解析] ∵函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，∴f(5)＝f(4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1，


则原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π＋\f(π,2)))＝－sineq \f(π,2)＝－1.


[答案] －1


15．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝1－sinx，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π))时，求f(x)的解析式．


[解] x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π))时，3π－x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数，


所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π)).